速さや道のりの連立方程式の文章題を難問まで難易度別に解説｜中学数学～高校入試

流れのない水面上を時速20㎞で走行できるボートがある。
今、このボートが時速6㎞の流れがある川の上流に向かって出発し、ある地点でエンジンをかけたまま引き返して2時間で出発地点に戻ってくる。
この場合、出発地点から何㎞の地点まで行くことができるかを求めなさい。
(立命館高校)

健君と正太君が、ある島を1周する道路をお互い逆向きに周回した。
健君は地点Aを右回りに、正太君は地点Bを左回りに同時に出発して一定の速さで走った。
出発してから9分後に2人は出会い、またその15分後に正太君は地点Aを通り、さらにその36分後に正太君は島をちょうど1周して地点Bに着いた。
このとき健君は島をちょうど1周するのに何分かかったのかを求めよ。
(西大和学園高校)

長さが160mの特急列車と、長さが540mの貨物列車がある。
１つの鉄橋を渡りきるのにかかる時間は
特急列車が43.2秒であり、貨物列車は101.6秒である。
また、この特急列車と貨物列車がすれ違うのに \(\dfrac{28}{3}\) 秒かかる。
この特急列車と貨物列車の速さはそれぞれ秒速何mか。
(ラ・サール高校)

～ポイント～
『列車が橋を渡る』という問題の場合、列車の長さと橋の長さを考慮する必要があります。また、『列車と列車がすれ違う』場合も、列車の長さを考慮しつつ、いかに方程式をつくればよいかを考える題材となっています。さいごの『連立方程式を計算する工程』は、なかなか歯ごたえがありますので、複雑な計算が苦手という方は、実際に手を動かして解いてみてください。

A地点からC地点の間に峠Bがある。

ある日、太郎君はA地点とC地点の間を往復した。

行きはA地点から峠Bまでx分かかって登り、峠BからC地点までy分かかって下り、その合計時間は32分であった。

帰りはC地点から峠Bまで登り、峠BからA地点まで下り、かかった時間は31分であった。

行きと帰りの登りの速さは等しく、行きと帰りの下りの速さも等しい。

登りの速さと下りの速さの比は３：４である。

xとyについての連立方程式を作り、xとyを求めよ。

また、A地点から峠Bまでの距離と、峠BからC地点までの距離の比を求めよ。

ある公園の遊歩道のスタート地点に、太郎君と30人のグループがいる。
太郎君は分速60mの速さで歩く。
30人のグループは分速150mの速さで20m間隔で1人ずつ走り出す。
今、太郎君と30人のグループの先頭が同時に出発した。
スタート地点から100メートル離れた所にP地点がある。
太郎君がP地点を通過するまでに、30人のグループのうち何人がP地点を通過することができるか。(大濠高校)

～学習ポイント～
ここの解答方法では『30人のグループが20m間隔で最初からずらりと並んでいて全員が一斉にスタートした』として考えました。

3.2km離れた駅と学校の間を一定の速さで往復するバスがある。
ある生徒がこのバスと同時に駅を出発して分速80mの速さで歩いて学校へ向かった。
学校に到着するまでに2度バスとすれ違い、また1度だけバスに後ろから追い抜かれた（出発時は含めない）。
このとき、バスの速さを分速xmとしてxの範囲を求めよ。
ただしバスは学校と駅のどちらでもちょうど5分停車し、途中に停留所はないものとする。
(慶應義塾志木高校)

～学習ポイント～
すれ違いや、追い越し、追い抜かれの回数を取り扱うこのような問題の場合、ダイヤグラムによって状況を整理だてて考えると、見通しが付きやすい場合があります。