【更新】計算問題の難問を追加しました

共通因数くくりだしの因数分解の問題50選|中学基礎レベルから徐々に難しくなる練習用プリントあり

共通因数くくり出しサムネ

坂田先生
このページでは、以下の共通因数でくくりだす因数分解の問題を徹底的に練習できます。
共通因数をくくり出す因数分解の問題50問
にゃんこ
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坂田先生
中学数学の因数分解を解く基礎となる土台を作り、難関私立高校入試に対応できる応用レベルまで養うことができます。

文字の共通因数をくくりだす因数分解の問題|中学基礎レベル

(1) \(ab+ac\)

共通因数くくり出し解答01kai
答えの確認方法

共通因数でくくりだした後の式変形が合っているかどうかは、その変形後の式を展開してみて、もとの式と一致するかどうかということを確認してみるといいでしょう。

(2) \(ab-ac\)

共通因数くくり出し解答02
(3) \(ab+a\)
共通因数くくり出し解答03
1がなぜ登場するか?

上の問題でくくりだしのあと\(a\left( b+1\right) \) となっていますが、そのなかの1の部分は0じゃないの?と思った方は\(a\left( b+1\right) \) を展開して、もとの式と一致するかどうかを調べてみてください。

(4) \(ab-a\)

共通因数くくり出し解答04
(5) \(ab-ac+a\)
共通因数くくり出し解答05
項が3つある場合の共通因数

このように項が3つある場合も、すべての項に共通する因数(この場合はa)でくくりだすことができます。

(6) \(a^{2}b+a\)

共通因数くくり出し解答06
(7) \(a^{2}b+ab^{2}\)
共通因数くくり出し解答07
複数の文字パターン

共通因数に複数の文字がある場合はそれらをまとめてくくりだすということをします。そのパターンが少し続きます。

(8) \(a^{2}b+a^{2}c\)

共通因数くくり出し解答08
(9) \(a^{2}b^{2}+ab\)
共通因数くくり出し解答09
(10) \(a^{2}bc+ab^{2}c-abc^{2}\)
共通因数くくり出し解答10
(11) \(ab^{2}c^{2}-abc\)
共通因数くくり出し解答11

数や文字の共通因数をくくりだす問題|基礎~標準レベル

(12) \(2a+2b\)

共通因数くくり出し解答12
この場合の共通因数は2となります。

(13) \(2a-6b\)

共通因数くくり出し解答13
2と6の最大公約数である2でくくりだします。

(14) \(2a+7a^{2}\)

共通因数くくり出し解答14
2と7の最大公約数は1なので、数でくくりだすことはせず文字だけを共通因数とし、因数分解します。
(15) \(4a+6a^{2}\)
共通因数くくり出し解答15
2と6の最大公約数は2なので、さらにaも共通因数としてあるので、2aをくくります。
(16) \(2a+6a^{2}\)
共通因数くくり出し解答16
これも2aをくくります。2aの項を2aでくくりだすと1になります。しっくりこない場合は、答えのかたちを展開して、もとの式にもどしてみてください。
(17) \(10x^{2}-2x\)
共通因数くくり出し解答17

おきかえを利用して共通因数をくくりだす問題|標準~応用

坂田先生
ここからはおきかえを利用して共通因数をくくりだす問題も登場します。
(33) \(x\left( a+b\right) +y\left( a+b\right) \)
共通因数くくり出し解答33
a+bをMにおきかえ因数分解しやすいようにしています。難関私立などを目指す方は、慣れてきたら、文字におきかえずに同じ操作ができるように練習してみてください。

(36) \(\left( a+b\right) ^{2}+\left( a+b\right) \)

共通因数くくり出し解答36
文字におきかえる場合、この文字にしないといけない、というルールはありません。ただ、同じアルファベットの大文字と小文字が混ざる式になるような、ややこしい文字は使わないほうがいいでしょう。

式の一部をくくりだす操作が必要になる因数分解の問題

(39) \(a^{2}\left( x+2\right) +x+2\)

共通因数くくり出し解答39
(40) \(3a^{2}\left( x+2\right) -x-2\)
共通因数くくり出し解答40
同じ項のならびが作れるように、式の一部を-1でくくりました。このように、式の一部をくくりだしによって変形する操作で因数分解する問題もあります。

(41) \(3a^{2}\left( x+2\right) -2x-4\)

共通因数くくり出し解答41
(42) \(ax+bx+cx-2a-2b-2c\)
共通因数くくり出し解答42
式の一部を共通因数でくくりだすという操作を二カ所で実行するパターンの問題です

(45) \(a-7+c\left( 7-a\right) \)

共通因数くくり出し解答45
別解のほうが操作が難しいですが、参考書の解説などで、このあたりの操作を省略して説明されていることがあります。なので、難関を目指す方は習得しておくといいでしょう。

共通因数で2回くくりだす操作のある因数分解の応用問題

にゃんこ
ここからは、共通因数でくくりだす操作が2回ある応用問題を練習します。
(46) \(2a\left( 2a-b\right) -b\left( 2a-b\right) \)
共通因数くくり出し解答46

(50) \(\left( a+b\right) ^{2}\left( a-c\right) -\left( a+b\right) \left( a-c\right) ^{2}\)

共通因数くくり出し解答50
さいごのこの問題は、文字におきかえてから式の形を観察すると、次の操作に気が付きやすいようになっています。この問題のように、おきかえる文字が2種類登場する場合は、おきかえずに考えようとすると次の変形に気が付きにくいでしょう。
にゃんこ
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坂田先生
共通因数をくくりだす操作をすることによる因数分解の問題の練習は以上になります。