2次方程式の難問ページを追加しました

高校入試の計算問題の難問たち|工夫と思考力で解くハイレベルな中学数学

お母さま
ここは高校入試の計算問題の難問だけをかなり練習できるページです。
坂田先生
知らないと難問となる計算問題や、思考力と工夫で解く問題の数々をどうぞ。
このページの内容
  1. 高校入試の計算問題の難問|数値だけの計算
  2. 式の値を求める高校入試の計算問題
  3. 高校入試の計算問題(平方根バージョン)
  4. 計算問題の対策として準備しておきたい指数法則
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高校入試の計算問題の難問|中学数学

【基本パターン】文字を代入し式変形する

\(624^{2}-623\times 625\)
を計算しなさい。(土浦日本大学高校)

答え:1
土浦日本大学高校2021計算問題の解説
~数値だけの計算問題の工夫ポイント~
文字を代入する形で式変形をしていきます。
高校入試の計算問題でこのように数値だけの四則演算が出た場合、この問題のように中学3年生で学習する因数分解を使うパターンが非常に多いです。以下に続く問題でその練習をしていきましょう。(もちろんそれ以外のパターンもまれに存在します。)
2種類の文字を代入1

\(\dfrac{26\times 52+52\times 48+24\times 48}{26\times 52-52\times 48+24\times 48}\)
を計算しなさい。(慶應義塾女子高校)

答え: \(625\)
慶應義塾女子高校2016計算問題
~着眼点~
26の倍が52であり、24の倍が48である点に着目して文字を代入します。
2種類の文字を代入2

\(2015\times 202-2018\times 205\)
\(-2012\times 199+2016\times 203\)
を計算しなさい。(立教新座高校)

答え: \(2200\)
立教新座高校2016計算問題
解き方を指定された計算問題

\(\left( a+b\right) ^{2}-\left( a-b\right) ^{2}\) を求め、\(2017\times 2019\) を計算しなさい。
必要なら \(4036^{2}=16289296\) を用いてよい。(巣鴨高校)

答え:\(4072323\)
巣鴨高校2018計算問題の解説
解き方が指定された高校入試の計算問題です。文字式の計算結果を見て、\(2017\times 2019\) をどのように対応させるかを考えます。
すべてに文字を代入しない

\(2025^{2}+2019\times 2020-4039\times 2025\)
を計算しなさい。(大阪教育大付属高校池田校舎)

答え:\(30\)
大阪教育大学付属高校池田校舎2020計算問題の解説
~着眼点~
2019+2020=4039に気が付くかどうかがポイントです。
どの項を組み合わせるか

\(142^{2}+283^{2}+316^{2}\)
\(-117^{2}-158^{2}-284^{2}\)
を計算しなさい。(ラ・サール高校)

答え:\(80800\)
ラ・サール高校2021計算問題の解説
~着眼点~
解法では、まず最初に、(平方数)-(平方数)の組み合わせを3セット作るべく項の並びをかえています。その際、それぞれの下一桁に注目して、下一桁が2である142と下一桁が8である-158を並ばせています。なぜそのようにするのか、その後の計算を見ていくとわかります。
何を文字にするか

\(2022\times 2016-2019\times 2018\)
を計算しなさい。(大阪教育大付属高校池田校舎)

答え:\(2010\)
大阪教育大学付属高校池田校舎2019計算問題の解説
~着眼点~
2022と2016の真ん中にある数値は何でしょうか?
同じ数値に着目する計算問題

\(3.14159\times 7.55052\)
\(+2.44948\times 2.23606\)
\(+0.90553\times 2.44948\)
を計算しなさい。(開成高校)

答え:\(31.4159\)
開成高校2019計算問題の解説
~着眼点~
まず式をよく観察してみましょう。どこか同じ数値がないでしょうか。
知らないと難問

\(\left( 1-\dfrac{1}{2^{2}}\right) \left( 1-\dfrac{1}{3^{2}}\right) \left( 1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\)
\( \ldots \left( 1-\dfrac{1}{999^{2}}\right)\)
を計算しなさい。(慶應義塾高校)

答え: \(\dfrac{500}{999}\)
慶應義塾高校2017計算問題
知らないと難問となってしまうパターンの計算問題です。

高校入試|式の値を求める計算問題の難問

とりあえず計算する

\(ab^{2}=30\)のとき
\(-\left( 2ab\right) ^{4}\times 3a^{3}b\div \left( -2a^{2}b\right) ^{3}\)
の値を求めなさい。(洛南高校)

答え:\(180\)
洛南高校2019代入する計算問題の解説2
~ポイント~
まず\(ab^{2}=30\)が代入できないので、とりあえず式を計算してシンプルにしてみます。
どのタイミングで文字に数値を代入するか

\(x=2015\) 、\(y=2016\) のとき
\(x^{2}-2xy+y^{2}-3x+3y+2\)
の値を求めなさい。(慶應義塾志木高校)

答え: \(6\)
x-y=2015-2016=-1なので、それに気が付き、この解法の途中で代入すれば、さらにスムーズに解けます。
慶應義塾志木高校2017計算問題

文字式を変形してゆく過程で、どの段階で数値を代入するかによって解きやすさが変わります。

展開してから考えるか工夫するか

\(\left( a+1\right) \left( b+1\right) =7\) 、
\(\left( a-1\right) \left( b-1\right) =-1\)
のとき、
\(\left( a+2\right) \left( b+2\right) \)
の値を求めなさい。(城北高校)

答え:\(14\)
城北高校2019計算問題の解説
城北高校の計算問題の解説別解
~ポイント~
そのままではなにもできないので、とりあえず展開してから観察すると糸口が見えてきます。あるいは式の形に着目し、別解のように解く手順もありますが、その場合少し難しくなります。
条件式を使う場所

\(x-y=1\)、
\(\left( x+2\right) \left( 2-y\right) =4\)
のとき
\(x^{2}y^{2}-x^{2}y+xy^{2}\)
の値を求めなさい。(立命館高校)

答え:\(2\)
立命館高校2020計算問題1の解説
合計が1になる

x=0.79、y=0.21のとき
\(\left( x+3y\right) ^{2}-\left( x^{2}+3y^{2}\right)\)
の値を求めなさい。(日本大学第三高校)

答え: \(1.26\)
日本大学第三高校2016計算問題
~着眼点~
xとyの合計が1になるので、x+yの形をつくることを意識して式変形していきます。
条件式を変形して代入

a+b+c=0、abc=-3のとき
\(a^{3}\left( b+c\right) ^{2}b^{3}\left( c+a\right) ^{2}c^{3}\left( a+b\right) ^{2}\)
の値を求めなさい。(お茶の水女子大付属高校)

答え: \(-243\)
お茶の水女子大付属高校2017計算問題
1回だけ代入する計算テクニック

\(x=\dfrac{5}{2}\)のとき
\(\left( x-3\right) \left( x-4\right) \left( x-5\right)\)
\(+\left( x+3\right) \left( x+4\right) \left( x-5\right)\)
\(+\left( x+3\right) \left( x-4\right) \left( x+5\right)\)
\(+\left( x-3\right) \left( x+4\right) \left( x+5\right)\)
の値を求めなさい。(慶應義塾高校)

答え: \(-\dfrac{355}{2}\)
慶應義塾高校2018計算問題
慶應義塾高校2018計算別解1
慶應義塾高校2018計算問題を工夫で解く

~学習ポイント~
別解2は気が付けば計算しやすい解法ですが、現実的ではないため『おまけ』として掲載しておきます。また、ここでは『xの2乗に対してxの値を1回だけ代入する計算テクニック』を使っています。※ただし、この技は使わなくても解けます。

分数でくくり出す

\(3x^{2}-15x+7=0\)のとき、
\(3x^{4}-15x^{3}+35x-16\)
の値を求めなさい。(慶應義塾高校)

答え:\(\dfrac{1}{3}\)
慶應義塾高校2021計算問題の解説別解あり
~学習ポイント~
解説の後半で登場する『分数でくくり出す』変形のところで手間取る場合は、それだけの練習を繰り返して慣れておきましょう。
知らないと難問

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}\)
のとき
\(\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}\)
の値を求めなさい。(西大和学園高校)

答え:\(\dfrac{29}{26}\)
西大和学園高校2019計算問題の解説
解き方を知っていれば簡単。知らないと難問のパターンです。
何をどう代入するか?

\(a+b+c+d=4\)、

\(a\left( \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
\(+b\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
\(+c\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{d}\right) \)
\(+d\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=-14\)
のとき
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\)
の値を求めなさい。(灘高校)

答え: \(-\dfrac{5}{2}\)
灘高校2020計算問題の解説

灘高校2020計算問題の別解
別解はまた代入の仕方が違います。このように『代入のための式をどのように作り出すか』を考えるいい難問です。

高校入試の計算問題のさらに難問|平方根が登場するバージョン

坂田先生
当然のことですが、高校入試の計算問題には、平方根の登場するものとしないものがあります。
にゃんこ
このページでは、平方根なしのバージョンを学習しました。

その中でも、数値だけの計算の難問と、式の値を求める問題の2パターンに分け学習しました。

こちら↓でも同様に、平方根ありのバージョン『計算問題だけのもの』『式の値を求める問題』の2パターン用意しています。

高校入試の計算問題の難問を仕上げる練習として利用してください。

平方根の計算問題の難問

学習ページ:平方根の計算問題の仕上げとなる難問たち

高校入試の計算問題の難問対策として準備しておきたい指数法則

にゃんこ
難関私立の高校入試問題になると、計算の過程で指数法則を使うことがあります。
坂田先生
このページでも度々登場していた内容ですが、あらためてここでざっと紹介しておきます。
指数法則の基本

坂田先生
これらの指数法則は、たとえばこのような計算問題でふんだんに活用します。

計算しなさい。
\(\dfrac{\left\{ \left( 1+\sqrt{3}\right) ^{50}\right\} ^{2}\left( 2-\sqrt{3}\right) ^{50}}{2^{50}}\)
(立命館高校)

にゃんこ
上のまとめから、どの指数法則を使っているのかを確認しながら解き方を見てみましょう。
立命館高校2020計算問題2の解説
坂田先生
特に、紫色の部分で書かれている変形は、慣れていないと気が付きにくい操作です。

一度理解できたら、慣れるまで手を動かしましょう。

計算や式変形でまだ慣れない部分があれば、スラスラ解けるようになるまで、手を動かして練習することをおすすめします。(この点は、方程式の文章題の練習方法とは異なります。)

にゃんこ
このページの学習は以上です。
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