- 中１【頻出】正負の数の計算問題。四則演算の難問
- 中２【頻出】単項式と多項式の計算問題の難問
- 中３【出るかも】展開の難問
- 中３【超頻出】因数分解の難問
- 中３【出るかも】多項式の計算問題の難問（展開・因数分解を使用）
- 中３【頻出】工夫して解く計算問題の難問（展開・因数分解を使用）
- 中３【頻出】平方根の計算問題の難問
高校入試の計算問題の難問シリーズ｜学年別&テーマ別
中１｜正負の数の計算問題。四則演算の難問
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高校入試対策のために中１数学の範囲で習得しておくべき計算問題の難問は『正負の数の四則演算』です。
中２数学｜単項式と多項式の計算問題の難問
中３｜展開の難問
中３｜因数分解の難問
中３｜多項式の計算問題の難問（展開・因数分解を使用）
中３｜工夫して解く計算問題の難問（展開・因数分解を使用）
中３｜平方根の計算問題の難問
- 高校入試の計算問題の難問｜中３数学の工夫して解く問題
- 工夫して解く計算問題の難問｜過去問編
- 式の値を求める高校入試の計算問題
- 計算問題の対策として準備しておきたい指数法則
高校入試の計算問題の難問｜中３数学の工夫して解く問題
【別解１】
【別解２】
工夫して解く計算問題の難問｜過去問編
\(624^{2}-623\times 625\)
を計算しなさい。(土浦日本大学高校)
文字を代入する形で式変形をしていきます。
高校入試の計算問題でこのように数値だけの四則演算が出た場合、この問題のように中学３年生で学習する因数分解を使うパターンが非常に多いです。以下に続く問題でその練習をしていきましょう。（もちろんそれ以外のパターンもまれに存在します。）
\(\dfrac{26\times 52+52\times 48+24\times 48}{26\times 52-52\times 48+24\times 48}\)
を計算しなさい。(慶應義塾女子高校)
26の倍が52であり、24の倍が48である点に着目して文字を代入します。
\(2015\times 202-2018\times 205\)
\(-2012\times 199+2016\times 203\)
を計算しなさい。(立教新座高校)
\(\left( a+b\right) ^{2}-\left( a-b\right) ^{2}\) を求め、\(2017\times 2019\) を計算しなさい。
必要なら \(4036^{2}=16289296\) を用いてよい。(巣鴨高校)
\(2025^{2}+2019\times 2020-4039\times 2025\)
を計算しなさい。(大阪教育大付属高校池田校舎)
2019+2020=4039に気が付くかどうかがポイントです。
\(142^{2}+283^{2}+316^{2}\)
\(-117^{2}-158^{2}-284^{2}\)
を計算しなさい。(ラ・サール高校)
解法では、まず最初に、(平方数)-(平方数)の組み合わせを３セット作るべく項の並びをかえています。その際、それぞれの下一桁に注目して、下一桁が2である142と下一桁が8である-158を並ばせています。なぜそのようにするのか、その後の計算を見ていくとわかります。
\(2022\times 2016-2019\times 2018\)
を計算しなさい。(大阪教育大付属高校池田校舎)
2022と2016の真ん中にある数値は何でしょうか？
\(3.14159\times 7.55052\)
\(+2.44948\times 2.23606\)
\(+0.90553\times 2.44948\)
を計算しなさい。(開成高校)
まず式をよく観察してみましょう。どこか同じ数値がないでしょうか。
\(\left( 1-\dfrac{1}{2^{2}}\right) \left( 1-\dfrac{1}{3^{2}}\right) \left( 1-\dfrac{1}{4^{2}}\right)\)
\( \ldots \left( 1-\dfrac{1}{999^{2}}\right)\)
を計算しなさい。(慶應義塾高校)
高校入試｜式の値を求める計算問題の難問
\(ab^{2}=30\)のとき
\(-\left( 2ab\right) ^{4}\times 3a^{3}b\div \left( -2a^{2}b\right) ^{3}\)
の値を求めなさい。(洛南高校)
まず\(ab^{2}=30\)が代入できないので、とりあえず式を計算してシンプルにしてみます。
\(x=2015\) 、\(y=2016\) のとき
\(x^{2}-2xy+y^{2}-3x+3y+2\)
の値を求めなさい。(慶應義塾志木高校)
x-y=2015-2016=-1なので、それに気が付き、この解法の途中で代入すれば、さらにスムーズに解けます。
\(\left( a+1\right) \left( b+1\right) =7\) 、
\(\left( a-1\right) \left( b-1\right) =-1\)
のとき、
\(\left( a+2\right) \left( b+2\right) \)
の値を求めなさい。(城北高校)
そのままではなにもできないので、とりあえず展開してから観察すると糸口が見えてきます。あるいは式の形に着目し、別解のように解く手順もありますが、その場合少し難しくなります。
\(x-y=1\)、
\(\left( x+2\right) \left( 2-y\right) =4\)
のとき
\(x^{2}y^{2}-x^{2}y+xy^{2}\)
の値を求めなさい。(立命館高校)
x=0.79、y=0.21のとき
\(\left( x+3y\right) ^{2}-\left( x^{2}+3y^{2}\right)\)
の値を求めなさい。(日本大学第三高校)
xとyの合計が1になるので、x+yの形をつくることを意識して式変形していきます。
a+b+c=0、abc=-3のとき
\(a^{3}\left( b+c\right) ^{2}b^{3}\left( c+a\right) ^{2}c^{3}\left( a+b\right) ^{2}\)
の値を求めなさい。(お茶の水女子大付属高校)
\(x=\dfrac{5}{2}\)のとき
\(\left( x-3\right) \left( x-4\right) \left( x-5\right)\)
\(+\left( x+3\right) \left( x+4\right) \left( x-5\right)\)
\(+\left( x+3\right) \left( x-4\right) \left( x+5\right)\)
\(+\left( x-3\right) \left( x+4\right) \left( x+5\right)\)
の値を求めなさい。(慶應義塾高校)
～学習ポイント～
別解２は気が付けば計算しやすい解法ですが、現実的ではないため『おまけ』として掲載しておきます。また、ここでは『xの2乗に対してxの値を1回だけ代入する計算テクニック』を使っています。※ただし、この技は使わなくても解けます。
\(3x^{2}-15x+7=0\)のとき、
\(3x^{4}-15x^{3}+35x-16\)
の値を求めなさい。(慶應義塾高校)
解説の後半で登場する『分数でくくり出す』変形のところで手間取る場合は、それだけの練習を繰り返して慣れておきましょう。
\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}\)
のとき
\(\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}\)
の値を求めなさい。(西大和学園高校)
\(a+b+c+d=4\)、
\(a\left( \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
\(+b\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\right)\)
\(+c\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{d}\right) \)
\(+d\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=-14\)
のとき
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}\)
の値を求めなさい。(灘高校)
高校入試の計算問題の難問対策として準備しておきたい指数法則
計算しなさい。
\(\dfrac{\left\{ \left( 1+\sqrt{3}\right) ^{50}\right\} ^{2}\left( 2-\sqrt{3}\right) ^{50}}{2^{50}}\)
(立命館高校)
一度理解できたら、慣れるまで手を動かしましょう。
計算や式変形でまだ慣れない部分があれば、スラスラ解けるようになるまで、手を動かして練習することをおすすめします。（この点は、方程式の文章題の練習方法とは異なります。）
