中２｜単項式の乗除の難問たち【プリント版あり】単項式の計算の発展問題

にゃんこ

このページでは、中２数学で学習する、単項式の乗除の難問20パターンについて学習できます。

単項式の乗除難問20問一覧

にゃんこ

この問題&解答をプリントアウトしておきたい方は20問目の最後をご覧ください。（このテーマだけのドリル単品もあります）

中２｜単項式の乗除の難問たち

(1) \(\left( -\dfrac{b}{2a^{2}}\right) ^{3}\div \left( -\dfrac{1}{6a^{3}}\right) \times \dfrac{3a}{b^{4}}\)

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基本の復習になりますが、単項式のなかに割り算と掛け算の記号がつながっている場合、割り算の記号の直後のかたまりだけ分母と分子をひっくり返します。３乗の部分の計算が難しそうだと感じたら、解説にあるように、その部分の計算だけを済ませてしまう、という方法がおすすめです。

(2) \({\small \left( -\dfrac{3}{10}x^{4}y\right) ^{2}\div \left( -3xy^{2}\right) ^{3}\div \left( -\dfrac{1}{10}x^{2}y\right) ^{2}}\)

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指数法則になれていないと、難しく感じるかもしれません。そのような場合は中学数学で使う範囲の指数法則の基礎を復習しておきましょう。単項式の乗除問題をスラスラ解くには、指数法則の基礎力が必要になります。

(3) \({\small \left( -\dfrac{2}{3}x^{3}y\right) ^{2}\div \left( -\dfrac{1}{2}xy^{2}\right) \times \left( -\dfrac{1}{2}xy\right) ^{3}}\)

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(4) \(\left( -a^{3}b^{2}\right) ^{2}\div \left( 2a^{2}b\right) ^{3}\div \left( -\dfrac{1}{2}a^{2}\right) ^{3}\)

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(5) \(\dfrac{2}{5}x^{3}\div \left\{ -\dfrac{4}{3}\left( x^{2}\right) ^{3}\right\} \div \left( -\dfrac{3}{5}x\right) ^{2}\)

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\(\left\{ -\dfrac{4}{3}\left( x^{2}\right) ^{3}\right\}\)の部分がややこしいと感じるかもしれません。3乗の指数はxの2乗に対して付いています。なのでxの6乗にしてから計算していきます。

(6) \(a\left( -\dfrac{a}{b^{2}}\right) ^{3}\left( \dfrac{b}{a^{3}}\right) ^{3}\div \left( -2ab\right) \)

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どの部分を３乗すればいいか迷った方は、カッコに対して指数３が付いていることに注目してください。カッコの中をまるごと３乗するということです。

(7) \(\left( -\dfrac{3}{2}x^{2}y\right) ^{3}\div \left( -\dfrac{9}{4}xy^{3}\right) ^{2}\div \left( -\dfrac{x}{y}\right) ^{3}\)

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負の数を２乗すれば正の数になり、３乗すれば負の数のままです。そのことに注意してください。

(8) \(\left( -2a^{2}b\right) ^{3}\div \left( -\dfrac{1}{3}ab^{3}\right) \times \left( -\dfrac{b^{3}}{2a^{2}}\right) ^{2}\)

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(9) \(\left( -0.5a^{2}b\right) ^{3}\div \left( -0.2a^{2}b^{3}\right) ^{2}\)

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単項式の乗除の難問になると、小数が混ざった計算が登場します。その場合は、解説にあるように分数に直してみると、小数よりも簡単に計算することができます。

(10) \(\left( -\dfrac{1}{3}xy^{2}\right) ^{3}\div \left( -\dfrac{1}{2}x^{2}y\right) ^{2}\div \left( -2xy^{2}\right) ^{2}\)

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(11) \(-1^{2}\times a^{2}b\div \left( 0.5ab\right) ^{3}\times \left( 0.25\right) ^{2}\)

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0.25は４分の１です。単項式の乗除の難問ではよく見かけるので、即座に反応できるようになっておきましょう。

(12) \(\left( -\dfrac{bc}{3a}\right) ^{3}\div \left( -\dfrac{2}{3ab^{2}}\right) ^{4}\times \left( \dfrac{4}{b^{3}c}\right) ^{3}\)

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４乗の処理は２乗したのち２乗するという方法がおすすめです。例えば３の４乗をする場合、３を２乗して９になり、その９をさらに２乗して８１といった具合です。ちなみにさらに８１を２乗すると３を８乗したことになります。

(13) \(-2^{4}\div \left( -\dfrac{2a^{3}}{b^{2}}\right) ^{2}\times \left( -2a^{2}b\right) ^{2}\)

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−２に対して指数４がついているのではなく、２に対してだけ指数４がついています。（注意してください）

(14) \({\small \left( -3a^{2}b\right) ^{3}\div \left( -\dfrac{2}{5}ab^{2}\right) ^{2}\times \left( -\dfrac{2}{ab^{2}}\right) ^{3}\div 0.5}\)

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(15) \(\left( -3xy^{2}\right) ^{3}\div \left( -\dfrac{9}{10}x^{2}\right) ^{2}\times \left( 0.2x\right) ^{3}\)

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(16) \({\small -\dfrac{\left( -2x^{2}y^{3}\right) ^{3}}{2}\div \left( \dfrac{4y^{3}}{-3x^{2}}\right) ^{2}\div \left( 1-1.25\right) ^{2}}\)

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1−1.25の部分は先に計算します。その結果を分数にすると、これまでのような問題になります。また、指数の３に注意してください。分子の部分にカッコがしてあって、そこに指数３があります。ということは、分数をまるごと３乗するのではなく、カッコの中だけを３乗するということです。

(17) \(\left( -\dfrac{1.2bc}{a}\right) ^{3}\times \left( 1.25a^{2}bc\right) ^{3}\)

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分子に小数があった場合、解説にあるように一度、掛け算のつながりに戻してから、1.2の部分を分数にかえることをおすすめします。また、1.25の部分もまずは分数に直したのち、約分できるだけ約分してから３乗したほうが計算が楽になります。

(18) \({\small \left( -3x^{2}y\right) ^{3}\div \left\{ \left( -3x^{3}y^{2}\right) ^{2}\div \left( -\dfrac{1}{3}xy\right) ^{2}\right\} }\)

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(19) \(-1^{2}\div \dfrac{-\left( ab^{2}c^{3}\right) ^{2}}{\left( -a\right) ^{2}\left( -b\right) ^{3}\left( -c^{4}\right) }\)

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それぞれどこに指数がかかっているかを見ていく問題です。カッコの外に指数がある場合はカッコの部分をまるごとかけます。たとえば \(\left( -b\right) ^{3}\) は \(-b\) をまるごと３乗するので、カッコをはずすと \(-b^{3}\) となります。ただし、この問題の場合は、それが分母の計算の一部としてあらわれているので、 \(\left( -b^{3}\right)\) のようにカッコをつけたままにしておかないと、式の書き方としておかしいことになります。（よくわからないという場合は \(\left( -b^{3}\right)\) と書かずに、\(-b^{3}\)と書いてみてください。式の書き方のルールとしておかしくなっていることに気が付くでしょう。）

(20) \({\small \left( \dfrac{1}{4}x\right) ^{3}\div \left( -\dfrac{5}{8}x\right) ^{2}\div \left( -0.5x\right) ^{2}\times \left( -1.25x\right) ^{3}}\)

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