【特集】規則性の問題をパターン別に解説

平方根の計算問題の難問たち|中学数学~高校入試

平方根の計算問題難問サムネ

坂田先生
ここは、中学数学で学習する平方根の計算問題の難問を練習するページです。(無料プリントあり)
35問一覧
平方根計算一覧1000
にゃんこ
実際に難関私立の高校入試問題で出題された良問からパターンを抽出し独自作成した35問で練習してください。
計算難問のもくじ
坂田先生
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にゃんこ
プリント学習したい方は『平方根の計算問題|中学数学の難問レベル』の35問目の最後をご覧ください。
このページの内容
  1. 平方根の計算問題|中学数学の難問レベル
  2. 平方根の計算問題の難問|高校入試の過去問編

平方根の計算問題|中学数学の難問レベル

(1) \(\dfrac{4+5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\dfrac{2\sqrt{14}-\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)

平方根の計算難問01
【別解1】
平方根の計算難問01別解2
【別解2】
平方根の計算難問01別解1
(2) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
平方根の計算難問02
【別解】
平方根の計算難問02別解
(3) \({\small \dfrac{\left( \sqrt{3}+5\right) \left( \sqrt{3}-3\right) }{2}-\left( -\dfrac{4}{\sqrt{2}}\right) ^{3}\div \dfrac{4}{\sqrt{6}}}\)
平方根の計算難問03
(4) \({\small \sqrt{5}\left( \dfrac{1}{\sqrt{10}}-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) -\sqrt{5}\left( \dfrac{1}{\sqrt{10}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)} \)
平方根の計算難問04
(5) \(\dfrac{2}{\sqrt{14}}\left( 7-\sqrt{7}\right) -\left( 1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) ^{2}\)
平方根の計算難問5の解説改
平方根の計算難問5の別解改
(6) \(\dfrac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}}-\dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
平方根の計算難問06
【別解】
平方根の計算難問06別解
(7) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
平方根の計算難問07
(8) \(\left( 0.6\right) ^{3}\times 5^{2}-\left\{ \dfrac{6\sqrt{3}}{5}\div \left( -\sqrt{3}\right) ^{3}\right\} \)
平方根の計算難問08
(9) \(\dfrac{\sqrt{80}-10\sqrt{3}}{\sqrt{5}}-\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}\right) ^{2}\)
平方根の計算難問09
(10) \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\left( \sqrt{12}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) \left( \sqrt{18}+9\right) \)
平方根の計算難問10
【別解】
平方根の計算難問10別解
(11) \(\dfrac{\sqrt{7}\left( \sqrt{21}+1\right) }{7}-\dfrac{1+\sqrt{28}}{\sqrt{7}}+2\)
平方根の計算難問11
(12) \(7.5\times \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) ^{2}\)
平方根の計算難問12
【別解】
平方根の計算難問12別解
(13) \({\small -\dfrac{7}{\sqrt{10}}\left\{ \dfrac{\left( \sqrt{5}+1\right) ^{2}}{\sqrt{2}}+\left( -\sqrt{2}\right) ^{3}-\sqrt{2}\right\} }\)
平方根の計算難問13
(14) \(\dfrac{\left( 3\sqrt{2}-\sqrt{6}\right) \left( \sqrt{3}+3\right) }{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2}\)
平方根の計算難問14
(15) \({\small \left( \sqrt{7}+1\right) ^{3}\left( \sqrt{7}-1\right) -\left( \sqrt{7}+1\right) \left( \sqrt{7}-1\right) ^{3}}\)
平方根の計算難問15
(16) \(\sqrt{4.51^{2}-4.49^{2}}\div \sqrt{2}\)
平方根の計算難問16
(17) \({\small \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left( \sqrt{5}+2\sqrt{2}\right) ^{2}-\left( 2\sqrt{5}+\sqrt{2}\right) ^{2}\right\} -\dfrac{1}{\sqrt{5}}}\)
平方根の計算難問17
(18) \(\dfrac{\left( -\sqrt{6}\right) ^{3}+\left( -\sqrt{8}\right) ^{3}}{\left( -\sqrt{2}\right) ^{3}}\)
平方根の計算難問18
(19) \(\sqrt{\left( 17^{2}-11^{2}\right) \div \left( 14^{2}-11^{2}\right) \div 0.04}\)
平方根の計算難問19
(20) \({\tiny \left( \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right) ^{2}+2\left( \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right) \left( \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right) +\left( \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right) ^{2}}\)
平方根の計算難問20
(21) \({\small \left( 2-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) ^{2}-\dfrac{\left( \sqrt{6}-\sqrt{3}\right) \left( -1+\sqrt{2}\right) }{\sqrt{3}}}\)
平方根の計算難問21
(22) \(\dfrac{1}{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\dfrac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)
平方根の計算難問22
(23) \({\tiny \left\{ \sqrt{11}\left( \sqrt{14}+\sqrt{5}\right) -\sqrt{7}\left( \sqrt{14}+\sqrt{5}\right) -\sqrt{5}\left( \sqrt{11}-\sqrt{7}\right) \right\} \div \sqrt{14}}\)
平方根の計算難問23
(24) \(\left\{ \left( 2\sqrt{3}+\sqrt{11}\right) ^{2}\left( \sqrt{11}-\sqrt{12}\right) ^{2}\right\} ^{3}\)
平方根の計算難問24の解説改
(25) \(\dfrac{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2}\right) ^{5}\left( \sqrt{3}-\sqrt{2}\right) ^{6}}{\left( \sqrt{7}+\sqrt{6}\right) ^{5}\left( \sqrt{7}-\sqrt{6}\right) ^{5}}\)
平方根の計算難問25
(26) \(\sqrt{0.0025}+\sqrt{0.125}\)
平方根の計算難問26
【別解】
平方根の計算難問26別解
(27) \(\sqrt{0.98}+\sqrt{0.02}+\sqrt{0.08}\)
平方根の計算難問27
【別解】
平方根の計算難問27別解
(28) \({\tiny \left\{ \left( 7+4\sqrt{3}\right) ^{3}+\left( 7-4\sqrt{3}\right) ^{3}\right\} ^{2}-\left\{ \left( 7+4\sqrt{3}\right) ^{3}-\left( 7-4\sqrt{3}\right) ^{3}\right\} ^{2}}\)
平方根の計算難問28
(29) \(\left( \sqrt{16}+\sqrt{24}+\sqrt{32}+8\right) \div \sqrt{8}\)
平方根の計算難問29
(30) \({\tiny \left( \sqrt{7}-\sqrt{5}\right) \left( \sqrt{21}+\sqrt{15}\right) \left( \sqrt{28}-\sqrt{20}\right) \left( \sqrt{14}+\sqrt{10}\right)} \)
平方根の計算難問30
(31) \({\tiny \left( 1-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right) ^{2}+\left( 1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}\right) ^{2}}\)
平方根の計算難問31の解説改2
(32) \(\dfrac{\sqrt{0.52^{2}-0.2^{2}}}{0.3^{2}}\)
平方根の計算難問32
(33) \({\small \left\{ \left( \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right) ^{6}-\left( \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right) ^{2}\right\} \div \left( 1+\sqrt{3}\right)} \)
平方根の計算難問33
(34) \(\dfrac{\left( -3\right) ^{55}-3^{53}}{\left( \sqrt{3}\right) ^{100}}\)
平方根の計算難問34
(35) \({\tiny \left\{ \left( \sqrt{14}+\sqrt{13}\right) ^{3}+\left( \sqrt{14}-\sqrt{13}\right) ^{3}\right\} ^{2}-\left\{ \left( \sqrt{14}+\sqrt{13}\right) ^{3}-\left( \sqrt{14}-\sqrt{13}\right) ^{3}\right\} ^{2}}\)
平方根の計算難問35の解説改2
ここまでの35問について
にゃんこ
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  1. 平方根の計算問題だけの全問一覧&問題&解説(計25枚)こちら
  2. 平方根の計算問題を含む計算難問のお得な全部セット(161枚)こちら
  3. 全部セット無料版(104枚)こちら
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平方根の計算問題の難問|高校入試の過去問編

指数に着目する平方根の計算問題

計算しなさい。(市川高校)
\(\left( \sqrt{7}+\sqrt{5}\right) ^{2}\left( \sqrt{7}-\sqrt{5}\right) ^{2}\)
\(+\left( \sqrt{3}+\sqrt{2}\right) ^{2}\left( \sqrt{3}-\sqrt{2}\right) ^{2}\)

答え: \(5\)
市川高校2016の計算問題
~アドバイス~
ここでの解説がわかりにくいという場合は、指数の取り扱いについて復習しておくといいでしょう。
分数に平方根がある計算問題1

\(\sqrt{\dfrac{\left( 22^{2}-11^{2}\right) \left( 26^{2}-13^{2}\right) }{11\times 2^{2}\times 39\times 52}}\)
を計算しなさい。(青山学院高校)

答え:\(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)
青山学院高校2021計算問題の解説
~解き方のポイント~
この問題はとりあえず平方根を気にしないで、その中にある分数式の部分にまず集中しましょう。
分数に平方根がある計算問題2

\(\dfrac{\sqrt{1.52^{2}-1.48^{2}}}{\sqrt{2.29^{2}-2.21^{2}}}\)
を計算しなさい。(立命館高校)

答え: \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
立命館高校2017計算問題
これでも前の問題と同様、平方根を気にしないで中の計算を工夫してゆくパターンです。ただ、分母と分子の平方根を一緒にしてから考える、というステップが追加されています。
展開しないで処理する

\(\sqrt{12}\left( \sqrt{13}+\sqrt{68}\right) \)
\(+\sqrt{34}\left( \sqrt{13}+\sqrt{68}\right) \)
\(-\sqrt{13}\left( \sqrt{12}+\sqrt{34}\right) \)
\(-\sqrt{24}\left( \sqrt{12}+\sqrt{34}\right) \)
を計算しなさい。(慶應義塾女子高校)

答え:\(22\sqrt{2}\)
慶應義塾女子高校2018計算問題の解説
展開しないで共通因数を見つけて簡単なかたちに変形し、処理してゆくパターンです。
そのまま計算しない工夫

慶應義塾女子高校の過去問計算問題
を計算しなさい。(慶應義塾女子高校)

答え:\(2\)
慶應義塾女子高校2019計算問題の解説
平方根の式を通分する計算問題

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}\)
を計算しなさい。(東大寺学園高校)

答え:\(\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}\)
東大寺学園高校2021計算問題の解説2
分母に平方根の式がある場合の通分について練習できる問題です。慣れない場合は手を動かしてスラスラ解ける状態に仕上げておきましょう。
同じ式は文字で処理せよ1

\(\left\{ \left( 3+2\sqrt{2}\right) ^{4}+\left( 3-2\sqrt{2}\right) ^{4}\right\} ^{2}\)
\(-\left\{ \left( 3+2\sqrt{2}\right) ^{4}-\left( 3-2\sqrt{2}\right) ^{4}\right\} ^{2}\)
を計算しなさい。(巣鴨高校)

答え:\(4\)
巣鴨高校2019計算問題の解説
~解き方のポイント~
4乗の式をどう処理するかと考える前に、まず平方根の式で同じものがあるので、それを文字で置き変えて計算してみましょう。すると、きれいに処理できてしまうというパターンです。
同じ式は文字で処理せよ2

\(\left( \sqrt{7}-\sqrt{5}\right) ^{8}\left( \sqrt{7}+\sqrt{5}\right) ^{10}\)
\(-\left( \sqrt{7}-\sqrt{5}\right) ^{10}\left( \sqrt{7}+\sqrt{5}\right) ^{8}\)
を計算しなさい。(早稲田実業高校)

答え: \(1024\sqrt{35}\)
早稲田実業高校2017計算問題
指数が大きい場合でも、先程の問題と同じパターンです。ただ、どこまでの式を文字に置き換えるかという点が少し違います。
何を文字に置き換えるか?

\(\left( \sqrt{2}+1\right) ^{4}-\left( \sqrt{2}-1\right) ^{4}\)
を計算しなさい。(慶應義塾高校)

答え:\(24\sqrt{2}\)
慶應義塾高校2019計算問題の解説
指数法則と平方根の計算問題

\(\dfrac{\left\{ \left( 1+\sqrt{3}\right) ^{50}\right\} ^{2}\left( 2-\sqrt{3}\right) ^{50}}{2^{50}}\)
を計算しなさい。(立命館高校)

答え:\(1\)
立命館高校2020計算問題2の解説
にゃんこ
これらの指数法則を復習しておきましょう。
指数法則の基本
指数法則を使った処理について慣れていない場合は難問に見える問題です。また、解説のように一部だけを取り出して計算しないと、手間が膨大になってしまいます。
平方根の因数でくくり出す計算問題

\(\left( \sqrt{77}+7\right) \left( \sqrt{44}-\sqrt{28}-\dfrac{8}{\sqrt{11}}\right)\)
を計算しなさい。(開成高校)

答え: \(-\dfrac{56\sqrt{11}}{11}\)
開成高校2017計算問題7をルート7とルート7に因数分解して計算の工夫をしてゆく処理が、初見の場合は難しいでしょう。
これが難問の理由は、7の処理の仕方にあります。このような計算問題の経験がないと気が付きにくいでしょう。
にゃんこ
これ以外にも『平方根の取り扱いを学習できる入試問題のテーマ』がありますので、必要な方は練習しておいてください。
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にゃんこ
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坂田先生
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計算プリントの説明私立難問の計算問題シリーズ

にゃんこ
【お願い】万が一、間違いを発見された方は、こちらまで連絡をいただけると非常に助かりますm(__)m