2次方程式の難問ページを追加しました

平方根の計算問題の難問たち|中学数学~高校入試

坂田先生
ここは、中学数学で学習する平方根の計算問題の難問を練習するページです。
にゃんこ
実際に難関私立の高校入試問題で出題された良問で練習してください。
このページの内容
  1. 【条件式なし版】平方根の計算問題の難問
  2. 【条件式あり版】式の値を求める平方根の計算問題の難問
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平方根の計算問題|中学数学の難問レベル

指数に着目する平方根の計算問題

計算しなさい。(市川高校)
\(\left( \sqrt{7}+\sqrt{5}\right) ^{2}\left( \sqrt{7}-\sqrt{5}\right) ^{2}\)
\(+\left( \sqrt{3}+\sqrt{2}\right) ^{2}\left( \sqrt{3}-\sqrt{2}\right) ^{2}\)

答え: \(5\)
市川高校2016の計算問題
~アドバイス~
ここでの解説がわかりにくいという場合は、指数の取り扱いについて復習しておくといいでしょう。
分数に平方根がある計算問題1

\(\sqrt{\dfrac{\left( 22^{2}-11^{2}\right) \left( 26^{2}-13^{2}\right) }{11\times 2^{2}\times 39\times 52}}\)
を計算しなさい。(青山学院高校)

答え:\(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)
青山学院高校2021計算問題の解説
~解き方のポイント~
この問題はとりあえず平方根を気にしないで、その中にある分数式の部分にまず集中しましょう。
分数に平方根がある計算問題2

\(\dfrac{\sqrt{1.52^{2}-1.48^{2}}}{\sqrt{2.29^{2}-2.21^{2}}}\)
を計算しなさい。(立命館高校)

答え: \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
立命館高校2017計算問題
これでも前の問題と同様、平方根を気にしないで中の計算を工夫してゆくパターンです。ただ、分母と分子の平方根を一緒にしてから考える、というステップが追加されています。
展開しないで処理する

\(\sqrt{12}\left( \sqrt{13}+\sqrt{68}\right) \)
\(+\sqrt{34}\left( \sqrt{13}+\sqrt{68}\right) \)
\(-\sqrt{13}\left( \sqrt{12}+\sqrt{34}\right) \)
\(-\sqrt{24}\left( \sqrt{12}+\sqrt{34}\right) \)
を計算しなさい。(慶應義塾女子高校)

答え:\(22\sqrt{2}\)
慶應義塾女子高校2018計算問題の解説
展開しないで共通因数を見つけて簡単なかたちに変形し、処理してゆくパターンです。
そのまま計算しない工夫

慶應義塾女子高校の過去問計算問題
を計算しなさい。(慶應義塾女子高校)

答え:\(2\)
慶應義塾女子高校2019計算問題の解説
平方根の式を通分する計算問題

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}\)
を計算しなさい。(東大寺学園高校)

答え:\(\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}\)
東大寺学園高校2021計算問題の解説2
分母に平方根の式がある場合の通分について練習できる問題です。慣れない場合は手を動かしてスラスラ解ける状態に仕上げておきましょう。
同じ式は文字で処理せよ1

\(\left\{ \left( 3+2\sqrt{2}\right) ^{4}+\left( 3-2\sqrt{2}\right) ^{4}\right\} ^{2}\)
\(-\left\{ \left( 3+2\sqrt{2}\right) ^{4}-\left( 3-2\sqrt{2}\right) ^{4}\right\} ^{2}\)
を計算しなさい。(巣鴨高校)

答え:\(4\)
巣鴨高校2019計算問題の解説
~解き方のポイント~
4乗の式をどう処理するかと考える前に、まず平方根の式で同じものがあるので、それを文字で置き変えて計算してみましょう。すると、きれいに処理できてしまうというパターンです。
同じ式は文字で処理せよ2

\(\left( \sqrt{7}-\sqrt{5}\right) ^{8}\left( \sqrt{7}+\sqrt{5}\right) ^{10}\)
\(-\left( \sqrt{7}-\sqrt{5}\right) ^{10}\left( \sqrt{7}+\sqrt{5}\right) ^{8}\)
を計算しなさい。(早稲田実業高校)

答え: \(1024\sqrt{35}\)
早稲田実業高校2017計算問題
指数が大きい場合でも、先程の問題と同じパターンです。ただ、どこまでの式を文字に置き換えるかという点が少し違います。
何を文字に置き換えるか?

\(\left( \sqrt{2}+1\right) ^{4}-\left( \sqrt{2}-1\right) ^{4}\)
を計算しなさい。(慶應義塾高校)

答え:\(24\sqrt{2}\)
慶應義塾高校2019計算問題の解説
指数法則と平方根の計算問題

\(\dfrac{\left\{ \left( 1+\sqrt{3}\right) ^{50}\right\} ^{2}\left( 2-\sqrt{3}\right) ^{50}}{2^{50}}\)
を計算しなさい。(立命館高校)

答え:\(1\)
立命館高校2020計算問題2の解説
にゃんこ
これらの指数法則を復習しておきましょう。
指数法則の基本
指数法則を使った処理について慣れていない場合は難問に見える問題です。また、解説のように一部だけを取り出して計算しないと、手間が膨大になってしまいます。
平方根の因数でくくり出す計算問題

\(\left( \sqrt{77}+7\right) \left( \sqrt{44}-\sqrt{28}-\dfrac{8}{\sqrt{11}}\right)\)
を計算しなさい。(開成高校)

答え: \(-\dfrac{56\sqrt{11}}{11}\)
開成高校2017計算問題7をルート7とルート7に因数分解して計算の工夫をしてゆく処理が、初見の場合は難しいでしょう。
これが難問の理由は、7の処理の仕方にあります。このような計算問題の経験がないと気が付きにくいでしょう。

式の値を求める平方根の計算問題(難問)

平方根の式が分母にあった場合の有理化

\(x=3+2\sqrt{2}\)、\(y=3-2\sqrt{2}\)のとき
\(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)の値を求めなさい。(久留米大学附設高校)

答え: \(\sqrt{2}\)
久留米大学附設高校2017計算問題
~学習ポイント~
平方根の式が分母にあった場合の有理化について練習できる問題です。
項が3つある問題

\(a=1+\sqrt{5}-\sqrt{6}\)、
\(b=1+\sqrt{5}+\sqrt{6}\)
のとき
\(\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right) ^{2}\)
の値を求めなさい。(久留米大学附設高校)

答え: \(\dfrac{6}{5}\)
久留米大学附設高校2017計算問題
代入する式の項が3つあって難しく見える場合でも、結局やるべきことは同じです。
3通りの解き方

\(x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\) のとき、
\(4x^{3}+4x^{2}-2x-1\)
の値を求めなさい。(西大和学園高校)

答え:\(\sqrt{5}-2\)
西大和学園高校2018計算問題の解説
西大和学園高校2018計算問題の別解1
西大和学園高校2018計算問題の別解2
~学習ポイント~
平方根の計算が絡んでくる場合、このような問題を工夫なしに処理するのは面倒です。理想的には『解説』の方法がベストなのですが、計算だけで解こうとする場合、個人的には別解1が一番簡単なのではと思います。次の問題も同様のパターンです。
3通りの解き方2

\(x=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)
のとき、
\(2x^{2}+2x+1\)
の値を求めなさい。(立命館高校)

答え:\(2\)
立命館高校2018計算問題の解説3通り
前の問題の練習になるものを用意しました。
5乗をどうするか

\(x+y=\sqrt{11}\) 、
\(x-y=\sqrt{3}\) のとき
\(x^{5}y^{5}\)
の値を求めなさい。(筑波大付属高校)

答え:\(32\)
筑波大学付属高校2019計算問題の解説
5乗の処理のことを踏まえながら、xとyの代入をどうするかを考える問題です。
係数が平方根の問題

\(\sqrt{3}x+\sqrt{2}y=1\) 、
\(\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=\sqrt{6}\)
のとき、
\(x^{2}-y^{2}\) の値を求めなさい。
(東大寺学園高校)

答え:\(-5\)
東大寺学園高校2020計算問題の解説
東大寺学園高校2020計算問題の別解
~学習ポイント~
このパターンに解き慣れていないと、最初の変形に気が付きにくい難問です。この問題のように、文字の係数が平方根をもつ問題、辺々を2乗するという手が有効である場合があります。
分母に平方根がある計算問題

\(a=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}\) 、\(b=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}\) のとき、 \(a^{2}+b^{2}+3ab\) の値を求めなさい。(久留米大学附設高校)

答え: \(1\)
久留米大学附設高校2016の計算問題
作りたい形から逆算する

\(x=2\sqrt{2}-\sqrt{3}\) 、
\(y=-\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)
のとき
\(2x^{2}+5xy+2y^{2}\) の値を求めなさい。(東大寺学園高校)

答え:\(9\sqrt{6}\)
東大寺学園高校2019計算問題の解説2通り
~解き方のポイント~
\(\left( x+y\right) ^{2}\) の形から逆算して式変形をしてゆく序盤が最難関です。
xyをどう作るか

\(x+y=\sqrt{5}\)、\(x-y=\sqrt{3}\)のとき
\(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}\)の値を求めなさい。(大阪星光学院高校)

答え: \(2\sqrt{15}\)
大阪星光学院高校2017計算問題
最初に辺々を2乗しないで、xとyをそれぞれ求めてから解くという方法もあります。
~着眼点~
ルート5とルート3の平方根をどうするか、を考えましょう。また、解説にある以外の解法もあります。(xとyをそれぞれ求めてから解くという方法です)
式変形で突破する

\(x=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\)のとき、
\(x^{2}-2x-4\)の値を求めなさい。
(早稲田実業高校)

答え:\(2\sqrt{6}\)
早稲田実業高校2020計算問題の解説
平方根の式を直接代入して計算してゆくという方法もありますが、式変形で突破する解法を掲載しました。
作りたい式のかたちから逆算する平方根の計算問題

\(x=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 、
\(y=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) のとき、
\(4x^{2}y^{2}-x^{2}-y^{2}+4xy-2x+2y\)
の値を求めなさい。(東大寺学園高校)

答え:\(-2\sqrt{2}\)
東大寺学園高校2018計算問題の解説
~学習ポイント~
作りたい式のかたちから逆算する平方根の計算問題です。
知らないと難問

\(x+\dfrac{1}{x}=5-\sqrt{5}\) のとき
(1)
\(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\) の値を求めなさい。

答え:\(28-10\sqrt{5}\)
渋谷教育学園幕張高校2021計算問題1の解答
(2)
\(\dfrac{\sqrt{x^{4}-10x^{3}+25x^{2}-10x+1}}{x}\)
の値を求めなさい。(幕張高校)
答え:\(3\)
渋谷教育学園幕張高校2021計算問題の2の解説
特に(1)は知っていると簡単、知らないと非常に難問です。
4つの式をよく観察せよ

\(a-b=2\sqrt{3}\)、
\(b+d=2\sqrt{5}\)、
\(b+c=2\sqrt{7}\)、
\(a-d=2\sqrt{7}\)、
のとき、 \(a\) の値と \(abcd\) の値をそれぞれ求めなさい。(灘高校)

答え: \(a=\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}\)、\(abcd=59\)
灘高校2021計算問題の解説
~最初の着眼点~
4つの条件式は、aが2回登場し、bが3回登場し、cが1回登場し、dが2回登場して、バランスよくきれいに規則的に作られてはいないようです。よく観察すると、『どの式をピックアップすればaを求めることができるか』が見えてきます。
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にゃんこ
これ以外にも『平方根の取り扱いを学習できる入試問題のテーマ』がありますので、必要な方は練習しておいてください。