- 【条件式なし版】平方根の計算問題の難問
- 【条件式あり版】式の値を求める平方根の計算問題の難問
平方根の計算問題｜中学数学の難問レベル
計算しなさい。(市川高校)
\(\left( \sqrt{7}+\sqrt{5}\right) ^{2}\left( \sqrt{7}-\sqrt{5}\right) ^{2}\)
\(+\left( \sqrt{3}+\sqrt{2}\right) ^{2}\left( \sqrt{3}-\sqrt{2}\right) ^{2}\)
ここでの解説がわかりにくいという場合は、指数の取り扱いについて復習しておくといいでしょう。
\(\sqrt{\dfrac{\left( 22^{2}-11^{2}\right) \left( 26^{2}-13^{2}\right) }{11\times 2^{2}\times 39\times 52}}\)
を計算しなさい。(青山学院高校)
この問題はとりあえず平方根を気にしないで、その中にある分数式の部分にまず集中しましょう。
\(\dfrac{\sqrt{1.52^{2}-1.48^{2}}}{\sqrt{2.29^{2}-2.21^{2}}}\)
を計算しなさい。(立命館高校)
\(\sqrt{12}\left( \sqrt{13}+\sqrt{68}\right) \)
\(+\sqrt{34}\left( \sqrt{13}+\sqrt{68}\right) \)
\(-\sqrt{13}\left( \sqrt{12}+\sqrt{34}\right) \)
\(-\sqrt{24}\left( \sqrt{12}+\sqrt{34}\right) \)
を計算しなさい。(慶應義塾女子高校)
を計算しなさい。(慶應義塾女子高校)
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}\)
を計算しなさい。(東大寺学園高校)
\(\left\{ \left( 3+2\sqrt{2}\right) ^{4}+\left( 3-2\sqrt{2}\right) ^{4}\right\} ^{2}\)
\(-\left\{ \left( 3+2\sqrt{2}\right) ^{4}-\left( 3-2\sqrt{2}\right) ^{4}\right\} ^{2}\)
を計算しなさい。(巣鴨高校)
４乗の式をどう処理するかと考える前に、まず平方根の式で同じものがあるので、それを文字で置き変えて計算してみましょう。すると、きれいに処理できてしまうというパターンです。
\(\left( \sqrt{7}-\sqrt{5}\right) ^{8}\left( \sqrt{7}+\sqrt{5}\right) ^{10}\)
\(-\left( \sqrt{7}-\sqrt{5}\right) ^{10}\left( \sqrt{7}+\sqrt{5}\right) ^{8}\)
を計算しなさい。(早稲田実業高校)
\(\left( \sqrt{2}+1\right) ^{4}-\left( \sqrt{2}-1\right) ^{4}\)
を計算しなさい。(慶應義塾高校)
\(\dfrac{\left\{ \left( 1+\sqrt{3}\right) ^{50}\right\} ^{2}\left( 2-\sqrt{3}\right) ^{50}}{2^{50}}\)
を計算しなさい。(立命館高校)
\(\left( \sqrt{77}+7\right) \left( \sqrt{44}-\sqrt{28}-\dfrac{8}{\sqrt{11}}\right)\)
を計算しなさい。(開成高校)
7をルート7とルート7に因数分解して計算の工夫をしてゆく処理が、初見の場合は難しいでしょう。式の値を求める平方根の計算問題（難問）
\(x=3+2\sqrt{2}\)、\(y=3-2\sqrt{2}\)のとき
\(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)の値を求めなさい。(久留米大学附設高校)
平方根の式が分母にあった場合の有理化について練習できる問題です。
\(a=1+\sqrt{5}-\sqrt{6}\)、
\(b=1+\sqrt{5}+\sqrt{6}\)
のとき
\(\left( \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right) ^{2}\)
の値を求めなさい。(久留米大学附設高校)
\(x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\) のとき、
\(4x^{3}+4x^{2}-2x-1\)
の値を求めなさい。(西大和学園高校)
平方根の計算が絡んでくる場合、このような問題を工夫なしに処理するのは面倒です。理想的には『解説』の方法がベストなのですが、計算だけで解こうとする場合、個人的には別解1が一番簡単なのではと思います。次の問題も同様のパターンです。
\(x=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)
のとき、
\(2x^{2}+2x+1\)
の値を求めなさい。(立命館高校)
\(x+y=\sqrt{11}\) 、
\(x-y=\sqrt{3}\) のとき
\(x^{5}y^{5}\)
の値を求めなさい。(筑波大付属高校)
\(\sqrt{3}x+\sqrt{2}y=1\) 、
\(\sqrt{2}x+\sqrt{3}y=\sqrt{6}\)
のとき、
\(x^{2}-y^{2}\) の値を求めなさい。
(東大寺学園高校)
このパターンに解き慣れていないと、最初の変形に気が付きにくい難問です。この問題のように、文字の係数が平方根をもつ問題、辺々を２乗するという手が有効である場合があります。
\(a=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{6}}\) 、\(b=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}\) のとき、 \(a^{2}+b^{2}+3ab\) の値を求めなさい。(久留米大学附設高校)
\(x=2\sqrt{2}-\sqrt{3}\) 、
\(y=-\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)
のとき
\(2x^{2}+5xy+2y^{2}\) の値を求めなさい。(東大寺学園高校)
\(\left( x+y\right) ^{2}\) の形から逆算して式変形をしてゆく序盤が最難関です。
\(x+y=\sqrt{5}\)、\(x-y=\sqrt{3}\)のとき
\(\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}\)の値を求めなさい。(大阪星光学院高校)
最初に辺々を２乗しないで、xとyをそれぞれ求めてから解くという方法もあります。
ルート５とルート３の平方根をどうするか、を考えましょう。また、解説にある以外の解法もあります。（xとyをそれぞれ求めてから解くという方法です）
\(x=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}\)のとき、
\(x^{2}-2x-4\)の値を求めなさい。
(早稲田実業高校)
\(x=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 、
\(y=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) のとき、
\(4x^{2}y^{2}-x^{2}-y^{2}+4xy-2x+2y\)
の値を求めなさい。(東大寺学園高校)
作りたい式のかたちから逆算する平方根の計算問題です。
\(x+\dfrac{1}{x}=5-\sqrt{5}\) のとき
(1)
\(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\) の値を求めなさい。
\(\dfrac{\sqrt{x^{4}-10x^{3}+25x^{2}-10x+1}}{x}\)
の値を求めなさい。(幕張高校)
\(a-b=2\sqrt{3}\)、
\(b+d=2\sqrt{5}\)、
\(b+c=2\sqrt{7}\)、
\(a-d=2\sqrt{7}\)、
のとき、 \(a\) の値と \(abcd\) の値をそれぞれ求めなさい。(灘高校)
４つの条件式は、aが2回登場し、bが3回登場し、cが1回登場し、dが2回登場して、バランスよくきれいに規則的に作られてはいないようです。よく観察すると、『どの式をピックアップすればaを求めることができるか』が見えてきます。
