仕事量の問題【方程式・連立方程式の文章題】中学数学~高校入試

基礎から難問まで解説します

にゃんこ
中学数学や高校入試問題で登場する仕事量の問題について、それぞれ解説していきます。
坂田先生
知らなければ難問になる問題を3パターン紹介します。
このページの内容
  1. 2人同時の仕事量の問題
  2. 全体を1とおく水槽の問題
  3. 使用台数と日数を考慮する仕事量の問題
ここに掲載した問題の効果的な使い方

仕事量の問題:方程式の文章題【中1~高校入試】

2人同時の仕事量の問題

ある仕事を、Aさんが一人でとりかかると120日かかる。
またBさんが一人でとりかかると72日かかる。
この仕事を、AさんとBさんの二人がかりで同時にとりかかると、何日かかるか求めよ。
ただし二人の仕事量は、二人がかりの時も一人でとりかかった時もそれぞれ同じものとする。

答え:45日

にゃんこ
この仕事全体の仕事量をaとして考えます。
坂田先生
また、二人がかりでx日かけて仕事量aを達成したとします。
二人で協力する仕事量の解説

まず、Aさんが120日がかりでできる仕事量がaということになります。

なのでAさんが1日にできる仕事量はその120分の1である \(\dfrac{a}{120}\) となります。

同様に考えて、Bさんが1日にできる仕事量は \(\dfrac{a}{72}\) となります。

二人がかりでx日かけて仕事量aを達成したということなので

\(\dfrac{a}{120}x+\dfrac{a}{72}x=a\)

となります。

aは0でないので両辺をaで割ると

\(\dfrac{1}{120}x+\dfrac{1}{72}x=1\)

となり、これを解いて

x=45

となります。

坂田先生
この問題では全体の仕事量をaとおいて考えましたが、全体を1とおいて考えることもできます。※詳しくは『全体を1とおく水槽の問題』をご覧ください。
全体を1とおく水槽の問題

ある水槽に水を入れる。この水槽は、大ポンプだけを使うと4時間で満水になり、小ポンプだけを使うと6時間で満水になる。
この水槽に、はじめは大ポンプだけを使って水を入れていたところ、大ポンプが故障した。
なのでその後、小ポンプだけを使って水を入れ、水槽全体の \(\dfrac{7}{12}\) の量の水を入れるのに3時間かかった。
この時、大ポンプと小ポンプを使用した時間をそれぞれ求めよ。

答え:
大ポンプの使用時間は1時間
小ポンプの使用時間は2時間

にゃんこ
大ポンプの使用時間をx(時間)
小ポンプの使用時間をy(時間)

として考えます。

2つのポンプの使用時間の合計は3時間なので

x+y=3

という方程式ができます。

ここで2通りの考え方ができます。

その1:水槽が満水になる水の量をaとおく方法

その2:水槽が満水になる水の量を1とおく方法

それぞれ見てみましょう。

坂田先生
その1:水槽が満水になる水の量をaとおく方法
水槽の方程式の解説※両辺をaで割るとき、aが0でないということを確認しておきましょう。

にゃんこ
その2:水槽が満水になる水の量を1とおく方法
水槽の方程式の解説2

このようにどちらも同じ方程式が完成します。

これと
x+y=3
とを連立方程式で解き

x=1
y=2
となります。

坂田先生
それぞれのポンプが1時間あたりに水槽に注げる水の量仕事量として考える方程式の問題でした。
連立方程式ではなく、方程式で解く場合(中1の方)は
水槽の方程式の解説3で立式してください。

小ポンプを使用した時間

3時間-大ポンプを使用した時間

なので、上のような内容になります。

仕事量の問題:連立方程式の文章題【中2~高校入試】

使用台数と日数を考慮する仕事量の問題

ある製品を1日あたり、それぞれ一定の個数だけ製造できる機械A、Bがある。
この機械Aを2台、Bを1台使って3日間製造し、翌日からAを1台、Bを2台使って、2日間製造したところ、製品が134個できた。
また、AとBを1台ずつ4日間にわたって製造し、翌日から機械Bだけを4台使って2日間製造したところ、製品が152個できた。
機械Aと機械Bが1日に製造できる製品の個数をそれぞれ求めよ。

答え:
機械Aの1日当たりの製造個数は8個
機械Bの1日当たりの製造個数は10個

にゃんこ
機械AとBがそれぞれ1日あたりに製造できる個数をa、bとして考えます。
機械の製造個数の問題の解説機械Aが1日に製造できる個数がa個なので、機械Aが2日で製造できる個数は2a個というように考え、上の表のようになります。

例えば機械Bを4台使用し、それで2日間製造した場合は、2b×4=8b個製造される、というように考えます。

それによってできた連立方程式を解き、aとbを求めて完了です。

坂田先生
このように、機械が1日当たりにできる仕事量(製造個数)を文字に置き換える方程式の問題でした。
にゃんこ
この方程式の作り方のパターンは珍しいものになっていますので、知らないと難問に感じてしまうかもしれません。
坂田先生
高校入試対策を意識している方は一度は解いておいてほしい問題です。
坂田先生
以上、仕事量に関する方程式や連立方程式の文章題について解説しました。
にゃんこ
他のパターンはこちらにまとめて解説していますので、方程式の高校入試対策をしたい方は是非ご覧ください。