時計の長針と短針の速さと角度の問題｜中学数学～高校入試
アナログ時計の時刻を示す針(短針と長針)の向きについて、次の問いに答えよ。
短針は、24時間で2周します。（午前で1周、午後で1周）
つまり、12時間で1周(360°)します。
1時間は12時間の12分の1なので、360°の12分の1だけ進むということです。
計算すると、1時間で30°ということがわかります。
1時間(60分)で30°進むということは、
1分はその60分の1の時間なので、30°の60分の1だけ進むということになります。
計算すると0.5°となります。
長針は60分で360°（１時間で１周）進みます。
1分はその60分の1なので、360°の60分の1進むことになります。
よって、360°を60で割り、1分で30°進むのだとわかります。
短針が１２時間で１周する間に、長針は１２周（１時間ごとに１周）します。
なので、長針の進む速さは、短針の進む速さの１２倍となります。
時計の長針と短針がつくる角度の問題｜中学数学～高校入試
短針は1分に0.5°回転するので、26分では13°回転する。
長針は1分に6°回転するので、26分では156°回転する。
長針の方が先行しているので、12時の位置から長針の進んだ分の角度-12時の位置から短針の進んだ分の角度が求める角度となります。
156°-13°=143°
この長針と短針でできる角度a（a≦180）を求めよ。
3時x分において長針と短針のなす角度が60°になるときのxの値について考える。
長針が12時の向きから3時x分の向きと比べて右回りに進んだ分の角度をa
短針が12時の向きから3時x分の向きと比べて右回りに進んだ分の角度をb
とする。
3時ちょうどの時、長針は12時の向きを指していたので、そこから3時x分までのx分間の移動で、長針が12時の向きからどれだけ回転したかを考えればいい。
長針は1分につき6°右回転するのでx分で6x°右回転する。
よって、aをxの式で表すと【Ａ】
また、12時ちょうどの時から3時x分までは、180＋x(分)ある。
12時ちょうどの時、短針は12時の向きを指していたのでそこから3時x分までの180＋x(分)の間の移動で、短針が12時の向きからどれだけ回転したかを考えればいい。
短針は1分につき0.5°右回転するので、180分(3時間)で90°右回転し、x分で0.5x°右回転する。
よって、bをxの式で表すと【Ｂ】
長針が12時の向きから進んだ分の角度−短針が12時の向きから進んだ分の角度＝60°
よって
\(a-b=60\)
\(6x-\left( 90+0.5x\right) =60\)
これを解き、 \(x=27\)
短針が12時の向きから進んだ分の角度−長針が12時の向きから進んだ分の角度＝60°
よって
\(b-a=60\)
\(\left( 90+0.5x\right) -6x\)
これを解き、 \(x=\dfrac{315}{55}=5\dfrac{40}{55}=5\dfrac{8}{11}\)
2時y分において、長針が12時の向きから進んだ分の角度は6y°
2時y分において、短針が12時の向きから進んだ分の角度は60°＋0.5y°
長針が12時の向きから進んだ分の角度よりも、短針が12時の向きから進んだ分の角度のほうが小さい時
長針が12時の向きから進んだ分の角度−短針が12時の向きから進んだ分の角度＝60°となる。
よって
\(6y-\left( 60+0.5y\right) =60\)
\(y=\dfrac{1200}{55}=\dfrac{240}{11}=21\dfrac{9}{11}\)
長針が12時の向きから進んだ分の角度よりも、短針が12時の向きから進んだ分の角度のほうが大きい時
短針が12時の向きから進んだ分の角度−長針が12時の向きから進んだ分の角度＝60°となる
よって
\(\left( 60+0.5y\right) -6y=60\)
\(y=0\)
したがって、 \(y=21\dfrac{9}{11}\) 、\(y=0\)
\(5\dfrac{8}{11}\)＜27
なので
３時台においては、3時\(5\dfrac{8}{11}\)分が3時に最も近い時刻である。
5＜\(5\dfrac{8}{11}\)＜6なので
3時の6分前である2時54分から3時0分の間に、長針と短針のなす角度が60°となることがない場合、3時に最も近い時刻で長針と短針のなす角度が60°となる時刻は3時\(5\dfrac{8}{11}\)分となる。
2時54分から3時0分の間に、長針と短針のなす角度が60°となる時刻はない。
よって答えは、3時\(5\dfrac{8}{11}\)分
1時間で長針は360°進むので、0時00分からちょうどa時間後、針の向きは同じままである。
1分で長針は6°進むので、b分では6b°進む。
よって0時00分からa時b分までに長針は6b°進む。
a時間b分は60a＋b(分)である。
1分で短針は0.5°進むので、60a＋b(分)では
\(\left( 60a+b\right) \times 0.5\)
\(=30a+\dfrac{b}{2}\) 度進む。
よって、0時00分からa時b分までに短針は\(30a+\dfrac{b}{2}\) 度進む。
1分で0.5度回る短針は、3時間、すなわち180分で \(180\times 0.5=90\) 度回る。
x分では0.5x°回る。
よって、0時00分から3時間x分が経過する間に短針は0.5x＋90(度)回る。
したがって \(y=0.5x+90\)
長針の先端をＡ、短針の先端をＢとし、文字盤の中心を点Ｏとする。
午前3時x分における∠ＡＯＰの大きさをxで表せ。ただし、文字盤の12時の位置から右回りにＡ、Ｐと並ぶものとする。
長針が、文字盤の12時の位置から右回りに回転した角度をxで表すと
午前3時x分においては6x°となる。
線分ＯＰが、文字盤の12時の位置から右回りに回転した角度をxで表すと
午前3時においては270°
それから線分ＯＰは点Ｏを中心に、長針の進む速さの半分、すなわち1分ごとに3°進む速さで半時計回りに回転するので
午前3時x分においては(270−3x)°となる。
文字盤の12時の位置から右回りにＡ、Ｐと並ぶので
270−3x＞6x
よって、∠ＡＯＰは
\(\left( 270-3x\right) -6x\)
= \(270-9x\)
長針が、文字盤の12時の位置から右回りに回転した角度をxで表すと
午前3時x分においては6x°となる。
短針が、文字盤の12時の位置から右回りに回転した角度をxで表すと
短針は1時間に30°右回転するので
午前3時においては3×30°=90°
そこからさらに1分につき0.5°右回転するので、
午前3時x分においては（\(90+0.5x\) ）°となる。
文字盤の12時の位置から右回りにＢ、Ａと並ぶので
\(6x\) ＞ \(90+0.5x\)
よって、∠ＡＯＢは
\(6x-\left( 90+0.5x\right) \)
= \(5.5x-90\)
条件１：∠ＡＯＰ＝∠ＡＯＢとなる。
条件２：文字盤の12時の位置から右回りに、Ｂ、Ａ、Ｐと並ぶ。
∠ＡＯＰ＝ \(270-9x\)
∠ＡＯＢ＝ \(5.5x-90\)
条件より、∠ＡＯＰ＝∠ＡＯＢなので
\(270-9x\) ＝ \(5.5x-90\)
これを解き
\(x=\dfrac{720}{29}=24\dfrac{24}{29}\)
よって3時 \(24\dfrac{24}{29}\) 分が求める時刻となり、この時、文字盤の12時の位置から右回りに、Ｂ、Ａ、Ｐと並ぶ。。
時計の長針と短針の角度がテーマの高校入試の過去問
(B)点Ｐは午後２時ちょうどに文字盤の９の位置を出発して、次の条件を満たしながら時計の周上を回る。
条件１：回る向きは針の回る向きと逆向きである。
条件２：回る速さは長針の回る速さの半分である。
長針と短針と線分ＯＰが、はじめてこの順に等しい角度の間隔で並ぶのは午後２時何分か求めよ。ただし答えは帯分数の形で答えること。
(受験生の２人に１人が利用)
アナログ時計の針の向きは、0時00分の時の状態から
・長針は1分で6度進む。
・短針は1分で0.5度進む。
※次の問題(1)～(3)の解説にあるように暗記していなくても導くことができますが、暗記しておくと問題を解く際の時間短縮になります。