2次関数の応用問題&難問テーマ別25選|中学数学~高校入試

高校入試関数の対策サムネ
にゃんこ
このページには中学3年生に学習する数学の2次関数(関数\(y=ax^{2}\))の応用問題を公開しています。
坂田先生
標準レベルの応用問題から、難問を解く土台となる基本パターンを全て網羅しました。
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ここの問題をマスターすることで身に付くこと
  1. 高校入試『関数の応用問題』を解く道具の基本セットが身に付きます。
  2. 計算を短縮できるテクニック集が身に付きます。(後半に一覧あり)
【注意】ここの学習を利用しないほうが良い方&このページの利用方法
坂田先生
プロ講師の僕が最も生徒さんにやってほしくない勉強法は、たくさんの問題を解き散らかして復習しないことです。
にゃんこ
これだけは本当に時間の無駄になるのでやめてください。
坂田先生
なので、ここでの学習を反復しないつもりであれば、愛用テキストを何度も繰り返して身に付けることを絶対に優先させてください。
にゃんこ
なんとか解ける状態では、本番で道具として使えません。
坂田先生
目安としては『書き込みのある解説ページを見ながら、掛け算の九九のようにスラスラ解き方を説明できる状態』に仕上げてください。
にゃんこ
書いて練習すると大変な時間がかかるので、書き込みのある解説ページを見ながら、どうしてその手順をしていくのか?を口頭で自分に説明していってください。

おすすめのプリントの使い方

坂田先生
掛け算の九九のようにスラスラ説明できる状態に仕上げて初めて、見慣れない問題でも道具として使えることができます。
お知らせ
にゃんこ
ここでの全問題&全解答&公式&テクニック集をまとめた有料版プリントアウト用PDFがあります。
坂田先生
プリントアウトして反復練習しやすいようにデザインしました。ぜひ反復用に使い倒してください。
販売ページはこちら(3月に再開します)

※全問動画解説付きのセット版を半額でゲットしたい方はこちら(2024年夏頃にリリース予定)

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にゃんこ
次に、学習できる関数の難易度について説明します。
坂田先生
ここで特訓できる2次関数(関数\(y=ax^{2}\))の難易度はこちらの3段階です。
目的別:3種類の学習範囲
  1. 2次関数の問題|定期テスト対策用の標準以上のレベル
    中学数学の2次関数の定期テストで90点以上を目指す方用の問題です。(教科書やワークの問題をまだ対策していないという方は、そちらを優先することをおすすめします)
  2. 2次関数の範囲までの問題2次関数のもくじ1
  3. 2次関数の難問・応用問題|中学数学~高校入試
    定期テストで満点を目指す方用の難問です。当然、高校入試の難問対策も兼ねています。(相似、円周角の定理、三平方の定理といったテーマを除外した問題です。)
  4. 2次関数の範囲までの難問2次関数のもくじ2
  5. 2次関数の標準~難問|融合問題など高校入試対策用
    高校入試の2次関数について、標準から難問レベルまで対策するための土台作りとなります。(相似、面積比、円周角の定理、三平方の定理など、2次関数以降に学習するテーマとの融合問題になっています。)
  6. 高校入試の関数対策問題2次関数のもくじ3
  7. 【復習用】2次関数の難問対策の土台:公式&テクニック集まとめ
    これもプリントアウト版に含まれています。今回の学習で取り扱った「2次関数に関連する公式&テクニック集(まとめ2枚分)」について、一つひとつ復習していきます。
  8. 二次関数まとめページ45から46

    にゃんこ
    【重要】なかでも、これは最初に知っておいてください。
    直線の式を求める公式
    坂田先生
    【2】【4】【14】【23】【24】で別解として活躍する『頻出&最重要な公式』です。
にゃんこ
ここから下が問題&解説ページです
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2次関数の問題|定期テスト対策用の標準以上のレベル

2次関数の範囲までの問題2次関数のもくじ1
にゃんこ
解説&解答の部分はタップですべて開くことができます。
【1】放物線、一次関数、反比例、中点の座標がテーマの問題

1のグラフ修正版図1図2はともに点Bが、2点A、Cの中点であり、点Aの \(x\)座標は4、点Cの \(y\)座標は3となっている。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 図1の定数\(a\) の値を求めよ。

答:\(a=11\)
放物線1の1の解説1放物線1の1の解説2放物線1の1の解説3
(2)図2の定数\(b\) の値を求めよ。
答:\(b=\dfrac{1}{2}\)
にゃんこ
図1の場合の解き方と比較しました。(同じ手順で解けるということを確認してください)
放物線1の2の全体解説
2点の中点の座標は、2点の\(x\)座標の平均と\(y\)座標の平均になります。(1)はできるけど(2)で少しややこしく感じた中学生は、(2)の解説にある両方の解き方を左右に見ながら、(1)と(2)の2問を同時に解いてみてください。同じ手順の部分を左右で確かめながら解くといいでしょう。ちなみに比較して解く際に理解しやすいよう、図1と図2は同じ関数のグラフを使っています。
【2】放物線と直線との交点でつくる面積の問題

放物線3のグラフ図のように、放物線 \(y=cx^{2}\) 、直線 \(y=ax+b\) があり、その交点Aの \(x\)座標は \(4\) 、交点Bの \(x\)座標は\(-2\) である。△OABの面積が\(18\) のとき、次の問いに答えよ。(\(a\)、\(b\)、\(c\)は定数とする。)
(1) \(b\) の値を求めよ。

答:\(b=6\)
放物線2の1の解説1放物線2の1の解説2
(2) \(a\) と \(c\) の値をそれぞれ求めよ。
答:\(a=\dfrac{3}{2}\)、\(c=\dfrac{3}{4}\)
放物線2の2の解説
放物線2の2の別解用公式
放物線2の2の別解2
(2)の別解で使った公式は、使う場面がとても多い上に、解答までの過程を大幅に省略してくれます。今後、このページでも別解として頻繁に登場するので、試験本番にて時間短縮したい方は、ぜひ覚えておくことをおすすめします。
【3】放物線と線分の長さがテーマの問題~基本編~

放物線4のグラフ図のように、放物線 \(y=ax^{2}(a>0)\) 、放物線 \(y=-\dfrac{1}{3}x^{2}\) 、直線 \(x=3\) 、直線 \(x=b(b<0)\) がある。(\(a\)、\(b\)は定数とする。)
放物線と直線との各交点A、B、C、Dを図のように定めるものとする。
\(AB=9\) 、 \(CD=4\) であるとき次の問いに答えよ。
(1) \(a\) の値を求めよ。

答:\(a=\dfrac{2}{3}\)
放物線3の1の解説1放物線3の1の解説2
(2) \(b\) の値を求めよ。
答:\(b=-2\)
放物線3の2の解説1放物線3の2の解説2
線分の長さを計算するときは、基本的に「大きい値」−「小さい値」をして求めます。解答に「大」「小」と書き込みがあるのは、そういう意味だと思ってください。
また、y軸に平行な直線の式の表し方を忘れていた方は、直線 \(x=b\)のところで「何これ?」と思ったかもしれません。そんな場合はまず答えを見て、bの値を代入した式を作ってから、もう一度問題を読んでください。
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【4】放物線と線分の長さがテーマの問題~応用編~

放物線5のグラフ図のように、放物線 \(y=x^{2}\) 、直線 \(l\)があり、その交点をA、Bとする。2点A、Bの \(x\)座標はそれぞれ\(3\)、\(-1\)である。また、放物線\(y=x^{2}\)上に点Pを、直線 \(l\)上に点Qをとり、2点P、Qの \(x\)座標はともに \(t\)であるとする。このとき次の問いに答えよ。
(1)2点P、Qの座標をそれぞれ \(t\)を用いて表せ。

答:P\(( t , t^{2} )\)、Q\(( t , 2t+3 )\)
放物線4の解説このように、別解として、直線 \(l\)の式を求める際に公式を使う方法もあります。
(2) \(-1\leqq t\leqq 3\) のとき、線分PQの長さが \(1\)となるような \(t\)の値をすべて求めよ。
答:\(t=1+\sqrt{3}、1-\sqrt{3}\)
放物線4の2の解説
(3) \(t<-1\) または \(3<t\) のとき、線分PQの長さが \(1\)となるような \(t\)の値をすべて求めよ。
答:\(t=1-\sqrt{5}\)(\(t\)<\(-1\)のとき)、\(t=1+\sqrt{5}\)(\(3\)<\(t\)のとき)、
放物線4の3の解説
(2)(3)の最初に「こんな感じに2カ所ありそう。」と予測しています。このようにまず、2点P、Qがどのあたりにあるのか?という目星をつけてから考えると、式を作りやすいことが多いです。
また、(2)(3)の最後に登場したテクニック(\(\sqrt{3}\)や\(\sqrt{5}\)などの近似値を覚えておいて、それを利用して値の大きさをチェックする方法)も知っておいてください。
【5】放物線上の点で正方形を作る問題~基本編~

放物線6のグラフ図のように、放物線 \(y=\dfrac{3}{2}x^{2}\)のグラフ上に点Aがある。点Aから\(x\)軸、\(y\)軸に垂線を引き、その交点をそれぞれQ、Pとする。
四角形APOQが正方形となるときの点Aの座標を求めよ。ただし、点Aの\(x\)座標は正とする。

答:\(\begin{pmatrix}
\dfrac{2}{3} ,& \dfrac{2}{3}
\end{pmatrix}\)
放物線5の解説1放物線5の解説2
正方形ならば各辺の長さが等しいということを利用して方程式を作るパターンの問題です。この問題を基本として、次の【6】のような問題が作られます。
【6】放物線上の点で正方形を作る問題~応用編~

放物線7のグラフ図のように、放物線 \(y=x^{2}\) 上に2点A、D、放物線\(y=\dfrac{1}{4}x^{2}\)上に4点B、C、E、H、放物線 \(y=-\dfrac{1}{2}x^{2}\) 上に2点F、Gがある。
四角形ABCDと四角形EFGHの辺は座標軸に平行である。点Aと点Eの\(x\)座標は負であるものとして、次の問いに答えよ。
(1)点Aの\(x\)座標が \(-1\)のとき、四角形ABCDの面積を求めよ。

答:\(\dfrac{3}{2}\)
放物線6の1の解説1
放物線6の1の解説2
放物線6の1の解説3
放物線6の1の解説4
(2)四角形ABCDが正方形となるときの点Aの座標を求めよ。
答:\(\begin{pmatrix}
-\dfrac{8}{3} ,& \dfrac{64}{9}
\end{pmatrix}\)
放物線6の2の解説1
放物線6の2の解説2
放物線6の2の解説3
放物線6の2の解説4
(3)四角形EFGHが正方形となるときの点Hの座標を求めよ。
答:\(\begin{pmatrix}
\dfrac{8}{3} ,& \dfrac{16}{9}
\end{pmatrix}\)
放物線6の3の解説1
放物線6の3の解説2
放物線6の3の解説3
放物線6の3の解説4
ひとつの放物線上にあるy座標が等しい2点は、y軸を対称の軸として点対称な位置にあります(簡単に言えば2点は左右対称です)。(1)(2)(3)の解答の突破口はすべてそこからスタートしています。
【7】傾きが等しいことを利用する問題(公式を使えば簡単)

放物線8のグラフ図にある曲線は、関数\(y=ax^{2}\)のグラフで、そのグラフ上にある2点A、Bの\(x\)座標は、それぞれ \(-3\)、 \(6\)である。
また、直線ABが \(y\)軸と点C( 0 , 12 )で交わるとき、 定数\(a\) の値と直線ABの式を求めよ。

答:\(a=\dfrac{2}{3}\)、直線ABの式\(y=2x+12\)
放物線7の解説1
放物線7の解説
放物線7の公式
放物線7の公式解法1
放物線7の公式解法2
公式の威力を実感できる問題です。別解のように、公式を使えば簡単に解くことができます。公式を使わない場合は解説にある通り、傾きが等しいことを利用して方程式を作ります。
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2次関数の難問・応用問題|中学数学~高校入試

2次関数の範囲までの難問2次関数のもくじ2

定期テスト対策用として利用される方への注意
ここから先は2次関数の範囲までで完結する問題について難問中心に対策していきます。
ただしその中には、一般的な難易度の定期テストには基本的には出題されない問題も含まれています。
もちろん学校のテスト難易度や、先生の出題傾向によっては出題の可能性はあります。
ただ、定期テスト対策として利用される場合は、基本的にはひとまず除外して学習を進めることをおすすめします。
【13】の(2)で使用します。
平行四辺形の面積を二等分する直線
【15】の(4)では、この左側にまとめてある「2点L、Mの中点Nを通る直線」についてあつかっています。これについてはまず出題されません。
台形の面積を二等分する直線
【8】の(3)と【11】にて使用しています。
8問目と11問目で使う連立方程式
【8】放物線と等積変形

放物線9のグラフ図のように、放物線\(y=x^{2}\)と直線 \(y=x+7\)の交点をA、Bとする。点Cの座標を( 0 , 2 )とする。このとき、△ABC=△ABPとなる点Pについて考える。次の問いに答えよ。
(1)点Pが点Cとは異なる\(y\)軸上にあるとき、点Pの座標を求めよ。

答:\((0,12)\)
放物線8の1の解説1
にゃんこ
点Pの位置はなぜそこなのか?の説明です。
放物線8の1の解説2
にゃんこ
ということはつまり…
放物線8の1の解説3
坂田先生
‥という訳です。
ちなみにこのテーマの問題でよく使う知識も紹介しておきます。
放物線8の関連知識改
にゃんこ
話をもとに戻します。
放物線8の1の解説1
放物線8の1の解説4
(2)点Pが\(x\)軸上にあるとき、点Pの座標を求めよ。
答:\((-2,0)\)、\((-12,0)\)
放物線8の2の解説1
放物線8の2の解説2
(3)点Pが放物線\(y=x^{2}\)上にあるとき、点Pの座標を求めよ。
答:\((2,4)\)、\((-1,1)\)、\((4,16)\)、\((-3,9)\)
放物線8の3の解説1
放物線8の3の解説2
放物線と等積変形がテーマの問題です。このテーマの問題は、(3)のように「直線の式と放物線の式を連立方程式で解いて、交点を求める」という操作が必要になることが多いです。(3)については、一般的な難易度の定期テストで登場することはありませんが、難しめの問題まで出る私立の対策をされる方はマスターしておきましょう。(特に明訓高校は超頻出)
【9】放物線上に円の中心がある問題

放物線10のグラフ図のように、放物線 \(y=ax^{2}\) のグラフ上に2点A、Bをそれぞれ中心とする2つの円があり、2つの円はともに\(y\)軸と直線 \(y=-4\) に接している。このとき点Bを中心とする円の半径を求めよ。

答:\(4\)
放物線9の解説1放物線9の解説2
どこから解き始めればいいかわからないパターンの問題です。このように円が登場した場合は、円の直径または半径がわからないだろうか?または文字で表せないだろうかか?と探ってみます。解答にある最初の部分に気が付けるかどうかがポイントです。
【10】放物線と平行四辺形~基本編~

放物線11のグラフ図のように、放物線 \(y=2x^{2}\)と2点A( 6 , 2 )、B( 11 , 12 )がある。
四角形ABCDが平行四辺形となるように、放物線 \(y=2x^{2}\)に2点C、Dをとるとき、2点C、Dの座標をそれぞれ求めよ。

答:C\((3,18)\)、D\((-2,8)\)
放物線10の解説1
にゃんこ
このことを利用して2点C、Dの座標を求めます。
二次関数10の解説2
2次関数と平行四辺形の性質がテーマの問題です。ここでは基本的な操作を解説し、次の【11】が高校入試で出題されるような問題になります。
【11】放物線と平行四辺形~応用編~

放物線12のグラフ図のように、直線\(y=2x\)に対し、放物線\(y=2x^{2}\)、 放物線\(y=\dfrac{1}{3}x^{2}\) との原点を除く交点をそれぞれA、Bとする。四角形ABCDが平行四辺形となるように、放物線\(y=2x^{2}\)上に2点C、Dをとるとき、2点の座標をそれぞれ求めよ。

答:C\((3,18)\)、D\((-2,8)\)
坂田先生
まず2点A、Bの座標を求めるのですが、その方法は【8】で使ったものと同じです。
放物線11の解説1
にゃんこ
ここからは、前の問題の操作とまったく同じです。(途中の数値で異なる部分はあります)
二次関数11の解説2
坂田先生
【10】【11】で使った考え方は、このまとめ図↓の左半分にあたります。
平行四辺形の考え方
にゃんこ
右半分にあるようなとらえ方もできるということを理解しておきましょう。
解説の最後にまとめたように、 平行四辺形が登場したときに使える『\(x\)座標の差、\(y\)座標の差がそれぞれ等しい』という考え方には、2通りの見方ができるということを知っておきましょう。この発想は次の問題でも使います。
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【12】平行四辺形のイメージがつかみにくい放物線の問題

放物線13のグラフ図のように、放物線\(y=\dfrac{1}{4}x^{2}\)のグラフ上に2点A、Bがあり、2点の座標は、\(A( -2 , 1 )\)、\(B( 4 , 4 )\)である。放物線\(y=\dfrac{1}{4}x^{2}\)上に3点A、B、Oと異なる点Cをとり、点Cを通り直線ABに平行な直線と\(x\)軸との交点をDとする。
このとき四角形ABCDが平行四辺形となるような点Cの座標をすべて求めよ。

答:\(( 2\sqrt{3} , 3 )\)、\(( -2\sqrt{3}, 3 )\)
放物線12の考え方
坂田先生
問題を解く前にこのように調べることで『点Cのy座標がわかればいいんだな』というところまで突き止めます。
にゃんこ
あとは【10】【11】で使った考え方と同じです。
平行四辺形の考え方
坂田先生
この発想を使います。
放物線12の解説
問題文にある条件を満たす平行四辺形が、どんな感じに座標平面上に書き込まれるのかイメージしにくい問題です。こういった場合は、最初に平行四辺形の様子を調べる作業をします。解説の最初にあるように、まずは放物線を一度無視します。その状態で平行四辺形になるような線分CDをいくつか書き込んでみます。そうすることで、線分CDをどう書き込めば平行四辺形になるかということがわかってくるので、これを手掛かりに考えます。
【13】平行四辺形の面積を2等分する

放物線14のグラフ図のように、放物線\(y=\dfrac{1}{3}x^{2}\)上に3点A、B、Cがあり、\(y\)軸上に点Dがある。
点Aの座標が\(( -3 , 3 )\)、線分ABは \(x\)軸と平行であり、四角形ABCDが平行四辺形であるとき、次の問いに答えよ。
(1)四角形ABCDの面積を求めよ。

答:\(54\)
放物線13の1の解説
(2)原点Oを通り、四角形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。
答:\(y=5x\)
にゃんこ
次のように、平行四辺形の対角線の中点Mを通る直線が、面積を2等分する直線です。
平行四辺形の面積を二等分する直線
左右に別れた図形はともに1、2、3を合計した面積になり、左右の面積は等しくなります。
上下に別れた図形もともに1、2、3を合計した面積になり、上下の面積は等しくなります。
坂田先生
これを使って解きます。
放物線13の2の解説

(1)の突破口は【6】で練習したものと同じです。(2)は知らないと難問なので、わからない場合はすぐに解説を見てください。

【14】三角形の面積を2等分する

放物線15のグラフ図のように、2点A、Bが放物線\(y=\dfrac{1}{2}x^{2}\)上にあり、その \(x\)座標はそれぞれ \(-2\)、 \(4\)である。また、直線ABと\(y\)軸との交点をCとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)線分COの長さを求めよ。

答:\(4\)
放物線14の1の解説
放物線14の1の別解
(2)△AOBの面積を2等分する直線 \(l\)、\(m\)について考える。原点Oを通る直線 \(l\)と、点Aを通る直線 \(m\)の式をそれぞれ求めよ。
答:直線 \(l\)の式:\(y=5x\)、直線 \(m\)の式:\(y=\dfrac{1}{2}x+3\)
放物線14の2の解説1
放物線14の2の解説2
(3)点Cを通り、△AOBの面積を2等分する直線の式を求めよ。
答:\(y=-2x+4\)
放物線14の3の解説1
放物線14の3の解説2
放物線14の3の解説3
(1)の2次関数の問題で下準備をしてから、三角形の面積を二等分する直線について求めさせる問題です。(2)は三角形の面積を2等分する直線が頂点を通る場合の問題で、(3)は頂点を通らない場合の問題です。
【15】台形の面積を2等分する

放物線16のグラフ図のように、放物線\(y=-\dfrac{1}{4}x^{2}\)のグラフ上に3点A、B、Cがあり、\(y\)軸上に2点D、Mがある。四角形ABCDはAD//BCの台形であり線分ADは\(x\)軸に平行である。点Dと点Mの\(y\)座標はそれぞれ\(-4\)、\(-9\)であり、点Mは線分BCの中点となっている。このとき次の問いに答えよ。
(1)四角形ABCDの面積を求めよ。

答:\(40\)
放物線15の1の解説1
放物線15の1の解説2
放物線15の1の解説3
(2)点Bを通り、四角形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。
答:\(y=\dfrac{5}{12}x+\dfrac{13}{2}\)
放物線15の2の解説1
放物線15の2の解説2
放物線15の2の解説3
(3)点Mを通り、四角形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。
答:\(y=-\dfrac{5}{2}x-9\)
放物線15の3の解説
(4)点Oを通り、四角形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。
答:\(y=\dfrac{13}{2}x\)
にゃんこ
直線ONが求める直線である理由はこのあと説明します。
放物線15の4の解説1
にゃんこ
これが理由です。
放物線15の4の解説の補足
坂田先生
このテーマの解き方をまとめるとこうなります。
台形の面積を二等分する直線
(1)が2次関数がらみの台形の面積の問題。(2)以降は台形の面積を2等分する直線がテーマの問題です。定期テスト満点対策のために利用される場合でも(4)はまず出ないので、時間が惜しい方はとばしてください。また、(4)は知らないと超難問なので、わからない場合はすぐに解説をご覧ください。
【16】問題を整理して手順を考える2次関数の問題(三角形の面積の発展)

放物線17のグラフ図のように、放物線\(y=\dfrac{1}{8}x^{2}\)と直線 \(l\)が2点A、Bで交わり、2点の \(x\)座標はそれぞれ\(-4\)、\(8\)である。また、直線 \(l\)と\(y\)軸との交点を点\(C( 0 , 4 )\)とする。\(x\)軸上の\(0\leqq x\leqq 8\) の範囲に点Pをとり、点Pを通って\(y\)軸に平行な直線 \(m\)をひく。
直線 \(m\)と直線 \(l\)との交点をD、直線 \(m\)と線分OBとの交点をEとする。
△AOBと△BDEの面積比が3:1のとき、点Pの \(x\)座標を求めよ。

答:\(8-4\sqrt{2}\)
放物線16の解説1
放物線16の解説2
【問題文からここまで思考できるとグッドです】
問題にある条件から、まず△AOBの面積は求めることができそうだ。さらに△AOBと△BDEの面積比が3:1なので、△BDEの面積も求めることができる。じゃあ、その面積になるために、点Pの\(x\)座標が何であればいいかを考えればいいわけだ。
【さらにここまで発想できるとベリーグッド】
点Pの\(x\)座標を文字tでおいて、△BDEの面積をtを使った式で表すことができれば、△BDEの面積はわかっているわけだから、方程式を作ってtを求めることができそうだ。
【17】放物線と複数の正方形

放物線18のグラフ図のように、関数 \(y=-x^{2}\)のグラフと、\(x\)軸、\(y\)軸に平行な辺をもつ3つの正方形ABCD、EFGH、IJKLがある。
点A、D、E、H、I、Lは、関数 \(y=-x^{2}\)のグラフ上にあり、点Hの \(x\)座標は \(4\)である。また、2点B、Cは辺EH上にあり、2点F、Gは辺IL上にある。
このとき次の問いに答えよ。
(1)四角形EFGHの面積を求めよ。

答:\(64\)
放物線17の1の解説
(2)四角形IJKLの面積を求めよ。
答:\(96\)
放物線17の2の解説1
放物線17の2の解説2
(3)四角形ABCDの面積を求めよ。
答:\(72-8\sqrt{17}\)
放物線17の3の解説1
放物線17の3の解説2
同じ放物線上にあるy座標が等しい2点は、y軸上にその中点があるので、2点間の距離を求めることができます。(【6】での説明と違う言い方をしました。)この問題のような放物線がらみの正方形の問題は、y座標が等しい2点間の距離を求めると、それが正方形の横の辺の長さになります。それをもとに縦の辺の長さがわかる、という具合に「横⇒縦」の順に明らかになるパターンが多いです。
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2次関数の標準~難問|融合問題など高校入試対策用

高校入試の関数対策問題2次関数のもくじ3

坂田先生
ここからは、『2次関数とそれ以降に学習するテーマとの融合問題』を中心に、難問などの応用問題について対策していきます。
【18】放物線がらみの三角形の相似比、面積比の問題

放物線19のグラフ図のように、放物線\(y=-\dfrac{1}{3}x^{2}\)のグラフ上に3点A、B、Cがある。
点Aと点Bの \(y\)座標はともに \(-12\)であり、点Cの \(x\)座標は \(3\)である。
△ABCの面積を2等分する\(x\)軸に平行な直線 \(l\)の式を求めよ。

答:\(y=-3-\dfrac{9\sqrt{2}}{2}\)
放物線18の解説1
放物線18の解説2
放物線18の解説3
直線\(l\)は\(x\)に平行な直線なのでy座標さえわかれば式は完成します。問題のグラフには、大きな三角形と小さな三角形があり、2つは相似な図形になっています。\(l\)のy座標を求めるためには、小さな三角形の高さと、点Cのy座標を知る必要があります。小さな三角形の高さを求めるために、大きな三角形の高さを求め、さらに2つの三角形の相似比を使います。相似比は面積比から変換します。
【19】放物線がらみの三角形の相似比、面積比の問題2

放物線20のグラフ図のように、放物線 \(y=\dfrac{1}{2}x^{2}\)のグラフ上に3点A、C、Pがあり、直線ACは \(x\)軸に平行である。
2本の直線AP、CPと \(x\)軸との交点をそれぞれB、Dとする。
△ACPと△BDPの面積比が25:9であり点Cの \(x\)座標が \(-4\)のとき、点Pの座標を求めよ。

答:\(( \sqrt{6}, 3 )\)
放物線19の解説1
放物線19の解説2
放物線19の解説3
「面積比を相似比に変換し、相似な三角形の高さを求める問題」です。このパターンは【18】と同じですが、ともに解法に気が付きにくかった方は、おそらく三辺について相似比を使えないかと考えていたと思います。「高さの比も相似比となっている」ということを意識したほうがいいでしょう。
【20】2次関数と直角三角形の外接円

放物線グラフ20問目グラフ修正版図のように、放物線 \(y=\dfrac{1}{2}x^{2}\)のグラフ上に2点A、Bがあり、2点の\(y\)座標は等しい。
また、2点A、Cの\(x\)座標は4で、点Cは放物線 \(y=-\dfrac{1}{4}x^{2}\)のグラフ上にある。
このとき3点A、B、Cを通る円について、次の問いに答えよ。
(1)円の半径と中心の座標を求めよ。

答:円の半径\(2\sqrt{13}\)、円の中心の座標\(( 0, 2 )\)
放物線20の1の解説
(2)円と\(x\)軸との交点の座標を求めよ。
答:\(( -4\sqrt{3}, 0 )\)、\(( 4\sqrt{3}, 0 )\)
放物線20の解説
(1)の解説1番目に示したように、直角三角形の斜辺の中点を円の中心として、すべての頂点を通る円が存在します。この問題をそれについて質問しているワケです。ある図形のちょうど外側に接する円のことを外接円と言いますが、直角三角形の外接円がテーマとなった問題は、三平方の定理をよく使います。
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【21】放物線がらみの三平方の定理の逆

放物線22のグラフ図のように、放物線 \(y=2x^{2}\)のグラフ上に点A\(( -2 , 8 )\)と点Pがあり、2点の\(y\)座標は異なる。
また、 \(t>0\)とし、点Pの\(x\)座標を \(t\)とする。
このとき次の問いに答えよ。
(1)\(OP^{2}\)を\(t\)の式で表せ。

答:\(OP^{2}=4t^{4}+t^{2}\)
放物線21の解説
(2)\(AP^{2}\)を\(t\)の式で表せ。
答:\(AP^{2}=4t^{4}-31t^{2}+4t+68\)
放物線21の2の解説1
放物線21の2の解説2
放物線21の2の解説3
(3)△AOPが \(\angle A=90^{\circ }\)の直角三角形になるとき、\(t\)の値を求めよ。
答:\(\dfrac{17}{8}\)
放物線21の3の解説
三平方の定理が成り立てば、その三角形は直角三角形であるということになります。次の問題では、これを利用して外接円について調べます。
【22】放物線がらみの三平方の定理の逆と外接円

放物線23のグラフ図のように、関数 \(y=x^{2}\)のグラフ上に2点A、Bがあり、その\(x\)座標はそれぞれ \(-1\)、\(2\)である。
点A、点B、原点Oの3点を通る円の中心の座標を求めよ。

答:\(( 1, 2 )\)
放物線22の解答改
【21】で練習した三平方の定理の逆を使い、直角三角形であることを調べてから、その外接円を調べるという手順の問題です。別解として、直線の傾きの積を利用して直角部分を探す方法も紹介しています。かなりの時間短縮になることもあるので、ぜひ知っておいてください。
【23】放物線と回転体の体積

放物線24のグラフ図のように、放物線 \(y=\dfrac{1}{6}x^{2}\)のグラフ上に2点A、Bがあり、その\(x\)座標はそれぞれ \(-3\)、\(6\)である。
直線ABと\(y\)軸との交点をCとするとき、次の問いに答えよ。
ただし円周率は\(\pi \)とする。
(1)△BCOを \(y\)軸を軸として一回転させてできる立体の体積を求めよ。

答:\(36\pi \)
放物線23の1の解説1
坂田先生
公式を使って線分COを求めるとこうなります。
放物線23の1の解説2つぎに線分DCと線分BDの長さを求めます。放物線23の1の解説3
にゃんこ
これで、体積を求めるための下準備が完了です。
放物線23の1の解説4
(2)△BCOを 直線BOを軸として一回転させてできる立体の体積を求めよ。
答:\(9\sqrt{2}\pi \)
放物線23の2の解説1
放物線23の2の解説2
放物線と円錐の体積がテーマの融合問題です。(2)は回転の軸が斜めになっていて、一見すると解けないように見えるかもしれません。ひとまず回転の軸の角度を調べてみると、回転体の様子が見えてきます。
【24】放物線と線分の比

24問目の放物線グラフ図のように、関数 \(y=x^{2}\)のグラフと直線 \(l\)が2点A、Bで交わっており、\(x\)座標が負であるほうをAとする。
直線 \(l\)と\(x\)軸との交点をD、\(y\)軸との交点をCとするとき、次の問いに答えよ。
(1)点Aの \(x\)座標が \(-1\)、DA:AB=1:2のとき、点Bの座標を求めよ。

答:\(( \sqrt{3}, 3 )\)
放物線24の1の解説
(2) \(CO=4\)、△AOCと△BOCの面積比が3:4のとき、直線 \(l\)の式を求めよ。
答:\(y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+4\)
放物線24の2の解説
(3)点D\(( -4 , 0 )\)、AC:CB=2:3のとき、直線 \(l\)の式を求めよ。
答:\(y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}\)
放物線24の3の解説
放物線と線分の長さの比の融合問題です。(2)の問題は面積比が条件として書かれていますが、解説にあるように、線分の長さの比に置き換えて考えます。(2)、(3)ともに公式を使った別解が大活躍する問題です。
【25】放物線の相似性

25問目の放物線グラフ図
次の問いに答えよ。
(1)図1のように、放物線 \(y=2x^{2}\)のグラフ上に2点A、Cがあり、放物線 \(y=x^{2}\)のグラフ上に2点B、Dがある。
2点A、Bの \(y\)座標がそれぞれ2、4、2点C、Dの \(x\)座標がそれぞれ \(-\dfrac{2}{3}\)、\(-\dfrac{4}{3}\)のとき、△COAと四角形DCABの面積について、最も簡単な整数の比で表せ。

答:\(1:3\)
放物線25の1の解説
放物線25の1の別解
(2)図2図3において、△COAと△DOBの面積比をそれぞれ求めよ。(テクニック紹介)
答:(図2)\(4:25\)、(図3)\(4:25\)
放物線25の2の解説
2つの放物線と原点を通る直線が登場したときに使えるテクニックを紹介するために用意した問題です。図1、図2、図3はすべて△COAと△DOBが相似になっています。この三角形の相似比を求め、そこから面積比を求めるテクニックを紹介しています。ちなみに、相似比だけでなく線分の比(OA:OBなど)も同時にわかります。
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【復習用】2次関数の難問対策の土台:公式&テクニック集まとめ

二次関数まとめページ45から46

坂田先生
今回学習した中学数学~高校入試の関数に関する公式やテクニックをまとめました。(復習用)
にゃんこ
どの問題にて使用したものかがわかるように問題番号も添えています。

中点の座標の図

にゃんこ
中点の座標を求めるテクニックは、次のような場面でも使います。
三角形の面積を二等分する直線

ちなみに三角形の頂点を通らないで面積を2等分する問題は【14】の(3)と【18】がありました。
また、【16】は2等分ではありませんが、2つの三角形の面積比がテーマとなっています。
平行四辺形の面積を二等分する直線 台形の面積を二等分する直線
坂田先生
放物線が登場したときに面積に関する知識まとめです。
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面積の割合の全体像
にゃんこ
ここまでの内容を『二次関数の問題で使う、面積に関するまとめページ』として1枚にまとめています。
坂田先生
2枚目は以下の内容をまとめました。
直線の式を求める公式
にゃんこ
放物線と直線の式を連立方程式で解くと、交点の座標を求めることができます。
8問目と11問目で使う連立方程式
坂田先生
平行四辺形になるための点を探る問題は、この図をヒントに解けることが多いです。
平行四辺形の考え方
にゃんこ
2次関数と三角形の外接円のテーマが出題された場合は、このまとめ部分を思い出してください。
傾きの積と円
坂田先生
次のテクニックですが、慣れてきたら、逆の比をとるなどとごちゃごちゃ考えずに、「小さい三角形のほうが小さい比例定数の2!大きい三角形のほうが大きい比例定数の5!」という具合に導くと1秒で解けます。(ちなみに比例定数が分数であっても比の作り方は同じです)
放物線の相似性の図
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2次関数の応用・難問対策プリントの全内容

おすすめのプリントの使い方

坂田先生
高校入試などの受験勉強では「復習をできるだけ高速で反復できる状態」を作ることが受験勉強のゴールになります。
にゃんこ
逆に言えば、「いろいろなテキストの問題を解き散らかして復習しない状態」というのが最もNGな状態です。
坂田先生
そのためこのプリントは、普段の学習の邪魔をせず、できるだけ最短で普段の復習サイクルに組み込みやすいよう、次の2点を考えて作りました。
1:理解しやすく、1周目の学習時間を短縮してくれる。

2:流れがわかりやすく、復習の時間を短縮してくれる。

にゃんこ
たとえるなら、まとめ上手な受験のプロが、あとで復習しやすくなることだけを考えて、ていねいに色分けまでして完成させた書き込みプリントだと思ってください。

その全ページがこちら↓です。
2次関数難問表紙もくじブログ用2次関数の問題2から9紹介2次関数の解説ページ10から17紹介2次関数の解説ページ18から25紹介二次関数の解説ページ26から29二次関数の解説ページ30から33二次関数の解説ページ34から37二次関数の解説ページ38から41二次関数の解説ページ42から44二次関数まとめページ45から46

にゃんこ
色わけによる説明の書き込みや、こまかくそえられた図によって、理解のための時間ロスをカットしてくれますし、高速で反復することができます。
坂田先生
2次関数が苦手で、少し難しくなると解説欄を読んでも理解に時間がかかってしまうという中学生は、一度ここの内容を身に付けてから、手元のテキストに戻ることをおすすめします。
にゃんこ
プリントアウト版はこちらのページ↓です。
販売ページはこちら(3月に再開します)
※全問動画解説付きのセット版を半額でゲットしたい方はこちら(2024年夏頃にリリース予定)