サイコロの確率の練習問題(高校入試・中学数学)を難問まで難易度別に解説

基礎から難問まで解説します

にゃんこ
中学数学や高校入試で出題されるサイコロの確率の練習問題(基本~難問)を難易度別に解説します。
坂田先生
後半ほど難問です。
今回の練習内容
  1. サイコロ2個での確率の練習問題|基本~標準
  2. サイコロ2個での確率の応用問題|難問
  3. サイコロ3個での確率の問題
  4. サイコロ4個または4回投げる確率の問題

基本~標準:サイコロを2個投げる確率の練習問題|中学数学レベル

大小2つのサイコロを同時に投げる。
大のサイコロで出た目をaとする。
小のサイコロで出た目をbとする。

ただし、2つのサイコロは、どの目が出る確率も同様に確からしいものとする。
にゃんこ
以下の確率を求めよ。
基本問題
  1. ab=12となる確率
  2. サイコロの確率:合計の解法異なる2個のサイコロを投げる場合、目の出方は全部で36通りあります。

    大のサイコロの目と小のサイコロの目の積を書き込んだ表をつくり、積が12となるマス目を数え上げます。

    にゃんこ
    4通りありましたね。

    目の出方は全部で36通りあるので、確率は\(\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}\)ということです。

    坂田先生
    サイコロの積に関する確率の問題は、このように碁盤の目を書いて数え上げるとよいです。
    にゃんこ
    中学数学で学習する、サイコロの確率を解く練習の基本は『まず表を書け。そして数えよ。』です。

    ここで紹介している練習問題を使い、高校入試までの対策をしてください。

  3. a+bが5の倍数となる確率
  4. サイコロの目の和が5の倍数になるということは、目の合計が5か10になるということです。サイコロの確率:和が5の倍数よって、\(\dfrac{7}{36}\) になります。
  5. \(a+b\)が素数となる確率
  6. a+bが素数になる確率2から12までのなかで、素数は2,3,5,7,11になります。

    なので、二つのサイコロを振って、その和が素数になるのは15通り。

    よって、\(a+b\)が素数になる確率は \(\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}\)

  7. abが奇数となる確率
  8. サイコロの目の積が奇数答え: \(\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\)

    奇数×奇数=奇数を利用して解くとこうなります。

    大のサイコロの目が奇数になるのは1,3,5の3通り。

    小のサイコロの目が奇数になるのは1,3,5の3通り。

    よって2つのサイコロの目の積が奇数になるのは、3×3=9通り。

    したがって、\(\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\)

  9. \(a+b\) が奇数となる確率
  10. 二つのサイコロの和が奇数になる場合答え:\(\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}\)

    坂田先生
    この表より、数え上げてもいいが次のように考えることもできます。

    二つのサイコロの目の数をたして奇数となるのは

    偶数+奇数=奇数

    奇数+偶数=奇数

    となる場合である。

    大のサイコロの目が奇数になるのは1,3,5の3通り。

    小のサイコロの目が偶数になるのは2,4,6の3通り。

    よって、大のサイコロで奇数の目が出て、小のサイコロで偶数の目が出る場合

    3×3=9通り

    また

    大のサイコロの目が偶数になるのは2,4,6の3通り。

    小のサイコロの目が奇数になるのは1,3,5の3通り。

    よって、大のサイコロで偶数の目が出て、小のサイコロで奇数の目が出る場合

    3×3=9通り

    よって9通+9=10通りが求める場合の数になる。

    したがって二つのサイコロを投げて目の和が奇数になる確率は\(\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}\)

  11. \(a\leqq b\) となる確率
  12. bの目の数のほうが大きいか同じaの目とbの目の数を比べて、二つの目の数が同じか、bの目のほうが大きい場合の数を数えます。
    21通りありますので、求める確率は\(\dfrac{21}{36}=\dfrac{7}{12}\)
  13. \(\sqrt{ab}\) が整数となる確率
  14. サイコロを投げてルートabが自然数となる確率の解説ルートabの値が整数となるためには、abの値が1,4,9,16,25,36のいずれかになればよい。

    なので、その場合は上の表より、8通りとなる。

    よってルートabの値が整数となる確率は \(\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}\)

  15. \(\dfrac{a}{b}\) が整数となる確率
  16. サイコロの目の確率の解説:中学数学よって、 \(\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}\) となります。

    大小2つのサイコロの目を、問題文にしたがって分数にして考えます。

    その際、分母がbなので、上の表で縦にそって\(\dfrac{a}{b}\) が整数になるかどうかのチェックをしていくとわかりやすいです。

    坂田先生
    一見すると難しそうな問題でも、表を埋めることでかなり難易度が下がる場合があります。

    なので中学数学でサイコロの確率の問題を対策する場合、このページで解説している練習問題を使って、『問題文を見ながら表を完成される練習』を繰り返してください。

  17. 少なくとも1つの目が3以上となる確率
  18. aまたはbが3以上の目になる確率の解説赤い色のエリアが大のサイコロの目が3以上となる場合。
    青い色のエリアが小のサイコロの目が3以上となる場合です。

    よって、これらの色のついているエリアが、求める場合のところです。

    にゃんこ
    数え上げると上の表のように32通りとなります。

    しかし「少なくとも」という表現があった場合、『少なくとも1つの目が3以上となる場合以外(余事象)』は何通りあるかを数えたほうが早いことが多いです。

    それはつまり『サイコロの目が両方とも2以下の場合』となります。

    大のサイコロで1または2の2通り。
    小のサイコロで1または2の2通り。

    よって求める場合の余事象は2×2で4通りあることになります。

    なので、36-4=32通りが求める場合の数になります。
    (数え上げた結果と同じになりましたね。)

    坂田先生
    したがって求める確率は \(\dfrac{32}{36}=\dfrac{8}{9}\) です。

    ちなみに、余事象が起こる確率は \(\dfrac{4}{36}\) なので、余事象が起こらない確率が求める確率となります。

    にゃんこ
    その場合このように計算しても求めることができます。

    \(1-\dfrac{4}{36}\)

    \(=\dfrac{36}{36}-\dfrac{4}{36}\)

    \(=\dfrac{36-4}{36}\)

    \(=\dfrac{32}{36}\)

    \(=\dfrac{8}{9}\)

  19. 少なくとも1つの目が偶数となる確率
  20. aまたはbが偶数の目になる確率の解説少なくとも1つの目が偶数となる場合の余事象は、両方のサイコロの目が奇数の目となる場合です。

    奇数の目は1,3,5の目しかありませんので、3通り×3通り=9通りとなります。

    にゃんこ
    これが上の表の✕のところですね。

    なので、それ以外の場合(求める場合の数)は36-9=27通りとなります。

    坂田先生
    よって、二つのサイコロを投げて、少なくとも1つの目が偶数となる確率は \(\dfrac{27}{36}=\dfrac{3}{4}\) となります。
    にゃんこ
    余事象の確率\(\dfrac{9}{36}\) から計算するなら、このようにして求めます。

    \(1-\dfrac{9}{36}\)

    \(=\dfrac{36}{36}-\dfrac{7}{36}\)

    \(=\dfrac{36-9}{36}\)

    \(=\dfrac{27}{36}\)

    \(=\dfrac{3}{4}\)

にゃんこ
ここから標準レベルの練習問題です。高校入試の対策にもなります。
標準の練習問題
  1. \(a+2b\) の値が3で割り切れる確率
  2. a+2bが3の倍数になる場合の解説
    a+3bの値を表に書き込み、数え上げます。12通りですね。

    bはあらかじめ3倍にしたもの、つまり3bの値の欄を準備しておくと計算が楽です。

    よって、求める確率は\(\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\) となります。
    (八王子東高校)

  3. 出る目の数の最大公約数が2となる確率
  4. 2つのサイコロの目の最大公約数の解説二つのサイコロの目の最大公約数を表に書き込むと上のようになります。

    よって、求める確率は \(\dfrac{7}{36}\)

  5. 出る目の数の最小公倍数が10以上となる確率
  6. 2つのサイコロの目の最小公倍数の解説二つのサイコロの目の最小公倍数を表に書き込むと上のようになります。

    よって、求める確率は \(\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\)

  7. \(\dfrac{a}{b}\leqq \dfrac{1}{2}\) となる確率
  8. サイコロの目の確率の解説2:中学数学よって \(\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\)

    \(\dfrac{a}{b}\leqq \dfrac{1}{2}\) ということは、分子の値aが、分母の値bの半分以下ということです。

  9. aとbの差の絶対値が3より小さくなる確率
  10. aとbの差の絶対値とは、aとbの差をとって、その絶対値をとる、ということです。差の絶対値が3より小さい場合の解説
    にゃんこ
    例えば、aが2でbが5だった場合、差の絶対値は3ということになります。
    したがって、上の表のようになり、2つのサイコロの目aとbの差の絶対値が3より小さくなる場合は24通りとなります。

    よってその確率は \(\dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3}\) となります。

  11. 大のサイコロの目の数を十の位の数、小のサイコロの目の数を一の位の数として2桁の整数を作る。このとき、作った整数が7の倍数になる確率。
  12. 2つのサイコロの目で二桁の整数を作る解説二桁の整数を書きならべ、順に調べる。

    にゃんこ
    7に倍数になるのは表より6通り。

    よって、求める2桁の整数が7の倍数になる確率は \(\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)

    (大阪教育大学付属高校)

  13. \(a≦3<b\) となる確率
  14. 二つのサイコロの大小関係の問題の説明\(a≦3\)の場合は、赤色のエリアにあたります。

    \(3<b\)の場合は、青色のエリアにあたります。

    \(a≦3<b\)は、\(a≦3\)で、なおかつ\(3<b\)であるということなので、赤色と青色の共通するエリアの9通りが求める場合の数となります。

    よってその確率は、\(\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}\)となる。

  15. \(4 <\sqrt{ab} <5\) となる確率
  16. 平方根が登場するサイコロの確率の問題です。

    この場合、次のように処理をします。abの範囲に関する問題の解説上のようにabの値が17から24までの場合を数えると10通りとなります。
    よって\(\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}\)

  17. \(\dfrac{3a}{b}\) が整数となる確率
  18. 全部で20通りです
    坂田先生
    求める場合の数は全部で20通りです。
    よって \(\dfrac{20}{36}=\dfrac{5}{9}\) となります。
  19. \(ab\) を3で割ると1余る確率
  20. 3で割ると1余る数は、3の倍数に1を加えた数の集合となります。

    よって、36までの自然数でそのような数は
    1、4、7、10、13、16、19、22、25、28、31、34
    があります。

    そうなるような場合の数を数えると下の表のようになります。

    ※ちなみに1は、3で割ると商は0で余りが1となります。
    3で割ると1余る数

    全部で8通りあるので、求める確率は\(\dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9}\)となります。

難問:サイコロを2個投げる確率の応用問題|高校入試レベル

難問

大小2つのサイコロを同時に投げ、大のサイコロで出た目をaとし、小のサイコロで出た目をbとする。次の確率を求めよ。

  1. 2直線 \(y=\dfrac{a}{b}x+3\) と \(y=2x+1\) が交わらない確率
  2. 難関私立の高校入試対策として、あらかじめ練習しておかないと難しい問題です。

    「2直線が交わらない」とは「2直線が平行かつy切片の値が異なる」ということです。

    2直線のy切片はすでに異なっているので、2直線が平行になる場合だけを調べればよい、ということになります。

    2直線が平行になる場合というのはつまり、 \(\dfrac{a}{b}\) の値が2になる場合のことです。

    にゃんこ
    それを数え上げると以下のようになります。
    傾きが2になる場合は3通り

    よって、 \(\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}\) が答えとなります。

    (明治学院高校:改)

  3. \(\sqrt{3ab}\) が自然数となる確率
  4. 中学3年生で学習する平方根との融合問題です。3abが平方数になる場合の解説2
    よって、\(\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\)

    こんな数え方もあります。ただし、最初の解法のほうが数え上げる手間が省けるのでおすすめです。
    3abが平方数になる

  5. \(ab+a+b+1\)が3の倍数となる確率
  6. 確率と因数分解の融合問題です。サイコロの目の積の確率:難問の解説図まず、\(ab+a+b+1\)を因数分解して積の形に変形します。

    (a+1)(b+1)が3の倍数になればいいということは、サイコロを振って出た目aに+1した目の値と、出た目bに+1した目の値の積が3の倍数になればいいということです。

    にゃんこ
    よって、上のような表を書き、数えあげます。
    3の倍数ということは、3の列または6の列すべてがそれに該当するので、いちいちマス目のなかに計算結果を書き込んで調べる必要はありません。

    基本的に中学数学では、確率を習ったあとに因数分解を学習するので、定期テストでこのような高校入試問題の対策ができる機会は比較的少なくなってしまいます。

    高校入試で出されたサイコロの確率の問題を実際に解くことで、勉強がまだ足りていない弱点等に気が付くことができます。

    (明訓高校の高校入試問題より)

  7. \(ab-a-3b+3\) が自然数となる確率
  8. サイコロの確率:積の目に関する問題の解説 よって、答えは\(\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}\) となります。

    これも先程と同じ手順でクリアできます。

    中学数学で学習するサイコロの確率の問題のなかでは難問の類ではありますが、一度解き方のパターンに慣れてしまえば、途中で詰まるところはない良問です。

  9. \(a^{2}+2ab+b^{2}\) が奇数となる確率
  10. サイコロの偶数奇数よって、\(\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}\)

    表に書いて数え上げようとすると手間と時間がかかってしまう難しいタイプの出題内容です。

    偶数と奇数の性質に着目して、場合の数を調べる必要がある難問です。

基礎~難問:サイコロを3個投げる確率の問題|中学数学~高校入試

サイコロ3つでの確率

大中小のサイコロ3つを同時に投げる。このとき、次の確率を求めよ。

基本:3つのサイコロの目の積が偶数となる確率

坂田先生
3つのサイコロの目の積が偶数になるか奇数になるかを考えると、以下の表のようになります。

奇数を「き」と書いて、偶数を「ぐ」を書いて説明しています。3つのサイコロの目の積が偶数になる確率の解説

坂田先生
掛けあわせる数字の中にひとつでも偶数の目があれば積は偶数となります。
にゃんこ
なんでそうなるの?
坂田先生
偶数って2の倍数になってるでしょ。
坂田先生
だから1つでも偶数がまざっていれば、2×(整数)のかたちになってしまうんですよ。

基本:3つのサイコロの目の和が偶数となる確率

3つのサイコロの目の和が偶数になる確率の解説3のサイコロを投げてその目の和が偶数になるのは次の2パターンあります。

1:3個とも偶数の目が出た場合
2:1個だけ偶数の目が出て、残りの2個で奇数の目が出た場合

それらの各場合について、求めることになります。

基本:少なくとも2つの目が同じになる確率

「少なくとも2つの目が同じになる場合」の余事象は「出た目のすべてが異なる目である場合」

大のサイコロの目の出方は、全部で6通り

中のサイコロの目の出方は、大のサイコロで出た目以外の5通り

小のサイコロの目の出方は、大と中のサイコロで出た目以外の4通り

よって、「出た目のすべてが異なる目である場合」は6×5×4通り。

3つのサイコロの目の出方は \(6^{3}\)

出た目のすべてが異なる目となる確率は\(\dfrac{6\times 5\times 4}{6^{3}}=\dfrac{5}{9}\)

よって、求める確率は \(1-\dfrac{5}{9}=\dfrac{4}{9}\)

(桐蔭学園高校)

標準:出た目の数の和が5以下になる確率

にゃんこ
サイコロの出た目を(大、中、小)のように表すと次のようになります。

3つのサイコロの出た目の和が3のとき
(1,1,1)
1通り

3つのサイコロの出た目の和が4のとき
(1,1,2)
(1,2,1)
(2,1,1)
3通り

3つのサイコロの出た目の和が5のとき
(1,1,3)
(1,3,1)
(3,1,1)
(1,2,2)
(2,2,1)
(2,1,2)
6通り

出た目の合計が5以下になるのは1+3+6=10通り

サイコロを3つ投げた場合の目の出方は全部で \(6^{3}\) 通り

よって \(\dfrac{10}{6^{3}}=\dfrac{5}{108}\)

(東大寺学園高校)

難問:大中小3つのサイコロを同時に投げ、出た目をそれぞれa、b、cとするとき、\(3a-2b-c=0\) となる確率

まず方程式を変形し、3a-2bの値を調べます。

それらが1から6の整数値の場合のみ、それがcの値として方程式が成立することができます。

にゃんこ
こんな感じです。
3つのサイコロの出た目についての確率の難問の解説
よって、求める確率は\(\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\)
(函館ラ・サール高校)

サイコロを4個または4回投げる確率の高校入試問題

サイコロを4回投げる確率の応用問題
    サイコロを4回続けて投げるとき、次の確率を求めなさい。

  1. すべて同じ目になる確率
  2. サイコロすべてが同じ目になるのは
    (1,1,1,1)
    (2,2,2,2)
    (3,3,3,3)
    (4,4,4,4)
    (5,5,5,5)
    (6,6,6,6)

    の6通り。

    サイコロを4回投げた場合の目の出方は全部で \(6^{4}\) 通り。

    よって、求める確率は \(\dfrac{6}{6^{4}}=\dfrac{1}{216}\)

  3. すべての目が異なる確率
  4. 1回目のサイコロの目の出方は6通り

    2回目のサイコロの目は、1回目のサイコロで出た目以外の5通り

    3回目のサイコロの目は、1回目と2回目のサイコロで出た目以外の4通り

    4回目のサイコロの目は、1回目から3回目のサイコロで出た目以外の3通り

    よって、すべての目が異なるのは

    6×5×4×3=360通り

    サイコロを4回投げた場合の目の出方は全部で \(6^{4}\) 通り。

    したがって求める確率は、 \(\dfrac{360}{6^{4}}=\dfrac{5}{18}\)

  5. 1回目、2回目、3回目、4回目の順に、出る目が大きくなる確率
  6. サイコロの出る目が順に大きくなる場合は
    (1,2,3,4)
    (1,2,3,5)
    (1,2,3,6)
    (1,2,4,5)
    (1,2,4,6)
    (1,2,5,6)
    (1,3,4,5)
    (1,3,4,6)
    (1,3,5,6)
    (1,4,5,6)
    (2,3,4,5)
    (2,3,4,6)
    (2,3,5,6)
    (2,4,5,6)
    (3,4,5,6)

    15通りあります。

    サイコロを4回投げた場合の目の出方は全部で \(6^{4}=1296\) 通りです。

    なので、求める確率は \(\dfrac{15}{1296}=\dfrac{5}{432}\) となります。

  7. 1の目と2の目がそれぞれ2回ずつ出る確率
  8. サイコロを4回投げて
    1の目と2の目がそれぞれ2回ずつ出るのは
    (1,1,2,2)
    (1,2,1,2)
    (1,2,2,1)
    (2,1,1,2)
    (2,1,2,1)
    (2,2,1,1)

    の6通りある。
    よって求める確率は \(\dfrac{6}{6^{4}}=\dfrac{1}{216}\)

  9. 1回だけ異なる目が出る確率
  10. 同じ目を同
    異なる目を異

    と表記すると

    「同」になる目としては全部で6通りあり

    「異」になる目は「同」の目以外の5通りあります。

    なので、

    「同」と「異」の目の組み合わせは全部で6×5=30通りあります。

    坂田先生
    例えば、3回「6の目」が出て、1回だけ「2の目」が出る、と言ったような組み合わせが30通りあるということです。

    この30通りの「同」と「異」の目の組み合わせ対して、次の4パータンの「目の出る順番の組み合わせ」があります。

    (同,同,同,異)
    (同,同,異,同)
    (同,異,同,同)
    (異,同,同,同)

    にゃんこ
    例えば、3回「6の目」が出て、1回だけ「2の目」が出る場合、「目の出る順番の組み合わせ」まで考えるなら
    (6,6,6,2)
    (6,6,2,6)
    (6,2,6,6)
    (2,6,6,6)

    の4パターンあるワケです。

    なので、求める場合の数は、全部で30×4=120通りあります。

    よって、求める確率は \(\dfrac{120}{6^{4}}=\dfrac{5}{54}\) となります。

    (立教新座高校)

  11. 出る目が2種類になる確率
  12. 出る目が2種類になる場合の目の数をそれぞれA、Bとする。

    AとBの目の組は

    Aが1から6までの6通り

    BがAで出た目以外の5通り

    よって6×5=30通りある。

    この30通りに対して、「出る目が2種類になる」目の出方が次の7通りある。

    1回だけ異なる目が出るパターン
    AAAB
    AABA
    ABAA
    BAAA

    2回ずつ2種類出るパターン
    AABB
    ABBA
    BBAA

    よって、出る目が2種類になるのは30×7=210通り

    求める確率は \(\dfrac{210}{6^{4}}=\dfrac{35}{216}\)

    (慶応義塾志木高校)