【更新】計算問題の難問を追加しました

乗法公式による展開の応用問題&難問|中学数学~高校入試

にゃんこ
ここは、中学3年生に学習する数学の単元『乗法公式を使った展開』応用問題や難問を勉強できるページです。
坂田先生
どれも難問ぞろいです。
このページの内容
  1. 乗法公式による展開の応用問題&難問
  2. 多項式と多項式の乗法|3項の式と3項の式の乗法編
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乗法公式による展開の応用問題&難問|中学数学~高校入試

問題

展開しなさい。
\(\left( x+2y+1\right) \left( x-2y-1\right) \)

答え: \(x^{2}-4y^{2}-4y-1\)
日本大学第三高校2019の展開問題の解説
問題

展開しなさい。
\({\small \left( -3a+b+c\right) ^{2}-\left( 3a+b\right) \left( 3a+b-2c\right) }\)

答え: \(c^{2}\)
日本第二高校の展開過去問の解説
~ポイント~
同じかたちを作り出すために、最初に少し変形が必要になっています。
3つの項を文字におく問題

展開しなさい。
\(\left( a-b+c-d\right) \left( a+b+c-d\right) \)

答え: \({\small a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ac-2ad-2cd}\)
展開オリジナル問題10の解説
~ポイント~
同じかたちをつくって文字に置くという解き方は基本ですが、この問題は3つの項を文字において展開していきます。
問題

展開しなさい。
\({\small \left( -3a+2b\right) \left( -3a-2b\right) \left( -9a^{2}-4b^{2}\right)} \)

答え: \(16b^{4}-81a^{4}\)
立命館高校の展開2019の解説
~ポイント~
後半、指数の部分がややこしく見えるかもしれませんが、乗法公式による展開をそのまま使っています。
入れ替える変形

展開しなさい。
\(\left( b+a\right) \left( a-b\right) \left( a-c\right) \left( c+a\right) \)

答え: \(b^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}+a^{4}\)
展開オリジナル問題3解説
~解説にある最初の変形に気がつかない場合~
\(\left( b+a\right)\) を\(\left( a+b\right)\)に
\(\left( c+a\right)\) を\(\left( a+c\right)\)に
してから、展開していってもよいでしょう。
問題

展開しなさい。
\(a\left( b+c\right) \left( a-b-c\right) \)

答え: \(-ab^{2}-2abc-ac^{2}+a^{2}b+a^{2}c\)
展開オリジナル問題5の解説
~着眼点~
解説では、b+c=Xと置き換えられるよう変形しています。
\(\left( b+c\right) \left( a-b-c\right) \)の部分がそこまで複雑な形ではないので、まずその部分だけ展開をしてから、それにaをかける方法もあります。
最初に共通因数でくくり出す問題1

展開しなさい。
\(\left( b+3a\right) \left\{ \left( 3a\right) ^{2}+b^{2}\right\} \left( 6a-2b\right) \)

答え: \(162a^{4}-2b^{4}\)
展開オリジナル問題6解説
~学習ポイント~

最初に共通因数でくくり出す問題2

展開しなさい。
\(-\left( ab^{2}+b\right) \left( a-a^{2}b\right) \left( 1+a^{2}b^{2}\right) \)

答え: \(a^{5}b^{5}-ab\)
展開のオリジナル問題4解説
~ポイント~
同じ形を作り出すために、最初の工程として、共通因数でくくり出すということをしています。
2種類の文字に置き換える問題

展開しなさい。
\(\left( a+b+c\right) \left( a-b+c\right)\)
\(-\left( a+b-c\right) \left( a-b-c\right)\)

答え: \(4ac\)
早稲田実業高校の展開の解説
~解法ポイント~
最初の変形に気が付くのが難しい展開の問題です。同じかたちをつくって文字に置き換えるという視点を持って式を眺めてみましょう。
2種類の文字に置き換える問題2

展開しなさい。
\(\left( -2x-4y+3\right) \left( 2x-4y+3\right) \)

答え: \(16y^{2}-24y+9-4x^{2}\)
中野高校2021展開問題の解説
~学習ポイント~
解法にあるように、2種類の同じ形をそれぞれ文字に置き換えて、式を展開していきます。
2種類の文字に置き換える問題3

展開しなさい。
\(\left( a+b-c+d\right) \left( a-b+c+d\right) \)

答え: \(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}+2ad+2bc\)
展開のオリジナル問題の解説11
~ポイント~
これも2種類の文字を使い、置き換えます。
指数法則でまとめる問題

展開しなさい。
\(\left( 3x-2\right) ^{2}\left( 3x+2\right) ^{2}\left\{ \left( 3x^{2}\right) +2^{2}\right\} ^{2}\)

答え: \(x^{8}-32x^{4}+256\)
展開オリジナル問題8解説
~ポイント~
最初の変形の際、指数法則でまとめるとその後が楽になります。
指数法則でまとめる問題2

展開しなさい。
\(\left( 3a+\dfrac{1}{3}b\right) ^{2}\left( 3a-\dfrac{1}{3}b\right) ^{2}\)

答え: \(81a^{4}-2a^{2}b^{2}+\dfrac{1}{81}b^{4}\)
展開オリジナル問題9の解説
これも先程の問題と同じ要領で変形していきます。

3項の式と3項の式の乗法による展開

3項と3項の乗法

\(\left( 3x^{2}+5x+1\right) \left( x^{2}+2x+2\right) \)
を展開したときの \(x^{3}\) の係数を求めなさい。

答え: \(11\)
展開オリジナル問題7の解説
~学習ポイント~
項が3つある多項式と多項式の乗法は、展開したときに9つの項が表れます。解法にあるように、表にして考えると整理しやすいです。
3項と3項の乗法2

\(\left( 3x^{2}+2x+1\right) \left( x^{2}-ax+2b\right) \)
を展開すると
\(Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E\) になる。
ただしa、b、A、B、C、D、Eは定数である。
このとき、定数BとEの値をそれぞれ求めなさい。

答え: \(B=-13,E=-1\)
展開の難問オリジナル問題の解説
~解き方のポイント~
展開してできる項を把握しやすいよう、解説にあるように、表にして考えていきます。
にゃんこ
つづいて、因数分解の難問専用ページはこちらになります。
中学数学の因数分解の難問参考:特訓になる因数分解の難問たち|高校入試編・中学数学
坂田先生
展開の応用問題や難問の練習は以上になります。
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