【更新】計算問題の難問を追加しました

特訓になる因数分解の難問たち|高校入試編・中学数学

因数分解難問

にゃんこ
ここでは高校入試数学の因数分解の難問を厳選して列挙しています。(国立・難関私立入試対策のための学習ページです。)
坂田先生
中学数学で最も難しいレベルまで練習できる因数分解の問題ライブラリーです。
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因数分解の難問・パターン習得編|高校入試・中学数学

坂田先生
以下の式を因数分解せよ。
因数分解難問
にゃんこ
この一覧ページと全問題&全解説(計17枚)プリントアウトしておきたいと思った方は、50問目の最後を見てください。
(1) \(\left( 2a-b\right) ^{2}-10a+5b+25\)
(2) \(x^{2}z+xz^{2}+xyz+yz^{2}\)
(3) \(16x^{2}+1-4y^{2}+8x\)
(4) \(a^{2}+2a-b^{2}-c^{2}-2bc+1\)
(5) \(x-\left( 2y-1\right) ^{2}+\left( x+2y-1\right) ^{2}\)
(6) \(\left( ab\right) ^{2}+4-4a^{2}-b^{2}\)
(7) \(a^{2}-2ab\left( 2ab+1\right) +b^{2}\)
(8) \(x^{2}y+1-x^{2}-y\)
(9) \(a^{3}b-ab+a^{2}b-b\)
(10) \(\dfrac{a^{2}}{3}-2a+3\)
(11) \(9y^{2}-9x^{2}-6y+1\)
(12) \(\left( a+1\right) ^{2}-\left( a-b\right) ^{2}-2b-2\)
(13) \(a^{2}-\left( a+1\right) ^{2}+2abc+bc\)
(14) \(\left( a+b\right) ^{3}+c\left( a+b\right) ^{2}-ac^{2}-bc^{2}-c^{3}\)
(15) \(9a^{2}-36ab+36b^{2}-1\)
(16) \(18a^{3}-9a^{2}b-2a+b\)
(17) \(2\left( a-b\right) ^{3}-18ab^{2}+18b^{3}\)
(18) \(\left( a+b+c\right) \left( a-b+c\right) +a+b^{2}+c\)
(19) \(2a^{3}b^{2}c-8ac^{3}\)
(20) \(\left( a+b\right) \left( a+b+1-c\right) -c\)
(21) \(-2a^{2}-2b^{2}+2c^{2}+4ab\)
(22) \(c^{2}+abc+bc+ab^{2}+b+c\)
(23) \(27a^{3}+8b^{3}-12ab^{2}-18a^{2}b\)
(24) \(\left( a-1\right) ^{3}-9a+9\)
(25) \(2ax+2x-2-bx-2a+b\)
(26) \(\left( 9a-9\right) \left( a-1\right) -4a^{2}-b^{2}-4ab\)
(27) \(\left( 3c+2a\right) \left( 3c-2a\right) -4b\left( 2a+b\right) \)
(28) \(x\left( x+2y-6\right) +\left( y-3\right) ^{2}\)
(29) \(x^{2}-4xy-xz+3y^{2}+yz\)
(30) \(\left( a^{2}+9\right) \left( a^{2}-4a+9\right) -60a\)
(31) \(\left( 2a-1\right) ^{4}-8\left( 2a-1\right) ^{2}+16\)
(32) \(27x\left( y-1\right) -3x\left( y-1\right) ^{3}\)
(33) \(c-\left( a+b\right) +\left( a+b-c\right) ^{3}\)
(34) \(x\left( x-2y\right) +\left( y^{2}+xy^{2}\right) \left( 1-x\right) \)
(35) \({\small x^{2}y-x^{2}-4y^{3}+4y^{2}+\left( x+2y\right) \left( y-1\right) }\)
(36) \(\left( 2a+1\right) ^{2}+\left( 5b+3\right) \left( 2a+1\right) +15b\)
(37) \(2b\left( 4ab^{2}c-ac-6b\right) +3\)
(38) \(\left( abc\right) ^{2}-\left( ab\right) ^{2}-c^{2}+1\)
(39) \(x^{2}-y^{2}-4z^{2}-2x+4yz+4\)
(40) \(\left( 2a+b\right) ^{2}+\left( 2b^{2}-8a^{2}\right) -8\left( 2a-b\right) ^{2}\)
(41) \(x^{2}+\left( 5a-b\right) x+6\left( a+b\right) \left( a-2b\right) \)
(42) \(x^{2}-2xy+y^{2}+\left( a+b\right) \left( x-y\right) +ab\)
(43) \({\small\left( a^{2}+5a+26\right) \left( a^{2}+5a+24\right) +1}\)
(44) \(\left( a+3b\right) \left( a^{2}+9b^{2}\right) \left( a-3b\right) -80a^{2}b^{2}\)
(45) \(a\left( a-3b\right) +3b\left( 3b-a+3\right) -3a\)
(46) \(x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-x^{2}y^{2}z-x-y+z\)
(47) \(4a^{2}\left( b-1\right) ^{2}-16a^{2}\left( 1-b\right) +16a^{2}-1\)
(48) \(\left( a+b\right) ^{3}-9\left( a+b\right) -4a-4b-12\)
(49) \(2a\left( 2a+6b-1\right) +3b\left( 3b-1\right) \)
(50) \({\small\left( a-b-c\right) \left( a-b-2c\right) -a\left( a-b-c\right) +ac}\)
坂田先生
ここまでの50問について全問一覧ページと全問題&全解説(計17枚)をプリントアウトしておきたい方はこちら
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因数分解の難問・高校入試の過去問編

にゃんこ
ここからは習得した各パターンを実践する過去問編です。以下の式を因数分解してください。(確認のため標準レベル問題も最初に少しだけあります。)
  1. \(x^{2}y-xy-156y\)
  2. にゃんこ
    このパターンだけをもっと解きたい方や、解き方の詳しい解説を読みたい方はこちら
    参考:定数項の大きい因数分解の解き方&たくさんの練習問題
    西大和学園高校の因数分解中学数学の因数分解の基本を使って解く問題ですが、定数項の値が大きい場合の対処法を学べる良問です。

    積が-156になり和が-1になる数値の組み合わせは、まず156を素因数分解してから、そのかたちを見ながら考えます。

    和より、積の組み合わせから考えたほうが求めやすいです。

  3. \(a^{2}b+1-ab-a^{2}\)
  4. 因数分解の問題を解説2共通因数でくくり出す試行をいくつか試して解く類の難問です。

    もちろんこれも中学数学の因数分解で学習したことを発揮すれば解けるのですが、最初のとっかかりに行き詰まりやすい式になっています。

  5. \(x^{3}+2x^{2}-4x-8\)
  6. 城北高校の因数分解の解説この入試問題は最後から2行目で答えとしてはいけないことに注意してください。
  7. \(9a^{2}-1-4b^{2}+4b\)
  8. 因数分解の難問:高校入試3この因数分解の高校入試問題は、最初の変形に気が付くのが難しいです。
  9. \(\dfrac{x^{2}}{6}-\dfrac{xy}{3}-\dfrac{y^{2}}{2}\)
  10. 近畿大学附属高校の因数分解の解説
    にゃんこ
    分数の形が登場する因数分解のパターンです。
    坂田先生
    分母の6は最後に6分の1にして、因数としての表記にします。
  11. \(a^{3}+b^{2}c-a^{2}c-ab^{2}\)
  12. 市川高校の過去問:因数分解最初の文字式の並びを見たときに、cを含む項が2つありますので、cでくくり出す変形を考えます。
  13. \(a^{2}+1-b^{2}c^{2}+2a\)
  14. 因数分解難問オリジナル
  15. \(x^{2}y^{2}-4x^{2}-9y^{2}+36\)
  16. 福岡大学附属大濠高校の因数分解
  17. \(6x^{2}+23x-4\)
  18. たすきがけによる因数分解を利用して解くことをおすすめする問題です。
    たすきがけ

    たすきをかけるようにななめに掛け合わせた数値の合計が緑色になる組み合わせを探します。

    坂田先生
    例えば、こんな感じで解きます。
    たすきがけの説明図
    お母さま
    もう少し丁寧に説明してください。
    坂田先生
    こっちで詳しくわかりやすく説明しています。(動画解説&練習問題あり)
    たすきがけのやり方|因数分解の練習問題付きで応用までわかりやすく解説

    公立の中学数学の教科書では学習しませんが、中学数学をこえる範囲の習得が望まれる難関私立の高校入試対策となれば、準備しておきましょう。

  19. \(\left( a+b\right) ^{2}-\left( b+2\right) ^{2}-a+2\)
  20. ラサール高校の過去問:因数分解この高校入試の因数分解は、最初は展開するしか手がありません。

    したがって、2乗-2乗の形に着目して展開したあとの形を見ながら、因数分解の手立てを探ることになります。

    a+2b+2のように項が3つ登場すると難問のように見えるかもしれません。

    しかし、中学数学で学習する因数分解の手順にそって変形をしていけば、きれいに解くことができます。

  1. \(a^{3}+2a^{2}b-4ab^{2}-8b^{3}\)
  2. 関西学院高等部の因数分解の解説この問題もまた、中学数学の因数分解の範囲でしっかり解くことができる良問かつ難問です。
  3. \(4a^{2}+4b^{2}-c^{2}-8ab+6c-9\)
  4. 因数分解の難問:高校入試2
  5. \(12a^{3}-4a^{2}c-75ab^{2}+25b^{2}c\)
  6. 開成高校の因数分解の問題と解法2
  7. \(2a\left( b+1\right) ^{3}-8a\left( b+1\right)\)
  8. 久我山高校の因数分解の解答
    にゃんこ
    この問題は、一番最初のステップが難しいですね。
    坂田先生
    共通因数でくくるだけなのですが、それが少し大きな塊の場合、難しいと感じる方もいると思います。
  9. \(ax+b-1-x+a+bx\)
  10. 項が多い因数分解の問題は、闇雲に共通因数をくくり出して失敗することもあります。
    よって、何に着目するかがポイントになります。中央大学付属高校の因数分解の解説
    坂田先生
    この解法の場合、aとbをくくり出してから考えると上手くいきました。
    にゃんこ
    どこからどう手をつけていいかわからなかった場合は、こちらの別解もあります。
    中央大学付属高校の因数分解の別解このようにxについての1次式に整理して考えてみると上手くことがあります。
  11. \(25\left( x^{2}-1\right)^{2}-16\left( x^{2}+1\right) ^{2}\)
  12. 因数分解の難問:高校入試1高校入試の因数分解の問題のなかでも、私立特有の複雑な形をした難問となっています。とくに一番最初の変形に気が付くのが難しいタイプの問題です。
  13. \(a^{2}+ab-3ac-2b^{2}+3bc\)
  14. 立命館高校の因数分解の解説
  15. \(\left( x^{2}-4x\right) \left( x^{2}-4x-2\right) -15\)
  16. 早稲田実業高校の因数分解の解説この問題のように、高校入試の因数分解のなかでも4次式の因数分解が登場する場合は難問が多いです。

    というのも、展開してから考えようとすると、4次式になってしまうからです。

    そこからきれいに因数分解しようとすると非常に難問となります。

    以下に次数を減らすか、という置き換えの着眼点が重要な問題です。

  17. \(\left( x-21\right) ^{4}-13\left( x-21\right) ^{2}+36\)
  18. 開成高校の因数分解の解説
    坂田先生
    この高校入試問題のコツは、4乗をどう置き換えて因数分解するかというところになります。
    にゃんこ
    4乗は2乗の2乗なので、この点に気が付けるかどうかが重要でしょう。
  19. \(4\left( a+b\right) \left( a-b\right) +c\left( 4b-c\right) \)
  20. 東大寺学園高校の因数分解の解説
  21. \(a^{2}-3a-2ab+b^{2}+3b-10\)
  22. 中野高校の因数分解の解説
    項が複数並んだ最初の形から、\(a^{2}-2ab+b^{2}\)の部分に気が付くかどうかが、ひとつのポイントです。

    それを因数分解してから、次の手を考えると \(-3a+3b\) のかたまりに目がとまりやすいです。

  23. \(a^{3}-a\left( b+1\right) ^{2}+ab+b\left( b+1\right) \)
  24. 東大寺学園高校の因数分解
  25. \({\small \left( x-2\right) \left( x-3\right) \left( x+5\right) \left( x+6\right) -240}\)
  26. 検討をつけて解く中学数学の因数分解難問文字が一種類の4次式を因数分解する場合、闇雲に展開するとドツボにハマる可能性があります。

    中学数学の因数分解のテクニックを解こうとする場合、まず解答のように、xの次に続く定数同士の和が同じになるように掛け合わせる組み合わせを選びます。

    そうすることで、展開した後の形に共通する部分ができ、別の文字に置き換えて変形を進めることができます。

    最後の \(\left( x^{2}+3x-30\right) \) はこれ以上因数分解できないので、このままとなります。

  27. \({\scriptsize xy\left( x^{2}y+x^{2}-x-y-1\right)-x^{2}+y+1}\)
  28. 因数分解難問オリジナル
    文字の置き換えに注目して因数分解する難問です。似ている形のかたまりに着目してまとめます。
  29. \({\scriptsize \left( x-6y+3z\right) \left( x+2y-z\right) +5z\left( 4y-z\right) -20y^{2}}\)
  30. にゃんこ
    【注意】激ムズです。
    因数分解の超難問の解説:高校入試数学まず、右半分を展開して因数分解した形を眺めると、2x-Zが共通していることに気が付きます。

    なので、それをひとつのかたまりと見て展開する方針を考えます。

    この高校入試問題は、中学数学の因数分解で解くことができる範囲における、屈指の超難問レベルです。

    ~着眼点~
    とりあえず式の右半分を展開してみて、因数分解した形を眺めてみましょう。

思考力を問う因数分解の超難問:高校入試編

坂田先生
つづいて因数分解の文章題です。
もちろん文章問題だけあって、思考力を問う問題が多いです。
にゃんこ
また、『因数分解のテクニックで工夫して解く計算問題』を練習したい方は、合わせてこちらもご覧ください。
高校入試の計算問題難問参考:工夫して解く高校入試の計算問題【難問】
灘高校の超難問

a,b,kを定数とする。

(1)\(a\left( x+2y\right) +b\left( x+3y\right) \)を計算すると\(-x+y\)となる。
a,bを求めよ。

因数分解の難問の誘導問題恒等式の性質を利用した解法です。※恒等式については中学数学の教科書では扱いません。

これが次の小問を解くための誘導問題となります。

(2)\(x^{2}+5xy+6y^{2}-x+y+k\)が一次式と一次式の積の形に因数分解できるとき、kの値を求めよ。
また、そのような形に因数分解せよ。

(1)より、\(-4\left( x+2y\right) +3\left( x+3y\right) \)が\(-x+y\)となることがわかりました。

なので、これを利用して問題の式を変形します。

灘高校の因数分解の解法

【誘導の気付き方】

まず(1)の式と(2)の式を観察します。

-x+yが(2)の式のなかにありますので、それを(1)で取り上げられた文字式に置き換えます。

そこから、\(x^{2}+5xy+6y^{2}\)を因数分解してみると、変形後の式のなかに(x+2y)と(x+3y)が2か所ずつ登場していることに気が付きます。

そこでそれらをX、Yとおき、完成した式XY-4X+3Y+kという形から、(X+3)(Y-4)を展開した形であるという予想が立ちます。

よって(X+3)(Y-4)を展開した項のなかの定数-12が、すなわちKの値ということになります。

灘高校の因数分解:別解展開したときの各項の文字について注目し、解法を探る方法です。
にゃんこ
展開の難問も解きたい方はこちらです。
展開の難問参考:乗法公式による展開の応用問題&難問
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