【特集】円周角の定理の難問

因数分解の文章問題7選|中学数学~高校入試

因数分解の文章題サムネ

にゃんこ
このページでは、因数分解の文章問題を練習できます。(中学数学~高校入試問題の難関私立対策レベル)
坂田先生
プリントアウトしておきたい方は問題の最後を見てください。
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因数分解の文章問題7選|中学数学~高校入試

因数分解の結果を利用して因数分解する文章問題

(1) \(x^{2}-2x+1\) を因数分解した結果を利用し、 \(x^{2}-2x-8\)を因数分解せよ。

因数分解文章題1の解説
結果のかたちを作り出して求めるというパターンです。

このように結果のかたちを利用して解くというのは誘導問題のある出題でよく使います。

展開の結果を利用して因数分解する文章問題

(2) \(\left( a+b+1\right) ^{2}\)を展開した結果を利用し、 \(-3a^{2}+b^{2}+2ab+2a+2b+1\) を因数分解せよ。

因数分解文章題2の解説
展開前と展開後の形を観察し、因数分解せよとある式に「そのかたちを作り出せないか」と考えます。

先程と同じ発想で、+■⁻■というように、合計が0となるセットを追加して式変形すると作りやすいです。

因数分解の結果を利用し複雑な計算をする文章問題

(3) \(\dfrac{n\left( n+1\right) }{2}-\dfrac{\left( n-1\right) n}{2}\) を因数分解した結果を利用し、次の式を計算せよ。

因数分解の文章題の複雑な式

因数分解文章題3の解説
解説にあるように、因数分解の結果を見て、nの値を2通りの場合におきかえて式変形します。

この問題の場合は、nが3の100乗である時と、nが3の99乗である時の2通りにおきかえています。

因数分解の結果を利用し複雑な計算をする文章問題2

(4) \({\small \dfrac{n\left( n+1\right) \left( n+2\right) }{3}-\dfrac{\left( n-1\right) n\left( n+1\right) }{3}}\) を因数分解した結果を利用し、次の式を計算せよ。

\({\small 1\times 2+2\times 3+3\times 4+\ldots +28\times 29}\)

因数分解文章題4の解説
これも結果を見るとnとn+1という連続した2数の積になっています。

それを利用し、計算せよと指示された式を変形します。

すると、打ち消し合って和が0になる異符号の項が表れてゆくということに気が付きます。

どのように打ち消し合うか?という法則性に注目すると、最後にどこの項が残るかということがわかります。

各項の係数を比較するパターン

(5) \(x^{2}+4x+b\) を因数分解すると、 \(\left( x+8\right) \left( x-a\right) \) となる。定数a、bの値をそれぞれ求めよ。

因数分解文章題5の解説
因数分解された形を展開し、各項の係数を比較します。
xの係数と定数項の部分がそれぞれ同じであることから、方程式を作ることができます。
各項の係数を比較するパターン2

(6) \(\left( ax-2y\right) \left( x+3by\right) \) を展開した結果、 \(x^{2}+4xy-cy^{2}\) となった。定数a、b、cの値をそれぞれ求めよ。

因数分解文章題6の解説
先程の問題の問い方を変えた問題です。
因数分解された形を展開し、各項の係数を比較します。
数列と因数分解を使う文章問題

(7) \(1+2+3+\ldots +99\) の結果を利用し、 次の式を計算せよ。

\({\small \left( 1^{2}-2^{2}\right) +\left( 3^{2}-4^{2}\right) +\ldots +\left( 98^{2}-99^{2}\right)} \)

因数分解文章題7の解説
数列の和の求め方がわからない方は、先に解説を見てください。
求めたい数列の2倍の値をまず求めてから、それを半分にするという計算方法です。

次に、この数列の和の結果を利用するために、同じ数列のかたちを取り出すことを考えます。

まずは「2乗-2乗」という並びが続いていますので、因数分解により変形してみると、突破口が見えてきます。

にゃんこ
問題一覧&解答をまとめてプリントアウトしたい方はこちらです。
周辺テーマを学習したい方用

参考:因数分解の難問学習ページ

参考:展開の難問学習ページ

参考:中3の工夫して計算する難問ページ(後半にあります)

参考:平方根の計算問題難問

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因数分解の文章問題の考え方のコツ

因数分解の文章問題の多くは、小問1が誘導問題となっている場合があります。

坂田先生
誘導問題とは、その問題で解いた結果が次の問題を解くヒントになっている問題、のことです。

ここで用意した問題は「~を因数分解した結果を利用し」という言い回しがありますが、高校入試本番では、これが1つの小問となっていることが多いということです。

これを解き、2問目でそれを利用するという構成になっていると思ってください。

「誘導問題の結果を利用して次の問題を解く」という文章題の場合、主に次の3通りの使い方があります。

因数分解の文章題の誘導の利用方法
  1. 同じかたちを作り出し、式変形する。
    例:(1)(2)(7)の問題
  2. 文字に値を代入する。
    例:(3)(4)の問題
  3. 係数を比較する。
    例:(5)(6)の問題
坂田先生
もちろん、これ以外の可能性もなくはないですが、まずはこの定番の考え方3パターンをマスターしておきましょう。
特に、1の同じかたちを作り出し、式変形するパターンは、式変形に慣れていないと手間取る可能性があります。(式変形の部分だけ何度も手を動かして、それだけの練習をしておきましょう。)
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