絶対値の記号を外す問題:基本~難問【平方根やπや二乗の文字式】

絶対値を外す

坂田先生
ここでは絶対値の記号を外す問題基本から難問まで列挙しています。
絶対値の外し方
にゃんこ
絶対値の記号はこのように外れましたね。
  1. \(\left| -5\right| =5\)
  2. \(\left| 6\right| =6\)
  3. 坂田先生
    つまり、絶対値の記号のなかの符号が正の数ならそのまま外れ負の数なら-1を掛けた値となって外れます。

絶対値の記号を外す問題:基礎~難問【平方根やπや二乗の文字式】

    にゃんこ
    絶対値の記号を外してください。nは実数とします。(後半ほど難問)
  1. \(\left| \pi -3\right|\)
  2. 答え:π-3

    πは約3.1なので絶対値の記号の中の符号は正の数となります。なので、絶対値の記号を外したとしてもπ-3のままとなります。

  3. \(\left| \pi -\dfrac{7}{2}\right|\)
  4. 答え: \(\dfrac{7}{2}-\pi\)

    πは約3.1で \(\dfrac{7}{2}\)は3.5なので、 \(\pi -\dfrac{7}{2}\) の符号は負の数になります。よって、絶対値の記号を外すと
    \(-\left( \pi -\dfrac{7}{2}\right) =-\pi +\dfrac{7}{2}\)となります。

  5. \(\left| 4-\pi \right|\)
  6. 答え: \(4-\pi\)

    πは約3.1なので\(4-\pi\)は正の数になります。なので絶対値の記号を外しても\(4-\pi\)のままになります。

  7. \(\left| \sqrt{2}-\pi \right|\)
  8. 答え: \(-\sqrt{2}+\pi\)

    \(\sqrt{2}\) は約1.4でπは約3.1なので絶対値の記号のなかの値は負の数になります。よって

    \(\left| \sqrt{2}-\pi \right| \\=-\left( \sqrt{2}-\pi \right) \\=-\sqrt{2}+\pi\)

    坂田先生
    このように、平方根が登場するパターンは、その平方根の記号のついている数の近似値を求めると解決することがあります。
  9. n<0のとき\(\left| n\right| \)
  10. 答え:\(-n\)

    絶対値のなかの符号が負の数なので、\(\left| n\right| =-n\)

  11. \(\left| n^{2}\right| \)
  12. 答え: \(n^{2}\)

    実数であるnを二乗した値は正の数になります。よって
    \(\left| n^{2}\right| =n^{2}\)

  13. n<0のとき\(\left| n^{2}-n\right|\)
  14. 答え: \(n^{2}-n\)

    nの二乗は正の数となり、-nも正の数となります。(nは負の数なので)
    よって、正の数+正の数=正の数となり。絶対値の記号のなかの値は正の数となります。なので
    \(\left| n^{2}-n\right| =n^{2}-n\)

  15. n>2のとき\(\left| 2n^{2}-4n\right|\)
  16. 答え: \(2n^{2}-4n\)

    \(\left| n^{2}-2n\right| =\left| n\left( n-2\right) \right|\) と変形
    2nも(n-2)も正の数となり\(2n\left( n-4\right) \)は正の数×正の数、つまり正の数となる。
    よって絶対値の記号のなかは正の数となり
    \(\left| 2n^{2}-4n\right| =2n^{2}-4n\)

  17. \(\left| n^{2}-6n+9\right| \)
  18. 答え: \(n^{2}-6n+9\)

    \(\left( n-3\right) ^{2}\) は正の数なので以下のように絶対値記号を外せます。
    \(\left| n^{2}-6n+9\right| \\=\left| \left( n-3\right) ^{2}\right| \\=\left( n-3\right) ^{2}\\=n^{2}-6n+9\)

  19. n>2のとき\(\left| 3n^{2}-6n+9\right| \)
  20. 答え: \( 3n^{2}-6n+9\)

    \(\left| 3n^{2}-6n+9\right| =\left| 3n\left( n-2\right) +9\right|\) と変形する。
    3nも(n-2)も正の数なので3n(n-2)も正の数となる。
    よって、絶対値の記号のなか記号は正の数となり
    \(\left| 3n^{2}-6n+9\right| =3n^{2}-6n+9\)

  21. n>0のとき \(\left| -n\left( n+2\right) \right| \)
  22. 答え:\(n\left( n+2\right)\)

    -nは負の数、(n+2)は正の数、よって-n(n+2)は負の数×正の数=負の数となる。よって
    \(\left| -n\left( n+2\right) \right| =n\left( n+2\right) \)

  23. n<0のとき \(\left| n^{2}-3n+1\right| \)
  24. 答え: \(n^{2}-3n+1\)

    \(n^{2}\) は正の数、-3nも正の数となる。よって絶対値の記号のなかの値は正の数となる。
    \(\left| n^{2}-3n+1\right| =n^{2}-3n+1\)

  25. n<-3のとき\(\left| \left( n+3\right) \left( n-1\right) \right| \)
  26. 答え:\(\left( n+3\right) \left( n-1\right)\)

    (n+3)は負の数
    (n-2)は負の数
    よって \(\left( n+3\right) \left( n-1\right)\)は負の数×負の数で正の数となる。 なので
    \(\left| \left( k+3\right) \left( n-1\right) \right| =\left( k+3\right) \left( n-1\right)\)

  27. n>2のとき\(\left| -6n^{2}+6n+12\right| \)
  28. 答え: \(6n^{2}-6n-12\)

    \(\left| -6n^{2}+6n+12\right| \\=\left| -6\left( n^{2}-n+2\right) \right| \\=\left| -6\left( n-2\right) \left( n+1\right) \right|\) と変形。

    -6は負の数
    (n-2)は正の数
    (n+1)は正の数
    つまり、 \(-6\left( n-2\right) \left( n+1\right)\) は負の数 となる。よって
    \(\left| -6\left( n-2\right) \left( n+1\right) \right| \\=6\left( n-2\right) \left( n+1\right)\\=6n^{2}-6n-12\)