坂田先生
ここでは絶対値の記号を外す問題を基本から難問まで掲載し、それぞれ解説しています。
絶対値の外し方
にゃんこ
絶対値の記号はこのように外れましたね。
- \(\left| -5\right| =5\)
- \(\left| 6\right| =6\)
坂田先生
つまり、絶対値の記号のなかの符号が正の数ならそのまま外れ、負の数なら－１を掛けた値となって外れます。
絶対値の記号を外す問題：基礎～難問【平方根やπや二乗の文字式】
坂田先生
解答&解説はこの問題のあとに掲載しています。
にゃんこ
絶対値の記号を外してください。ｎは実数とします。（後半ほど難問です）
- \(\left| \pi -3\right|\)
- \(\left| \pi -\dfrac{7}{2}\right|\)
- \(\left| 4-\pi \right|\)
- \(\left| \sqrt{2}-\pi \right|\)
- ｎ＜０のとき\(\left| n\right| \)
- \(\left| n^{2}\right| \)
- ｎ＜０のとき\(\left| n^{2}-n\right|\)
- ｎ＞２のとき\(\left| 2n^{2}-4n\right|\)
- \(\left| n^{2}-6n+9\right| \)
- ｎ＞２のとき\(\left| 3n^{2}-6n+9\right| \)
- ｎ＞０のとき \(\left| -n\left( n+2\right) \right| \)
- ｎ＜０のとき \(\left| n^{2}-3n+1\right| \)
- ｎ＜－３のとき\(\left| \left( n+3\right) \left( n-1\right) \right| \)
- ｎ＞２のとき\(\left| -6n^{2}+6n+12\right| \)
にゃんこ
ここから以下は、解答と解説です。
- \(\left| \pi -3\right|\)
- \(\left| \pi -\dfrac{7}{2}\right|\)
- \(\left| 4-\pi \right|\)
- \(\left| \sqrt{2}-\pi \right|\)
- ｎ＜０のとき\(\left| n\right| \)
- \(\left| n^{2}\right| \)
- ｎ＜０のとき\(\left| n^{2}-n\right|\)
- ｎ＞２のとき\(\left| 2n^{2}-4n\right|\)
- \(\left| n^{2}-6n+9\right| \)
- ｎ＞２のとき\(\left| 3n^{2}-6n+9\right| \)
- ｎ＞０のとき \(\left| -n\left( n+2\right) \right| \)
- ｎ＜０のとき \(\left| n^{2}-3n+1\right| \)
- ｎ＜－３のとき\(\left| \left( n+3\right) \left( n-1\right) \right| \)
- ｎ＞２のとき\(\left| -6n^{2}+6n+12\right| \)
答え：π－３
πは約3.1なので絶対値の記号の中の符号は正の数となります。なので、絶対値の記号を外したとしてもπ－３のままとなります。
πは約3.1なので絶対値の記号の中の符号は正の数となります。なので、絶対値の記号を外したとしてもπ－３のままとなります。
答え： \(\dfrac{7}{2}-\pi\)
πは約3.1で \(\dfrac{7}{2}\)は3.5なので、 \(\pi -\dfrac{7}{2}\) の符号は負の数になります。よって、絶対値の記号を外すと
\(-\left( \pi -\dfrac{7}{2}\right) =-\pi +\dfrac{7}{2}\)となります。
πは約3.1で \(\dfrac{7}{2}\)は3.5なので、 \(\pi -\dfrac{7}{2}\) の符号は負の数になります。よって、絶対値の記号を外すと
\(-\left( \pi -\dfrac{7}{2}\right) =-\pi +\dfrac{7}{2}\)となります。
答え： \(4-\pi\)
πは約3.1なので\(4-\pi\)は正の数になります。なので絶対値の記号を外しても\(4-\pi\)のままになります。
πは約3.1なので\(4-\pi\)は正の数になります。なので絶対値の記号を外しても\(4-\pi\)のままになります。
答え： \(-\sqrt{2}+\pi\)
\(\sqrt{2}\) は約1.4でπは約3.1なので絶対値の記号のなかの値は負の数になります。よって
\(\left| \sqrt{2}-\pi \right| \\=-\left( \sqrt{2}-\pi \right) \\=-\sqrt{2}+\pi\)
\(\sqrt{2}\) は約1.4でπは約3.1なので絶対値の記号のなかの値は負の数になります。よって
\(\left| \sqrt{2}-\pi \right| \\=-\left( \sqrt{2}-\pi \right) \\=-\sqrt{2}+\pi\)
坂田先生
このように、平方根が登場するパターンは、その平方根の記号のついている数の近似値を求めると解決することがあります。
答え：\(-n\)
絶対値のなかの符号が負の数なので、\(\left| n\right| =-n\)
絶対値のなかの符号が負の数なので、\(\left| n\right| =-n\)
答え： \(n^{2}\)
実数であるｎを二乗した値は正の数になります。よって
\(\left| n^{2}\right| =n^{2}\)
実数であるｎを二乗した値は正の数になります。よって
\(\left| n^{2}\right| =n^{2}\)
答え：\(n^{2}-n\)
ｎの二乗は正の数となり、－ｎも正の数となります。（ｎは負の数なので）
よって、正の数＋正の数＝正の数となり。絶対値の記号のなかの値は正の数となります。なので
\(\left| n^{2}-n\right| =n^{2}-n\)
ｎの二乗は正の数となり、－ｎも正の数となります。（ｎは負の数なので）
よって、正の数＋正の数＝正の数となり。絶対値の記号のなかの値は正の数となります。なので
\(\left| n^{2}-n\right| =n^{2}-n\)
答え：\(2n^{2}-4n\)
\(\left| n^{2}-2n\right| =\left| n\left( n-2\right) \right|\) と変形
２ｎも(ｎ－２)も正の数となり\(2n\left( n-4\right) \)は正の数×正の数、つまり正の数となる。
よって絶対値の記号のなかは正の数となり
\(\left| 2n^{2}-4n\right| =2n^{2}-4n\)
\(\left| n^{2}-2n\right| =\left| n\left( n-2\right) \right|\) と変形
２ｎも(ｎ－２)も正の数となり\(2n\left( n-4\right) \)は正の数×正の数、つまり正の数となる。
よって絶対値の記号のなかは正の数となり
\(\left| 2n^{2}-4n\right| =2n^{2}-4n\)
答え：\(n^{2}-6n+9\)
\(\left( n-3\right) ^{2}\) は正の数なので以下のように絶対値記号を外せます。
\(\left| n^{2}-6n+9\right| \\=\left| \left( n-3\right) ^{2}\right| \\=\left( n-3\right) ^{2}\\=n^{2}-6n+9\)
\(\left( n-3\right) ^{2}\) は正の数なので以下のように絶対値記号を外せます。
\(\left| n^{2}-6n+9\right| \\=\left| \left( n-3\right) ^{2}\right| \\=\left( n-3\right) ^{2}\\=n^{2}-6n+9\)
答え：\( 3n^{2}-6n+9\)
\(\left| 3n^{2}-6n+9\right| =\left| 3n\left( n-2\right) +9\right|\) と変形する。
３ｎも（ｎ－２）も正の数なので３ｎ（ｎ－２）も正の数となる。
よって、絶対値の記号のなか記号は正の数となり
\(\left| 3n^{2}-6n+9\right| =3n^{2}-6n+9\)
\(\left| 3n^{2}-6n+9\right| =\left| 3n\left( n-2\right) +9\right|\) と変形する。
３ｎも（ｎ－２）も正の数なので３ｎ（ｎ－２）も正の数となる。
よって、絶対値の記号のなか記号は正の数となり
\(\left| 3n^{2}-6n+9\right| =3n^{2}-6n+9\)
答え：\(n\left( n+2\right)\)
－ｎは負の数、（ｎ＋２）は正の数、よって－ｎ（ｎ＋２）は負の数×正の数＝負の数となる。よって
\(\left| -n\left( n+2\right) \right| =n\left( n+2\right) \)
－ｎは負の数、（ｎ＋２）は正の数、よって－ｎ（ｎ＋２）は負の数×正の数＝負の数となる。よって
\(\left| -n\left( n+2\right) \right| =n\left( n+2\right) \)
答え： \(n^{2}-3n+1\)
\(n^{2}\) は正の数、－３ｎも正の数となる。よって絶対値の記号のなかの値は正の数となる。
\(\left| n^{2}-3n+1\right| =n^{2}-3n+1\)
\(n^{2}\) は正の数、－３ｎも正の数となる。よって絶対値の記号のなかの値は正の数となる。
\(\left| n^{2}-3n+1\right| =n^{2}-3n+1\)
答え：\(\left( n+3\right) \left( n-1\right)\)
（ｎ＋３）は負の数
（ｎ－２）は負の数
よって \(\left( n+3\right) \left( n-1\right)\)は負の数×負の数で正の数となる。 なので
\(\left| \left( k+3\right) \left( n-1\right) \right| =\left( k+3\right) \left( n-1\right)\)
（ｎ＋３）は負の数
（ｎ－２）は負の数
よって \(\left( n+3\right) \left( n-1\right)\)は負の数×負の数で正の数となる。 なので
\(\left| \left( k+3\right) \left( n-1\right) \right| =\left( k+3\right) \left( n-1\right)\)
答え： \(6n^{2}-6n-12\)
\(\left| -6n^{2}+6n+12\right| \\=\left| -6\left( n^{2}-n+2\right) \right| \\=\left| -6\left( n-2\right) \left( n+1\right) \right|\) と変形。
－６は負の数
（ｎ－２）は正の数
（ｎ＋１）は正の数
つまり、 \(-6\left( n-2\right) \left( n+1\right)\) は負の数 となる。よって
\(\left| -6\left( n-2\right) \left( n+1\right) \right| \\=6\left( n-2\right) \left( n+1\right)\\=6n^{2}-6n-12\)
\(\left| -6n^{2}+6n+12\right| \\=\left| -6\left( n^{2}-n+2\right) \right| \\=\left| -6\left( n-2\right) \left( n+1\right) \right|\) と変形。
－６は負の数
（ｎ－２）は正の数
（ｎ＋１）は正の数
つまり、 \(-6\left( n-2\right) \left( n+1\right)\) は負の数 となる。よって
\(\left| -6\left( n-2\right) \left( n+1\right) \right| \\=6\left( n-2\right) \left( n+1\right)\\=6n^{2}-6n-12\)
坂田先生
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本名：坂田健太（滋賀県）