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3点から等距離にある点の座標の求め方3通り

3点から等距離にある点の座標サムネ

坂田先生
このページでは、3点から等距離にある点の座標の求め方について3通りの方法を解説します。
このページの内容
  1. 3点から等距離にある点の座標の求め方
  2. 3点から等距離にある点を求める手順の意味を解説(別解あり)
  3. 【別解2】3点から等距離にある点を円の方程式で求める
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3点から等距離にある点の座標の求め方

にゃんこ
次のような例題を使って説明します。
例題

3点\(A(10,10),B(-4,8),C(-6,2)\)から等距離にある点Pの座標を求めなさい。

解き方の流れ
坂田先生
これが解き方の流れです。
3点から等距離にある点の求め方
にゃんこ
結局これは何をやっていることになるのですか?
坂田先生
そうですね。手順だけでなく、それぞれやっていることの意味についても見ていきます。
手順
坂田先生
まずは、「解き方の流れ」にしたがって普通に解いていきます。

※それぞれやっていることの意味はその後で解説します。

にゃんこ
手順1:点Pの座標を\(P(x,y)\)とおく。
にゃんこ
手順2:\(AP=BP\)すなわち\(AP^{2}=BP^{2}\)を座標の値を使い立式する。
3点から等距離にある点の求め方手順前半
にゃんこ
手順3:(同じ要領で)\(AP=CP\)すなわち\(AP^{2}=CP^{2}\)を座標の値を使い立式する。
3点から等距離にある点の求め方手順後半
にゃんこ
手順4:立式した2つの式でx、yについての連立方程式で解く。
3点から等距離にある点の求め方最後の連立方程式
坂田先生
以上の方法により、3点から等距離にある点の座標を求めることができます。
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3点から等距離にある点を求める手順の意味を解説

坂田先生
「3点から等距離にある点の座標」とは、別の言い方をすれば「3点を通る円の中心の座標」のことになります。
3点を通る円の中心

にゃんこ
点Pから点A、B、Cの各点までの距離は、どれも円の半径になり、長さが等しいですね。
坂田先生
この円の中心の座標を求めるために、線分ABの垂直二等分線と線分ACの垂直二等分線の交点の座標を求めたということです。
にゃんこ
説明図の結論を先にご覧いただくと、こんな感じ↓です
2本の垂直二等分線で円の中心を求める2

坂田先生
ひょっとしたらこちらのほうがわかりやすいかもしれません。(このパターンも説明します)
2本の垂直二等分線で円の中心を求める
坂田先生
ではここからは、先程紹介した手順の意味について、順番に図を使って説明します。
手順の説明
にゃんこ
手順1:2点A、Bから等距離にある直線の方程式を求める。(線分ABの垂直二等分線の式)
線分ABの垂直二等分線
3点から等距離にある点の求め方手順前半
(先程の式①が線分ABの垂直二等分線の式ということです。)

にゃんこ
手順2:2点A、Cから等距離にある直線の方程式を求める。(線分ACの垂直二等分線の式)

線分ACの垂直二等分線

3点から等距離にある点の求め方手順前半
(先程の式②が線分ACの垂直二等分線の式ということです。)

にゃんこ
手順3:手順1と2で求めた直線の方程式をxとyの連立方程式にして解く。(その解が求める座標となる)
2本の垂直二等分線で円の中心を求める2
3点から等距離にある点の求め方最後の連立方程式
坂田先生
こちら↓の方がわかりやすいかもしれません。
線分AB、BCの垂直二等分線で考えるとこうなる
にゃんこ
手順1:2点A、Bから等距離にある直線の方程式を求める。(線分ABの垂直二等分線の式)
線分ABの垂直二等分線

にゃんこ
手順2:2点B、Cから等距離にある直線の方程式を求める。(線分ACの垂直二等分線の式)
線分BCの垂直二等分線を求める

にゃんこ
手順3:この2本の線の交点を連立方程式で求める。
2本の垂直二等分線で円の中心を求める

坂田先生
円の中心を作図する手順を思い出してください。
にゃんこ
まさにその手順になっています。
坂田先生
この手順を、作図ではなく式を求める計算によって再現しているということです。
別解1
にゃんこ
ちなみに、線分の垂直二等分線の求め方は、ほかにもあります。

【1】直線ABの傾きを求め、その垂線の傾きaを求める。

【2】2点の中点の座標を求め、そのx座標y座標を代入し、y切片bを求める。

詳しい解説ページ:線分の垂直二等分線の方程式の求め方2通りと公式

坂田先生
こちらの方法を使って求める方が手間が少ない場合があります。
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【別解2】3点から等距離にある点を円の方程式で求める

にゃんこ
先程の方法は「3点を頂点とする三角形の外接円の中心の座標」を求める手順にもなっています。
坂田先生
なので、「3点を通る円の方程式を求めてから、その円の中心の座標を求める」という方法でも、同じ結果を得られます。
手順

手順1:3点を通る円の方程式を求める。

手順2:その円の中心の座標を求める。(これが求める座標P)

坂田先生
実は、円の中心の座標を求めるだけだったら、円の方程式を完成させる必要はありません。
にゃんこ
実際に求めてみます。
問題

3点\(A(10,10),B(-4,8),C(-6,2)\)から等距離にある点Pの座標を求めなさい。

(ただし、円の方程式の一般形を利用しなさい。)

円の方程式の一般形と円の中心の座標

円の方程式の一般形は:\(x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0\)

基本形に直すと:\(\left( x+\dfrac{l}{2}\right) ^{2}+\left( y+\dfrac{m}{2}\right) ^{2}=\dfrac{l^{2}+m^{2}-4n}{4}\)

このとき、円の中心の座標は\(\left( -\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2}\right) \)

にゃんこ
なので\(l\)と\(m\)の値さえわかれば良いということになります。
解答

求める点Pは、3点A、B、Cを通る円の中心の座標である。

この円の方程式を\(x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0\)とする。

この円が
\(A(10,10)\)を通るから
\(10^{2}+10^{2}+10l+10m+n=0\)

\(B(-4,8)\)を通るから
\(\left( -4\right) ^{2}+8^{2}-4l+8m+n=0\)

\(C(-6,2)\)を通るから
\(\left( -6\right) ^{2}+2^{2}-6l+2m+n=0\)

これらを整理して
\(\begin{cases}10^{2}+10^{2}+10l+10m+n=0\\
\left( -4\right) ^{2}+8^{2}-4l+8m+n=0\\
\left( -6\right) ^{2}+2^{2}-6l+2m+n=0\end{cases}\)

これを解くと\(l=-8\)、\(m=-4\)、\(n=-80\)となる

円の中心の座標は\(\left( -\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2}\right) \)であるから

点Pの座標は\(\left( -\dfrac{-8}{2},-\dfrac{-4}{2}\right) \)

すなわち\((4,2)\)