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2点から等距離にある直線の式の求め方2通りと公式3つ

2点から等距離にある直線の式の求め方&公式サムネ

にゃんこ
このページでは、2点から等距離にある直線の式の求め方と公式について解説しています。
このページの内容
  1. 2点から等距離にある直線の式の求め方2通り
  2. 2点から等距離にある直線の式の公式3つ
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2点から等距離にある直線の式の求め方2通り

坂田先生
具体的な例題で解説したほうがわかりやすいので、まずは次の問題を見てください。
にゃんこ
座標平面上にある2点A、Bからの距離が等しい直線の式を求める問題です。
問題

2点\(A(1,2)\),\(B(3,4)\)から等距離にある直線の方程式を求めよ。2点から等距離にある直線の問題

解き方の手順
にゃんこ
手順1:求める直線上にある点を\(P(x,y)\)とおきます。
2点から等距離にある点をpとおく
坂田先生
この点Pは2点A、Bから同じ距離にあります。なので手順2↓
にゃんこ
手順2:APとBPの距離が等しいことを利用して等式を作ります。
APとBPの距離が等しい
坂田先生
\(AP=BP\)が成り立ちますので、辺々を2乗した\(AP^{2}=BP^{2}\)も成り立つということになります。
にゃんこ
手順3:各辺の平方\(AP^{2}とBP^{2}\)を、それぞれ2点の座標で表します。
各辺の平方を2点の座標で表す

坂田先生
これには三平方の定理を使います。
にゃんこ
手順4:方程式を作り式変形します。
APとBPの方程式を作り式変形する
坂田先生
\(AP^{2}=BP^{2}\)から方程式を作り、整理すると、求める直線の式になります。
\(y=-x+5\)の\(x\)と\(y\)はもともと点\(P(x,y)\)として登場させたものですね。
\(x\),\(y\)は求める直線上にある変数であり、常にAPとBPの距離が等しいという問題の条件を満たします。
なので、\(y=-x+5\)は求める直線の式を表しているということです。
別の求め方

「2点A、Bから同じ距離にある直線」とは、別の言い方をすると「線分ABの垂直二等分線」ということになります。

にゃんこ
この求め方についてはこちら↓で詳しく解説しています。

特集:線分の垂直二等分線の方程式の求め方2通りと公式|座標平面上にある関数の話

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2点から等距離にある直線の式の公式3つ

にゃんこ
それでは次に、2点から同じ距離にある直線の式の公式について求めていきます。
坂田先生
先程は、2点\(A(1,2)\),\(B(3,4)\)として表していたものを次にように変えて、同じ手順を踏んでいきます。
2点から等距離の直線の一般化

にゃんこ
点Pは常に2点A,Bから等距離にあるので、\(AP=BP\)が成り立ちます。その先の手順も先程と同じです。
2点から等距離にある直線の一般式の変形

上の式について説明
上の式の最終形が結構ややこしい形のように見えます。

しかし次のように変換するとスッキリします。

x座標y座標の差と和

このように書き変えるといいでしょう。
ただし、差を求める部分(x座標の差、y座標の差)は、引く順番をそろえる必要があります。(次のように)
引く順番をそろえる

引く順番

このように、x座標の差を求める時に

点Bのx座標-点Aのx座標

というようにしたなら、y座標の差は

点Bのy座標-点Aのy座標

をしなければいけません。

(点Aのy座標-点Bのy座標をしてはいけません。)

逆に、x座標の差を求める時に

点Aのx座標-点Bのx座標

というようにしたなら、y座標の差は

点Aのy座標-点Bのy座標

をしなければいけません。

(点Bのy座標-点Aのy座標をしてはいけません。)

にゃんこ
このことを理解できましたら、話を元に戻します。

2点から等距離にある直線の一般式の変形

坂田先生
よって、2点から等距離にある直線の公式【その1】はこうなります。
2点から等距離にある直線の公式1

にゃんこ
さらにこの式を一次関数の基本形に変形してみると、このような公式になります。
2点から等距離にある直線の式の公式【その2】

一次関数の基本形で表した公式です。
2点から等距離にある直線の一般形の式

にゃんこ
このように、直線の式の傾きの値と同じかたちが、y切片の一部に表れています。
坂田先生
なので、2点から等距離にある直線の傾きをaとすると、さらに次のように公式を表すことができます。
2点から等距離にある直線の式の公式【その3】

2点から等距離にある直線の傾きと切片
2点から等距離にある直線の傾きと切片

2点から等距離にある直線の公式
2点から等距離にある直線の傾きと切片の公式

坂田先生
実はこの最後の公式、直線の式\(y=ax+b\)に2点の中点(x座標の中点、y座標の中点)を変数\(x、y\)に代入しても同じ結果を得られます。
にゃんこ
2点の中点は、すなわち

x座標の中点←(2点のx座標の和÷2)

y座標の中点←(2点のy座標の和÷2)

坂田先生
なので、これを代入した形ということになります。
傾きの求め方
にゃんこ
さらに傾きの方も別の求め方ができます。

「2点A、Bから等距離にある直線の傾き」とはすなわち「直線ABと垂直な傾き」でもあります。

【ポイント】2直線が垂直に交わる時、その2直線の傾きの積は常に\(-1\)となる。

にゃんこ
このことを使えば、傾きを求めることができます。
2点から等距離にある直線の傾きと切片2点から等距離にある直線の傾きと切片の公式
坂田先生
この公式はつまり、次の2つの手順
手順1:直線ABと求める直線の傾きの積が\(-1\)となることを利用して、傾きaを求める。

手順2:その直線が2点A、Bの中点を通ることを利用して、x座標の中点の値を変数xに代入し、y座標の中点の値を変数yに代入して、y切片bを求める。

坂田先生
この手順を公式化したもの、ととらえることもできます。