平方根の小数部分と整数部分の問題|難易度別に解説

基礎から難問まで解説します

にゃんこ
平方根の整数部分小数部分の問題について、解き方のコツをわかりやすく解説しました。
坂田先生
難易度別に難問まで練習できます。
このページの内容
  1. 平方根の整数部分と小数部分の解き方のコツ|わかりやすい解説
  2. 平方根の小数部分|ルートの練習問題~難問
  3. 平方根の整数部分|ルートの練習問題~難問

平方根の整数部分と小数部分の解き方のコツ|わかりやすい解説

にゃんこ
解説用の練習問題を使って、丁寧にわかりやすく解説しています。
解説用の題材

\(\sqrt{5}\) の整数部分と小数部分を求めよ。

答え:整数部分は2、小数部分は \(\sqrt{5}-2\)

ルート5=2.236‥

なので、整数部分は2です。

にゃんこ
そんなの覚えていません!
坂田先生
‥と思うので次の方法を身に付けてください。(応用が効きます)
ルート5の整数部分

\(\sqrt{5}\) は\(\sqrt{4}\) (つまり2)と\(\sqrt{9}\) (つまり3)の間にある値だということがわかります。

2と3にある値の整数部分は2なので、\(\sqrt{5}\) の整数部分は2ということです。

このことから次のような関係がわかります。
ルート5の整数部分2と小数部分の和

このように、当たり前の話ですが

\(\sqrt{5}\)は\(\sqrt{5}\)の整数部分と\(\sqrt{5}\)の小数部分の和でできています。

この方程式を変形してみます。

ルート5の小数部分

このように

\(\sqrt{5}\)の小数部分=\(\sqrt{5}\)-\(\sqrt{5}\)の整数部分

という方程式になり、ルート5の小数部分の値を表現することができます。

このように

\(\sqrt{a}\)の小数部分=\(\sqrt{a}\)-\(\sqrt{a}\)の整数部分

という考え方は、ルートの記号がついた値の小数部分を求める際によく使うので、覚えておいてください。

にゃんこ
たしかに整数部分を引いたら小数部分になりますね。このポイントがルートの問題のコツです。

平方根の小数部分|ルートの練習問題~難問

\(\sqrt{20}\) の小数部分を \(x\) とするとき、\(\left( x+1\right) \left( x+7\right)\)の値を求めよ。

答え:11
平方根の小数部分の基本問題を解説ルート20の整数部分を求めてから、小数部分を求めます。

そのあと、求める値を計算します。

\(\sqrt{10}\) の小数部分を \(x\) とするとき、\(x\left( x+6\right) \) の値を求めよ。

答え:1
平方根の小数部分の基本問題2を解説これも先程と同じパターンの問題です。

ルート10の整数部分を求めてから、小数部分を求めます。

そのあと、求める値を計算します。

\(\sqrt{2}\) の小数部分を \(a\) とし、\(\sqrt{8}\) の小数部分を \(b\) とする。このとき\(\dfrac{b}{a}\) の値を求めよ。

答え:2
平方根の小数部分が2つある問題の解説\(\sqrt{2}\) と\(\sqrt{8}\) について、それぞれの整数部分を求めてから、小数部分を求めます。

bは2aということがわかりましたので、そのまま代入して、答えは2となります。

\(\sqrt{3}+2\) の整数部分をa、小数部分をbとするとき、 \(b^{2}+\dfrac{2}{3}ab\) の値を求めよ。

答え:2
まずは \(\sqrt{3}\) の整数部分が1であることを調べ、そこから\(\sqrt{3}+2\) の整数部分aが3であることを求めます。平方根の小数部分aと整数部分bの問題解説
(法政大学高校)

\(4-\sqrt{7}\) の小数部分を\(x\) とするとき、\(x\left( x-6\right) \) の値を求めよ。

答え:-2
平方根の小数部分の標準問題を解説

\(\sqrt{2016}\) の整数部分を求めよ。また、\(\sqrt{2016}\)の小数部分を \(x\) とするとき、\(x^{3}+89x^{2}+8x\)の値を求めよ。

答え:整数部分は44、\(x^{3}+89x^{2}+8x\) の値は80
平方根の整数部分の問題の解説1
これで整数部分が平方根の記号が付いた値の整数部分が求まりました。

つまり、小数部分は \(\sqrt{2016}-44\) ということになります。

ここからは、この平方根の小数部分についての計算式を、工夫して解く方法をご紹介します。

平方根の小数部分の計算問題の解説2
このように、3乗の式があるような複雑な問題の場合は、値を代入していって、徐々に係数を下げていく方法が有効な場合があります。

(星光学院高校)

\(a\) は2桁の素数とし、\(\sqrt{a}\) の整数部分をnとする。\(\dfrac{1}{\sqrt{a}-n}=\sqrt{a}+n\) が成り立つとき、aの値を求めよ。

答え:17,37
平方根の整数部分の難問1解説
(西大和学園高校)

\(\left( \sqrt{3}+\sqrt{5}\right) ^{2}\) の小数部分をxとするとき、\(x^{2}+14x\)の値を求めよ。

答え:11
平方根の和の二乗の小数部分:難問の解説
(慶應義塾志木高校)

既約分数 \(\dfrac{b}{a}\) がある。 \(a+b=1234\) であり、この分数の平方根の小数部分を切り捨てると10になる。この分数を求めよ。

答え:11

坂田先生
既約分数とは、これ以上約分できない分数のことを言います。
にゃんこ
例えば \(\dfrac{10}{8}\) はまだ約分できるので既約分数とは言いません。

既約分数 \(\dfrac{b}{a}\)の平方根 \(\sqrt{\dfrac{b}{a}}\) の小数部分を切り捨てた値、すなはち整数部分が10になるということなので

\(10\leqq \sqrt{\dfrac{b}{a}} <11\)

坂田先生
ここから以下のように範囲を絞り込んでいきます。
平方根の整数部分が10になる難問の解説このうち、\(\dfrac{b}{a}\)が既約分数になるのはa=11のみ。
(慶應義塾志木高校)

平方根の整数部分|ルートの練習問題~難問

\(\sqrt{n}\)の整数部分が2になるとき、自然数nの値をすべて求めよ。

答え:5,6,7,8
平方根の整数部分の問題基本1平方根の整数部分が2であるということは、2と3の間にある値について調べればいい、ということになります。

\(\sqrt{2x+1}\) の整数部分が5になるような整数\(x\)の値をすべて求めよ。

答え:12,13,14,15,16,17
平方根の整数部分が5になる問題の解説

\(\sqrt{n}\)の整数部分を\(p\left( n\right) \)とするとき、\(p\left( n\right) +p\left( n+1\right) =5\) を満たす自然数nを求めよ。

答え:8
このように、表を作って検討するとnを発見しやすいです。
平方根の整数部分の難問解説1ルート8の整数部分は2であり、ルート9の整数部分は3となり、n=8のとき、\(p\left( 8\right) +p\left( 8+1\right) =5\) が成立します。

よって、答えはn=8となります。

\(\sqrt{n}\)の整数部分を\(p\left( n\right) \)とするとき、\(p\left( n\right) +p\left( n+1\right) =4\) を満たす自然数nをすべて求めよ。

答え:4,5,6,7
平方根の整数部分の難問解説2先程の問題は\(p\left( n\right) +p\left( n+1\right) \)が奇数5になる問題でした。この問題は\(p\left( n\right) +p\left( n+1\right) \)が偶数4になる問題です。

このように、奇数である場合は、平方根の整数部分が変わるところに求めるnがあり、偶数である場合は求めるnは複数存在することになります。

\(\sqrt{n}\)の整数部分を\(p\left( n\right) \)とする。
数列\(p\left( 1\right) \) , \(p\left( 2\right) \) , \(p\left( 3\right) \) , ‥ , \(p\left( 50\right) \)の和を求めよ。

答え:217
平方根の整数部分の難問解説3平方根の整数部分をすべて書き出していてはきりがないので、このような表にして考えると計算しやすくなります。