平方根の大小関係と大小比較の練習問題|難易度別に解説

基礎から難問まで解説します

にゃんこ
平方根の大小関係を不等号で表す問題や、平方根の大小比較を題材にした練習問題を基礎から難問まで解説しています。
坂田先生
中学数学の基礎から始まり、後半ほど高校入試でガッツリ対策が必要になるレベルの難問になっています。

平方根の大小関係と大小比較の練習問題|中学数学

平方根の大小問題の基本~標準レベル
  1. \(-\sqrt{2}\) 、 \(-\sqrt{5}\) 、\(-\sqrt{7}\) の大小関係を不等号で表せ。
  2. 数直線上で表わすと、それぞれこのようになります。平方根の大小比較:負の数の場合
  3. \(a<b<c\) のとき \(-\sqrt{a}\) 、 \(-\sqrt{b}\) 、\(-\sqrt{c}\) の大小関係を不等号で表せ。
  4. 先程の問題を一般化した問題です。平方根の大小比較:負の数の場合2ルートの中の値の大小関係は、-の符号が付いた場合、大小関係が逆転します。
  5. \(\dfrac{7}{2} < \sqrt{n} <4\) となるような自然数nの個数を求めよ。
  6. 答え:3

    平方根の大小関係の基本問題解説不等号で表された平方根の大小関係をヒントに自然数nの個数を求める問題です。
    このタイプの問題で難しいポイントは、不等号の指し示す範囲がどこまでのものかをちゃんと把握しなければミスをしてしまうという所です。

    坂田先生
    不等号の記号に=があるかないかで、その範囲も変化します。
    にゃんこ
    次の問題で練習してください。
  7. \(\dfrac{7}{2}\leqq \sqrt{n}\leqq 4\) となるような自然数nの個数を求めよ。
  8. 答え:4

    平方根の大小の基本問題の解説2

  9. \(\sqrt{15} <n <2\sqrt{10}\) となるような自然数nの個数を求めよ。
  10. 答え:3
    大小関係の平方根の基本問題3これもまた数直線を使って、自然数nの範囲を特定してから検討する問題です。中学数学の定期テストでも十分出題される『平方根の大小関係の問題』です。
  11. \(-3\sqrt{3}\) より大きく、 \(2\sqrt{5}\) より小さい整数は何個あるか。
  12. 答え:10

    平方根の大小比較の問題基本問題の解説これもまた、先程と同じタイプの平方根の問題です。しかし不等号による式ではなく、文章で表現されています。

    「より」という表現はその数値自身を含まない、という点に注意してください。

  13. \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) 、 \(\dfrac{5}{\sqrt{2}}\) 、 \(3.5\) の大小関係を不等号で表せ。
  14. 答え:\(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\) <\(3.5\) <\(\dfrac{5}{\sqrt{2}}\)

    平方根の大小関係3つを比較する解説図中学数学や高校入試数学の平方根の問題において、大小関係を調べる場合は、すべて平方根の記号で表現したものに変換し、それから比較するという方法が基本です。

    この問題ではその際、平方根の分母の有理化を使用する場合と、しない場合の両方の変形を紹介しています。

  15. \(-5\) 、 \(-3\sqrt{3}\) 、 \(-\dfrac{\sqrt{104}}{2}\) の大小関係を不等号で表せ。
  16. 答え:\(-3\sqrt{3}<-\dfrac{\sqrt{104}}{2}<-5\)

    坂田先生
    まず負の符号を取り除いた、数値のみの大小関係を比較します。

    \(5=\sqrt{25}\)
     
    \(3\sqrt{3}=\sqrt{27}\)
     
    \(\dfrac{\sqrt{104}}{2}=\dfrac{\sqrt{104}}{\sqrt{4}}=\sqrt{26}\)

    \(25<26<27\) なので

    \(\sqrt{25}<\sqrt{26}<\sqrt{27}\)

    したがって

    \(5<\dfrac{\sqrt{104}}{2}<3\sqrt{3}\)

    坂田先生
    負の符号を取り除いた、数値のみの大小関係が判明しました。
    にゃんこ
    知りたいのは負の数なので大小関係は逆転します。

    \(-3\sqrt{3}<-\dfrac{\sqrt{104}}{2}<-5\)

  17. \(9.9 ≦\sqrt{n+0.01} <10.1\) となるような自然数nをすべて求めよ。
  18. 答え:98、99、100、101

    平方根の大小関係3つを比較する標準問題途中からの不等式の変形が難しいかもしれません。中学数学の教科書で扱われない操作が必要になります。

平方根の大小関係と大小比較の難問|高校入試の応用問題

平方根の大小問題の難問
  1. \(\sqrt{20}\leqq \sqrt{x^{2}}\leqq 10\) を満たす整数xの個数を求めよ。
  2. 答え:12

    大小関係の平方根の難問4

  3. \(5\sqrt{2}\) 、\(7\) 、\(\dfrac{\sqrt{192}}{2}\) 、 \(\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{2}\) の大小関係を不等号で表せ。
  4. 平方根の大小関係4つを比較する解説図中学数学の教科書ではあまり登場しない平方根の大小比較の方法です。したがってこのテクニックを知らない場合、難問となります。
  5. n、Nを自然数とする。 \(N≦\sqrt{n}<N+1\) を満たすnが9個あるときと999個あるときのNの値をそれぞれ求めよ。
  6. 答え:
    nが9個あるときはN=4
    nが999個あるときはN=499

     
    平方根の大小関係の難問の解説不等号の記号に等号=が含まれている場合といない場合とではその範囲が変わり、したがって、nの個数を求める式も変わります。

    このような場合、具体的な数値を使って、nの個数を求める式を考えるのがオススメです。(等号があるときとないときで、求め方の式を暗記しても非効率的であまり意味がありません。)

    にゃんこ
    ちょっと言っている意味がわからない、という方は次の問題を解いてみてください。
    坂田先生
    同じパターンの問題ですが、平方根の大小を比較する不等号にすべて等号が含まれている場合の問題です。
  7. a、nを自然数とする。 \(n≦\sqrt{a}≦n+3\) を満たすaが70個あるときのn値を求めよ。
  8. 答え:10

    大小関係の平方根の問題解説3先程の問題と違うポイントは、平方根の大小関係を表すためのすべての不等号の記号に、等号が含まれているという所です。

    そのため、一番大きな値と一番小さな値の間にある自然数aの個数を求める式が、先程と少し変わっています。

    先程の問題では、

    大きな値-小さな値=その間の整数の個数

    でしたが、この問題では

    大きな値-小さな値+1=その間の整数の個数

    という式でなければなりません。

    坂田先生
    この式の作り方は、具体的な数値を使って、検証してみるといいです。

    たとえば

    2≦a≦5

    を満たす自然数aの個数は2,3,4,5の4個ですが

    単純に

    5-2と計算しても3となってしまいます。

    なので

    5-2+1をすればよいことに気が付けばいい、ということです。

    坂田先生
    先程の問題で、『具体的な数値を使って、nの個数を求める式を考えるのがオススメです』と言ったのは、このことです。
  9. 自然数a、b、cが次の条件を満たすとき、cの値を求めよ。

    a×b×c=108
    bは \(2\sqrt{10}\) の整数部分
    \(\sqrt{17}<a<\sqrt{65}\)

  10. 答え:3平方根の難問:大小と自然数の問題23つの条件からcを特定していく問題です。一つひとつの条件は基本的な内容ですが、ac=18まで特定できたところで、aの範囲を利用するという所が難しいかもしれません。高校入試問題で出題されうる、平方根の大小関係を利用したやや難問と言えるでしょう。
  11. a、b、cは自然数とする。 \(1≦b≦20\) 、 \(\sqrt{ab}=c\sqrt{a}\) が成り立つとき、考えられるcの値をすべて求めよ。
  12. 答え:1,2,3,4

    平方根の大小問題の難問を解説前半

    坂田先生
    ここで \(b=c^{2}\) を満たし、なおかつbもcも自然数となるbとcの組み合わせを考えます。
    にゃんこ
    またbの範囲は、1≦b≦20であることにも注意してください。
    平方根の大小の難問を解説する後半
    坂田先生
    たとえばbが4のとき、c=2で \(b=c^{2}\) が成立する、ということです。
    にゃんこ
    なんで両辺をaで割る際、a>0なので、と書いてあるのですか?
    坂田先生
    『a>0なので』とはつまり『aは0ではありませんよ。つまり両辺を0で割るという操作ではありませんよ。』ということを示しておく必要があるからです。
  13. \(\sqrt{24n}\)は整数とする。 \(\sqrt{24n}<120\)を満たす最大の自然数nを求めよ。
  14. 答え:486
    坂田先生
    まず、2通りの方法を使って、nについての条件を絞り込んでいき、最後にその条件をあわせてnを求めます。
    平方根の難問:大小と自然数の問題高校入試問題の難問の類です。平方根の大小関係からnの範囲を絞りこみ、\(\sqrt{24n}\)が整数となる条件から、nに含まれる素因数などを絞り込んで検討します。