平方根の大小関係と大小比較の練習問題｜難易度別に解説

1. \(\sqrt{20}\leqq \sqrt{x^{2}}\leqq 10\) を満たす整数xの個数を求めよ。
解説

答え：12



2. \(5\sqrt{2}\) 、\(7\) 、\(\dfrac{\sqrt{192}}{2}\) 、 \(\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{2}\) の大小関係を不等号で表せ。
解説
中学数学の教科書ではあまり登場しない平方根の大小比較の方法です。したがってこのテクニックを知らない場合、難問となります。
3. n、Nを自然数とする。 \(N≦\sqrt{n}＜N+1\) を満たすnが9個あるときと999個あるときのNの値をそれぞれ求めよ。
解説
答え：
nが9個あるときはN=4
nが999個あるときはN=499
　
不等号の記号に等号＝が含まれている場合といない場合とではその範囲が変わり、したがって、nの個数を求める式も変わります。
このような場合、具体的な数値を使って、ｎの個数を求める式を考えるのがオススメです。（等号があるときとないときで、求め方の式を暗記しても非効率的であまり意味がありません。）

にゃんこ
ちょっと言っている意味がわからない、という方は次の問題を解いてみてください。

坂田先生
同じパターンの問題ですが、平方根の大小を比較する不等号にすべて等号が含まれている場合の問題です。
4. a、nを自然数とする。 \(n≦\sqrt{a}≦n+3\) を満たすaが70個あるときのn値を求めよ。
解説
答え：10
先程の問題と違うポイントは、平方根の大小関係を表すためのすべての不等号の記号に、等号が含まれているという所です。
そのため、一番大きな値と一番小さな値の間にある自然数aの個数を求める式が、先程と少し変わっています。
先程の問題では、
大きな値－小さな値＝その間の整数の個数
でしたが、この問題では
大きな値－小さな値＋１＝その間の整数の個数
という式でなければなりません。

坂田先生
この式の作り方は、具体的な数値を使って、検証してみるといいです。
たとえば
2≦a≦5
を満たす自然数aの個数は2,3,4,5の4個ですが
単純に
5-2と計算しても3となってしまいます。
なので
5-2+1をすればよいことに気が付けばいい、ということです。

坂田先生
先程の問題で、『具体的な数値を使って、ｎの個数を求める式を考えるのがオススメです』と言ったのは、このことです。
5. 自然数a、b、cが次の条件を満たすとき、cの値を求めよ。

   a×b×c=108
   bは \(2\sqrt{10}\) の整数部分
   \(\sqrt{17}＜a＜\sqrt{65}\)

解説
答え：3３つの条件からcを特定していく問題です。一つひとつの条件は基本的な内容ですが、ac=18まで特定できたところで、aの範囲を利用するという所が難しいかもしれません。高校入試問題で出題されうる、平方根の大小関係を利用したやや難問と言えるでしょう。
6. a、b、cは自然数とする。 \(1≦b≦20\) 、 \(\sqrt{ab}=c\sqrt{a}\) が成り立つとき、考えられるcの値をすべて求めよ。
解説
答え：1,2,3,4



坂田先生
ここで \(b=c^{2}\) を満たし、なおかつbもcも自然数となるbとcの組み合わせを考えます。

にゃんこ
またbの範囲は、1≦b≦20であることにも注意してください。


坂田先生
たとえばbが4のとき、c＝2で \(b=c^{2}\) が成立する、ということです。

にゃんこ
なんで両辺をaで割る際、a＞0なので、と書いてあるのですか？

坂田先生
『a＞0なので』とはつまり『aは0ではありませんよ。つまり両辺を0で割るという操作ではありませんよ。』ということを示しておく必要があるからです。
7. \(\sqrt{24n}\)は整数とする。 \(\sqrt{24n}＜120\)を満たす最大の自然数nを求めよ。
解説
答え：486


坂田先生
まず、２通りの方法を使って、ｎについての条件を絞り込んでいき、最後にその条件をあわせてnを求めます。

～解き方の流れ～
平方根の大小関係からnの範囲を絞りこみ、\(\sqrt{24n}\)が整数となる条件から、nに含まれる素因数などを絞り込んで検討します。