平方根の近似値の問題の解き方をわかりやすく解説｜２つの近似値からの選び方

坂田先生

平方根の近似値の問題で、このようなパターンの解き方がわからないで苦手とする方は多いと思います。（特に小数のある問題）

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\(\sqrt{15}=3.873\) 、\(\sqrt{1.5}=1.225\)として、次の値を求めなさい。
(1) \(\sqrt{150}\)
(2) \(\sqrt{1500}\)
(3) \(\sqrt{15000}\)
(4) \(\sqrt{0.015}\)
(5) \(\sqrt{0.0015}\)

坂田先生

そして、解説の部分に、こんな説明が添えられてあったりします。

にゃんこ

はい。意味がわからないです。解説をお願いします。

坂田先生

２つのルートの値が問題文にあって、どちらの近似値を選んで計算したらいいのか迷う問題です。

にゃんこ

このページでは、このパターン（特に小数のある平方根の近似値の問題）の解き方をわかりやすく解説します。

このページの内容

小数がある平方根の近似値の問題｜２つの近似値から１つを選ぶパターン
平方根の近似値の問題での変形のコツ(←メインの部分)
仕上げ用の練習問題

小数がある平方根の近似値の問題｜２つの近似値から１つを選ぶパターン

にゃんこ

まず、問題と解説を見てください。

坂田先生

最初は意味がわからなくて大丈夫です。くわしく丁寧に、解説を解説していきます。

平方根の近似値の問題

\(\sqrt{5}=2.236\) 、\(\sqrt{50}=7.071\)として、次の値を求めなさい。

(1) \(\sqrt{500}\)
(2) \(\sqrt{5000}\)
(3) \(\sqrt{50000}\)
(4) \(\sqrt{500000}\)
(5) \(\sqrt{0.5}\)
(6) \(\sqrt{0.05}\)
(7) \(\sqrt{0.005}\)
(8) \(\sqrt{0.0005}\)

(1)～(4)の解説(開く)

(5)～(8)の解説(開く)

にゃんこ

たしかに【解説】にあるように変形すれば、近似値を求められるということはわかります。でも、その変形に気が付くのが難しいですよね。

坂田先生

それをこれから解説していきます。

(1)～(4)の解き方の流れ

\(\sqrt{5}=2.236\) 、\(\sqrt{50}=7.071\)として、次の値を求めなさい。
(1) \(\sqrt{500}\)
(2) \(\sqrt{5000}\)
(3) \(\sqrt{50000}\)
(4) \(\sqrt{500000}\)

このような問題の場合、与えられた２つの式
\(\sqrt{5}=2.236\)
\(\sqrt{50}=7.071\)
のどちらを使えばいいのか、よくわからなくなる方も多いと思います。

最初の考え方としては、まず式を変形して、 \(\sqrt{100}\) または \(\sqrt{10000}\)のかたちを取り出せないかと考えます。

なぜなら \(\sqrt{100}=10\) であるし\(\sqrt{10000}=1000\) となって、平方根がはずれてくれるからです。

逆に、\(\sqrt{1000}\)や\(\sqrt{100000}\)では平方根がはずれてくれないので、この形を取り出してしまうような変形はNGです。

そのようにして考えると、(1)、(2)の問題を２通りに変形できるということがわかります。

そのうち、平方根がはずれる変形の仕方は一方しかないので、そちらの変形が正解ということになります。

(3)、(4)も同じことです。

とりあえず解き方の流れは以上です。

この変形に気が付く方法がありますので、ひき続きご覧ください。

(5)～(8)の解き方の流れ

坂田先生

つぎに根号のなかに小数が登場する問題です。

\(\sqrt{5}=2.236\) 、\(\sqrt{50}=7.071\)として、次の値を求めなさい。
(5) \(\sqrt{0.5}\)
(6) \(\sqrt{0.05}\)
(7) \(\sqrt{0.005}\)
(8) \(\sqrt{0.0005}\)

平方根の近似値の問題でややこしいのは、この小数が登場するパターンです。

こちらも先程と同様、変形によって、次のかたちを取り出せないかと考えます。
小数のある平方根

０の数がややこしい場合は『０の数が２個や４個のように偶数個あったら、平方根がはずれる』と覚えておいてもいいでしょう。

\(\sqrt{0.01}\)は０の数が２個あり、\(\sqrt{0.0001}\) は０の数が４個あるので平方根がはずれる、という具合です。

小数のかたちの問題でも、(1)(2)のように２通りの変形ができます。

一方では平方根がはずれて、一方でははずれないということになります。

(5)(6)は\(\sqrt{0.01}\)の形を取り出して平方根をはずす問題でした。

つづいて(7)(8)は\(\sqrt{0.0001}\)の形を取り出して平方根をはずします。

ただ、そもそもこの変形ができないし、わからないという場合もあると思います。

なので、次は『変形のコツ』について解説します。

平方根の近似値の問題での変形のコツ

ざっと問題と解き方の流れの意味が理解できたところで、ここから本題に入ります。

『変形のコツ』です。

この問題で説明します。

平方根の近似値の問題

\(\sqrt{15}=3.873\) 、\(\sqrt{1.5}=1.225\)として、次の値を求めなさい。
(1) \(\sqrt{150}\)
(2) \(\sqrt{1500}\)
(3) \(\sqrt{15000}\)
(4) \(\sqrt{0.015}\)
(5) \(\sqrt{0.0015}\)

(1)を見てください。

先程までに説明していた方法で解くとこうなります。

このなかの『根号のなかでは100倍』のところを見てください。

\(\sqrt{1.5}\) を \(\sqrt{100}\) 倍する計算は、根号のなかだけを見ると

\(1.5\times 100\) というように100倍の計算になっています。

\(\sqrt{100}\) 倍は、根号をとると10倍のことです。

『根号をとると10倍』のところを見ると、 \(\sqrt{1.5}\) の近似値である1.225を10倍しています。

ルートのなかでは100倍の計算
なのが
ルートなしの形だと10倍の計算

まず、このことを納得しておいてください。

これを見てください。

よく、教科書やワークなどの説明のところに、こんなものがあったりします。

これってわかりにくいですよね。（わかるようなわからないような。）

過程の説明が抜けているんですね。

過程まで説明するとこうなります。

小数点を打ちます。
150は整数だったので小数点を書いておく必要はありませんでしたが、本来小数点があるはずの位置である１の位の右下に小数点を打ちます。
２桁左に点を小数点を打ちます。
先程打った小数点よりも２桁左に小数点を移動させます。

すると、１と５の間に点が移動して1.5という形が表れました。

『左へ2桁点を移動させる操作』は『100分の1にする操作』と同じことです。

『100分の1にする操作』をして1.5という形が表れたということは、逆に言えば1.5を100倍すると、もとの小数点の位置にもどって150にもどるということです。

つまり150は1.5×100に変形できるということがわかったということです。

さらにこれは、根号のなかの話なので、正確には\(\sqrt{150}\) は \(\sqrt{1.5\times 100}\) に変形できるということがわかったということです。
\(\sqrt{150}\) ＝ \(\sqrt{1.5}\times \sqrt{100}\) に変形する。
\(\sqrt{150}\)のところに書き込んである黒や赤の小数点は、根号の中の1.5を100倍すると150になるという説明のためのものです。
\(\sqrt{150}\) ＝ \(\sqrt{1.5}\times \sqrt{100}\)に変形できたら、あとは、\(\sqrt{1.5}=1.225\)、\(\sqrt{100}=10\)なので計算して完了です。