2次方程式の難問ページを追加しました

平方根の近似値の問題の解き方をわかりやすく解説|2つの近似値からの選び方

坂田先生
平方根の近似値の問題で、このようなパターンの解き方がわからないで苦手とする方は多いと思います。(特に小数のある問題)
\(\sqrt{15}=3.873\) 、\(\sqrt{1.5}=1.225\)として、次の値を求めなさい。
(1) \(\sqrt{150}\)
(2) \(\sqrt{1500}\)
(3) \(\sqrt{15000}\)
(4) \(\sqrt{0.015}\)
(5) \(\sqrt{0.0015}\)

坂田先生
そして、解説の部分に、こんな説明が添えられてあったりします。
平方根の近似値の問題1解説4
小数のある平方根の近似値のシンプルな説明修正版
にゃんこ
はい。意味がわからないです。解説をお願いします。
坂田先生
2つのルートの値が問題文にあって、どちらの近似値を選んで計算したらいいのか迷う問題です。
にゃんこ
このページでは、このパターン(特に小数のある平方根の近似値の問題)の解き方をわかりやすく解説します。
このページの内容
  1. 小数がある平方根の近似値の問題|2つの近似値から1つを選ぶパターン
  2. 平方根の近似値の問題での変形のコツ(←メインの部分)
  3. 仕上げ用の練習問題
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小数がある平方根の近似値の問題|2つの近似値から1つを選ぶパターン

にゃんこ
まず、問題と解説を見てください。
坂田先生
最初は意味がわからなくて大丈夫です。くわしく丁寧に、解説を解説していきます。
平方根の近似値の問題

\(\sqrt{5}=2.236\) 、\(\sqrt{50}=7.071\)として、次の値を求めなさい。

(1) \(\sqrt{500}\)
(2) \(\sqrt{5000}\)
(3) \(\sqrt{50000}\)
(4) \(\sqrt{500000}\)
(5) \(\sqrt{0.5}\)
(6) \(\sqrt{0.05}\)
(7) \(\sqrt{0.005}\)
(8) \(\sqrt{0.0005}\)

平方根の近似値の問題の解説
小数のある平方根の近似値の解説
にゃんこ
たしかに【解説】にあるように変形すれば、近似値を求められるということはわかります。でも、その変形に気が付くのが難しいですよね。
坂田先生
それをこれから解説していきます。

(1)~(4)の解き方の流れ

\(\sqrt{5}=2.236\) 、\(\sqrt{50}=7.071\)として、次の値を求めなさい。
(1) \(\sqrt{500}\)
(2) \(\sqrt{5000}\)
(3) \(\sqrt{50000}\)
(4) \(\sqrt{500000}\)
このような問題の場合、与えられた2つの式
\(\sqrt{5}=2.236\)
\(\sqrt{50}=7.071\)
のどちらを使えばいいのか、よくわからなくなる方も多いと思います。

最初の考え方としては、まず式を変形して、 \(\sqrt{100}\) または \(\sqrt{10000}\)のかたちを取り出せないかと考えます。

根号がはずせる場合とそうでない場合

なぜなら \(\sqrt{100}=10\) であるし\(\sqrt{10000}=1000\) となって、平方根がはずれてくれるからです。

逆に、\(\sqrt{1000}\)や\(\sqrt{100000}\)では平方根がはずれてくれないので、この形を取り出してしまうような変形はNGです。

そのようにして考えると、(1)、(2)の問題を2通りに変形できるということがわかります。

ルート500とルート5000

そのうち、平方根がはずれる変形の仕方は一方しかないので、そちらの変形が正解ということになります。

(3)、(4)も同じことです。

ルート5万とルート50万

とりあえず解き方の流れは以上です。

この変形に気が付く方法がありますので、ひき続きご覧ください。

(5)~(8)の解き方の流れ

坂田先生
つぎに根号のなかに小数が登場する問題です。
\(\sqrt{5}=2.236\) 、\(\sqrt{50}=7.071\)として、次の値を求めなさい。
(5) \(\sqrt{0.5}\)
(6) \(\sqrt{0.05}\)
(7) \(\sqrt{0.005}\)
(8) \(\sqrt{0.0005}\)
平方根の近似値の問題でややこしいのは、この小数が登場するパターンです。

こちらも先程と同様、変形によって、次のかたちを取り出せないかと考えます。
小数のある平方根

0の数がややこしい場合は『0の数が2個や4個のように偶数個あったら、平方根がはずれる』と覚えておいてもいいでしょう。

\(\sqrt{0.01}\)は0の数が2個あり、\(\sqrt{0.0001}\) は0の数が4個あるので平方根がはずれる、という具合です。

小数のかたちの問題でも、(1)(2)のように2通りの変形ができます。

一方では平方根がはずれて、一方でははずれないということになります。

小数のある平方根の近似値の解説5と6

(5)(6)は\(\sqrt{0.01}\)の形を取り出して平方根をはずす問題でした。

つづいて(7)(8)は\(\sqrt{0.0001}\)の形を取り出して平方根をはずします。

小数のある平方根の近似値の解説7と8

ただ、そもそもこの変形ができないし、わからないという場合もあると思います。

なので、次は『変形のコツ』について解説します。

平方根の近似値の問題での変形のコツ

ざっと問題と解き方の流れの意味が理解できたところで、ここから本題に入ります。

『変形のコツ』です。

この問題で説明します。

平方根の近似値の問題
\(\sqrt{15}=3.873\) 、\(\sqrt{1.5}=1.225\)として、次の値を求めなさい。
(1) \(\sqrt{150}\)
(2) \(\sqrt{1500}\)
(3) \(\sqrt{15000}\)
(4) \(\sqrt{0.015}\)
(5) \(\sqrt{0.0015}\)
(1)を見てください。

先程までに説明していた方法で解くとこうなります。

平方根の近似値の問題1解説

このなかの『根号のなかでは100倍』のところを見てください。

\(\sqrt{1.5}\) を \(\sqrt{100}\) 倍する計算は、根号のなかだけを見ると

\(1.5\times 100\) というように100倍の計算になっています。

\(\sqrt{100}\) 倍は、根号をとると10倍のことです。

『根号をとると10倍』のところを見ると、 \(\sqrt{1.5}\) の近似値である1.225を10倍しています。

ルートのなかでは100倍の計算
なのが
ルートなしの形だと10倍の計算

まず、このことを納得しておいてください。

これを見てください。

よく、教科書やワークなどの説明のところに、こんなものがあったりします。

平方根の近似値の問題1解説4

これってわかりにくいですよね。(わかるようなわからないような。)

過程の説明が抜けているんですね。

過程まで説明するとこうなります。

平方根の近似値の問題1解説2
  1. 小数点を打ちます。
    150は整数だったので小数点を書いておく必要はありませんでしたが、本来小数点があるはずの位置である1の位の右下に小数点を打ちます。
  2. 2桁左に点を小数点を打ちます。
    先程打った小数点よりも2桁左に小数点を移動させます。

    すると、1と5の間に点が移動して1.5という形が表れました。

    『左へ2桁点を移動させる操作』は『100分の1にする操作』と同じことです。

    『100分の1にする操作』をして1.5という形が表れたということは、逆に言えば1.5を100倍すると、もとの小数点の位置にもどって150にもどるということです。

    つまり150は1.5×100に変形できるということがわかったということです。

    さらにこれは、根号のなかの話なので、正確には\(\sqrt{150}\) は \(\sqrt{1.5\times 100}\) に変形できるということがわかったということです。

  3. \(\sqrt{150}\) = \(\sqrt{1.5}\times \sqrt{100}\) に変形する。
    平方根の近似値の問題1解説2\(\sqrt{150}\)のところに書き込んである黒や赤の小数点は、根号の中の1.5を100倍すると150になるという説明のためのものです。
    \(\sqrt{150}\) = \(\sqrt{1.5}\times \sqrt{100}\)に変形できたら、あとは、\(\sqrt{1.5}=1.225\)、\(\sqrt{100}=10\)なので計算して完了です。
 
と、ここまでの説明が理解できたところでこちらをもう一度見てください。
平方根の近似値の問題1解説4

③のところの『最初と最後の部分』を取り出してつなげた式になっています。

この短い説明が言いたかったことはこうです。

平方根の近似値の問題1解説4\(\sqrt{150}\) は \(\sqrt{1.5}\times \sqrt{100}\)ですよ。

\(\sqrt{1.5}\)を\(\sqrt{100}\)倍すると\(\sqrt{150}\) になりますよ。

\(\sqrt{100}\)倍するということは、根号のなかの計算では100倍するということですよ。つまり2桁分の点の移動をするということですよ。

\(\sqrt{100}\)は10なので、\(\sqrt{100}\)倍は(その根号をはずして計算するなら)10倍するということですよ。

\(\sqrt{150}\) は \(\sqrt{1.5}\)の\(\sqrt{100}\)倍でしたよね。

\(\sqrt{1.5}\)は1.225

\(\sqrt{100}\)は10

なので、

\(\sqrt{150}\) は1.225×10ですよね。

平方根の近似値の問題1解説4つまり
平方根のなかをみると1.5を100倍すれば150になるので

根号をとった状態では1.225(\(\sqrt{1.5}\))を10倍(\(\sqrt{100}\)倍)すればいいのですよ。

坂田先生
とまあ、こんな具合です。
にゃんこ
つまり、この問題を解く手順はこのようになります。
\(\sqrt{15}=3.873\) 、\(\sqrt{1.5}=1.225\)として、次の値を求めなさい。

(1) \(\sqrt{150}\)
平方根の近似値の問題解説3の修正版

(2) \(\sqrt{1500}\)
平方根の近似値の問題2のわかりやすい解説
(3) \(\sqrt{15000}\)
ルート15000の解説2

にゃんこ
つづいてこの小数が登場する問題の変形のコツを詳しく解説していきます。(とりあえず、ざっと解き方を掲載)
(4) \(\sqrt{0.015}\)
0015の近似値の解説修正版
(5) \(\sqrt{0.0015}\)
小数のある平方根の近似値の問題2のわかりやすい解説
坂田先生
ここの手順を見ながら実際に手を動かして慣れるのが、一番オススメの練習方法です。

変形のコツ|小数が登場する場合

坂田先生
小数が登場する場合の変形のコツを説明をします。

(4) \(\sqrt{0.015}\)
0015の近似値の解説修正版

これもまた、教科書などにこのような説明図がかかれていることが多いです。

小数のある平方根の近似値のシンプルな説明修正版

さきほどと同じ手順を踏んでゆくので、イメージもしやすいかと思います。

これは、\(\sqrt{0.015}\)の根号のなかの計算だけで見れば0.015は1.5×0.01ということがわかります。

つまり、\(\sqrt{0.015}\)は\(\sqrt{1.5}\)×\(\sqrt{0.01}\)ということなので

\(\sqrt{1.5}\)=1.225

\(\sqrt{0.01}\)=0.1

というように根号をとった計算になおすと

\(\sqrt{0.015}\)=1.225×0.1となり

0.1225となります。

にゃんこ
つまりこれは。
小数のある平方根の近似値のシンプルな説明修正版根号の中の計算では0.01倍だったのが、平方根なしの計算で見たときに0.1倍の計算だよね。
坂田先生
を説明したもの、ということです。
にゃんこ
繰り返しますが、小数が登場する平方根の近似値の問題の場合は、次のような形をとりだせないかと考えます。
小数のある平方根

さっきの解説を見てみましょう。
②のところで、2桁小数点を右に動かして、何と何の掛け算に分解できるか見つけています。
(4) \(\sqrt{0.015}\)
0015の近似値の解説修正版

この問題では、2桁小数点を右に動かすだけでは、\(\sqrt{1.5}\)や\(\sqrt{15}\)の掛け算のかたちに分解できなかったので、さらに2桁右に動かしています。
(5) \(\sqrt{0.0015}\)
小数のある平方根の近似値の問題2のわかりやすい解説

にゃんこ
一番最初に見てもらった問題でも、同じように解いてゆくことができます。
\(\sqrt{5}=2.236\) 、\(\sqrt{50}=7.071\)として、次の値を求めなさい。
(5) \(\sqrt{0.5}\)
坂田先生
一番変形のややこしそうな、(5)だけ紹介しておきます。
05のていねいな解説

仕上げ用の練習問題

さいごに練習問題です。

解き方は、これまで説明した通りです。

平方根の近似値の問題

\(\sqrt{11}=3.317\) 、\(\sqrt{110}=10.448\) として、次の値を求めなさい。

(1)\(\sqrt{11000}\)

(2)\(\sqrt{0.11}\)

(3)\(\sqrt{1.1}\)

(1)の解説
11000の平方根の近似値の解説

(2)の解説
小数011の平方根の近似値

(3)の解説
小数11の平方根の近似値の解説

坂田先生
問題は以上です。
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にゃんこ
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