平方根の小数部分と整数部分の問題｜難易度別に解説

\(\sqrt{20}\) の小数部分を \(x\) とするとき、\(\left( x+1\right) \left( x+7\right)\)の値を求めよ。

解説

答え：11
ルート２０の整数部分を求めてから、小数部分を求めます。

そのあと、求める値を計算します。

\(\sqrt{10}\) の小数部分を \(x\) とするとき、\(x\left( x+6\right) \) の値を求めよ。

解説

答え：1
これも先程と同じパターンの問題です。

ルート１０の整数部分を求めてから、小数部分を求めます。

そのあと、求める値を計算します。

\(\sqrt{2}\) の小数部分を \(a\) とし、\(\sqrt{8}\) の小数部分を \(b\) とする。このとき\(\dfrac{b}{a}\) の値を求めよ。

解説

答え：2
\(\sqrt{2}\) と\(\sqrt{8}\) について、それぞれの整数部分を求めてから、小数部分を求めます。

bは2aということがわかりましたので、そのまま代入して、答えは２となります。

\(\sqrt{3}+2\) の整数部分をa、小数部分をbとするとき、 \(b^{2}+\dfrac{2}{3}ab\) の値を求めよ。

解説

答え：2
まずは \(\sqrt{3}\) の整数部分が１であることを調べ、そこから\(\sqrt{3}+2\) の整数部分aが３であることを求めます。
（法政大学高校）

\(4-\sqrt{7}\) の小数部分を\(x\) とするとき、\(x\left( x-6\right) \) の値を求めよ。

解説

答え：-2

\(\sqrt{2016}\) の整数部分を求めよ。また、\(\sqrt{2016}\)の小数部分を \(x\) とするとき、\(x^{3}+89x^{2}+8x\)の値を求めよ。

解説

答え：整数部分は44、\(x^{3}+89x^{2}+8x\) の値は80

これで整数部分が平方根の記号が付いた値の整数部分が求まりました。

つまり、小数部分は \(\sqrt{2016}-44\) ということになります。

ここからは、この平方根の小数部分についての計算式を、工夫して解く方法をご紹介します。

このように、３乗の式があるような複雑な問題の場合は、値を代入していって、徐々に係数を下げていく方法が有効な場合があります。

（星光学院高校）

\(a\) は２桁の素数とし、\(\sqrt{a}\) の整数部分をnとする。\(\dfrac{1}{\sqrt{a}-n}=\sqrt{a}+n\) が成り立つとき、aの値を求めよ。

解説

答え：17,37

（西大和学園高校）

\(\left( \sqrt{3}+\sqrt{5}\right) ^{2}\) の小数部分をxとするとき、\(x^{2}+14x\)の値を求めよ。

解説

答え：11

（慶應義塾志木高校）

既約分数 \(\dfrac{b}{a}\) がある。 \(a+b=1234\) であり、この分数の平方根の小数部分を切り捨てると10になる。この分数を求めよ。

解説

答え：11

坂田先生

既約分数とは、これ以上約分できない分数のことを言います。

にゃんこ

例えば \(\dfrac{10}{8}\) はまだ約分できるので既約分数とは言いません。

既約分数 \(\dfrac{b}{a}\)の平方根 \(\sqrt{\dfrac{b}{a}}\) の小数部分を切り捨てた値、すなはち整数部分が10になるということなので

\(10\leqq \sqrt{\dfrac{b}{a}} <11\)

坂田先生

ここから以下のように範囲を絞り込んでいきます。

このうち、\(\dfrac{b}{a}\)が既約分数になるのはa=11のみ。
（慶應義塾志木高校）