【特集】円周角の定理の難問

等積変形をグラフで応用し座標平面上の三角形の面積を求める手順

等積変形を利用したグラフの三角形

にゃんこ
このページでは、中学数学で学習する等積変形を利用して、座標平面上にある三角形の面積を求める手順とその考え方をマスターできます。
このページの内容
  1. 等積変形を応用し座標平面上の三角形の面積を求める手順
  2. 等積変形をグラフ上で利用するバリエーションの練習問題
  3. 練習問題&解き方のまとめプリント
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問題

次の△ABCの面積を求めよ。
等積変形を利用して座標平面上の三角形の面積を求めよ

にゃんこ
このように問題が出された場合、解き方は主に次の4通りあります。
座標平面上の三角形の面積の求め方4通り
    坂田先生
    解きやすさによる優先順位は1番が最もおすすめで、それができない問題の場合、2番または3番を試すことをおすすめします。
  1. 2つの三角形に分解してそれぞれの面積を求める
  2. 等積変形によって三角形の形を変化させてから面積を求める

    参考:平行線の補助線で解く放物線の応用問題

  3. 三角形が内接する長方形の面積を求めてから不要な部分を引き算する
  4. 公式を使う(最終手段)
    参考:3点の座標から三角形の面積を求める公式
にゃんこ
面積比や等積変形についてまとめて理解したい方はこちら↓
参考:様々な面積比の求め方の違い|相似比・角の二等分線など
坂田先生
ここでは2番の『等積変形を利用した三角形の面積の求め方』の手順と考え方について練習してきます。

等積変形を応用し座標平面上の三角形の面積を求める手順

先程の問題を等積変形の考え方を使って解いていきます。

問題

等積変形を利用し、△ABCの面積を求めよ。
等積変形を利用して座標平面上の三角形の面積を求めよ

坂田先生
解き方の流れを一言で説明すると、こうです。
解き方の流れ

△ABCを上半分と下半分に分け、上半分だけを等積変形によって頂点Cを平行移動させる。(まだ意味が分からなくても大丈夫です)

まず、下準備として三角形を上下に2つ分けます。

下準備
△ABCを線分APにより、上半分の三角形と下半分の三角形に分ける。
この図解を見てください。
等積変形を利用した三角形の面積手順1

三角形を上下に分けたら、次に、点Pの座標を求めることを考えます。

そのために、手順1、手順2と進めます。

手順1:直線BCの式を求める
点Bと点Cの座標がわかっているので、それを利用し、直線BCの式を求めます。
手順2:点Pの座標を求める

直線BCの式を利用します。

点Pが直線BC上にあることと、点Aと点Pのy座標が等しいことを利用します。

直線BCの式に、点Aのy座標であるy=5を代入します。

これにより、直線BC上にあってy座標が5である点Pのx座標を求める方程式を作ったことになります。

これを解いてx=8となり、点Pの座標は(8,5)だと判明します。

手順3:点Cを平行移動し、そのx座標を点Bに合わせる。移動後の点C´の座標を求める
等積変形を利用した三角形の面積手順3図のように点Cを平行移動し、点Bのx座標に合わせます。

点Bのx座標は6なので、移動後の点C´の座標は(6,9)となります。

△APCの面積と、△APC´の面積は底辺APの長さが同じで高さも同じなので、面積は等しいということになります。(この部分に等積変形の考え方を使っています)

このことにより、△ABCの面積と、四角形ABPC´の面積は同じだとわかります。

つまり、四角形ABPC´の面積を求めると、それがそのまま△ABCの面積だということです。

手手順4:四角形ABPC´の面積を求める

等積変形を利用した三角形の面積の手順4図のように、四角形ABPC´の対角線の長さをそれぞれ「たて」と「よこ」とし、その長さを求めます。

たてが8
よこが6

これをかけた48が、図のように四角形ABPCが内接するような四角形の面積であるということがわかりました。

この半分である24が求める四角形ABPC´の面積なので、これが答えとなります。

解き方の手順まとめ
手順1:直線BCの式を求める
手順2:点Pの座標を求める
等積変形を利用した三角形の面積手順1手順3:点Cを平行移動し、そのx座標を点Bに合わせる。移動後の点C´の座標を求める。
等積変形を利用した三角形の面積手順3手順4:四角形ABPC´の面積を求める。
等積変形を利用した三角形の面積の手順4
にゃんこ
解き方の手順をまとめたプリントもあります。(最後をチェック)
坂田先生
等積変形の考え方を利用すると、ここまで説明した解き方のほかに、次のようなバリエーションがあります。
三角形を上下に分ける場合の別解
三角形を上下に分ける場合、主にこの他3パターンが考えられます。
グラフ上の三角形と等積変形4(もちろんずらし方は無限に存在しますが、計算しやすい代表的な例をあげています)
三角形を左右に分ける場合の別解
左右に分ける場合もあり、それがこの3パターンです。
グラフ上の三角形と等積変形3
にゃんこ
確かに内容は理解はできたけど、慣れないと使いこなせるかどうか難しそうです‥という方は次をご覧ください、
坂田先生
次は、このような変形をスラスラできるようにするための練習方法を紹介します。
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等積変形をグラフ上で利用するバリエーションの練習問題

坂田先生
等積変形を自由自在に使いこなして、グラフ上の三角形を変形させる練習方法を紹介します。
グラフ上の等積変形の練習問題1
まずは、このような図をラフでいいので書いてください。(※専用プリントもあります。最後をご覧ください。)
等積変形のグラフ練習問題1これをこのように3パターン変形させる練習をしてください。
グラフ上の三角形と等積変形1

次にこちらのパターンを練習します。

グラフ上の等積変形の練習問題2
等積変形のグラフ練習問題2
グラフ上の三角形と等積変形2

ここまでの2パターンが変形しやすい問題でした。

まずはこの2パターンに慣れましょう。

グラフ上の等積変形の練習問題3
では、ここからが最初に登場したレベルの等積変形による操作です。(まずは上下に分けるパターン)
等積変形のグラフ練習問題4
グラフ上の三角形と等積変形4

つづいて左右に分けるパターンです。

グラフ上の等積変形の練習問題4
等積変形のグラフ練習問題3
グラフ上の三角形と等積変形3
にゃんこ
以上の練習をして、スラスラ変形できるようにしておくと、この類の問題を解く基本の土台となります。

練習問題&解き方のまとめプリント

坂田先生
このページで学習した、グラフ上にある三角形を等積変形で操作する練習のまとめプリントです。
にゃんこ
必要な方はダウンロードして活用してください。
プリントの内容
坂田先生
この3種類あります。
等積変形グラフ編3枚1:等積変形の練習用プリント(練習したい分をコピーして使ってください)

2:等積変形の解答プリント

3:等積変形を利用し座標平面上の三角形を求める手順まとめプリント

にゃんこ
この3種類をプリントアウトして使いたい方はこちら
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