様々な面積比の求め方の違い|相似比・角の二等分線などパターン別に解説

面積比

にゃんこ
ここでは面積比について中学数学で学習する全パターンをまとめて解説しています。
坂田先生
相似比角の二等分線を学習して頭の中がごちゃごちゃしてきた方はゼヒともご覧ください。
このページの内容
  1. 面積比の求め方|底辺または高さのどちらかが違う図形の場合
  2. 平行線と三角形の面積比
  3. 三角形の面積を二等分する直線の方程式
  4. 角の二等分線と面積比
  5. 相似比を使った面積比の求め方
  6. 3つの三角形の面積比の問題
  7. 座標平面上の三角形の面積比を扱うテクニック
  8. 【復習用】平行四辺形における面積比の問題

面積比の求め方|底辺または高さのどちらかが違う図形の場合

底辺が等しく高さの比が違う場合

高さの比が違う図形の面積比底辺の長さが等しい場合、2つの図形の面積比は高さの比と同じになります。

高さが等しく底辺の長さの比が違う場合

底辺の長さが違う図形の面積比高さが等しい2つの図形の場合、面積比は底辺の長さの比と同じになります。

坂田先生
たとえばこのように、円の直径と半径で同じ考え方を使い、面積比を考えることができます。
円と三角形の面積比直径と半径とそれぞれ底辺としている三角形を比べた場合、2つとも高さが等しいので、その面積比は底辺の長さの比になります。
坂田先生
つづいて平行線で見た場合も、同じ考え方を使うことができます。

平行線と三角形の面積比

にゃんこ
平行線や平行四辺形とともに三角形が登場し、その面積比を求める問題はよく出題されます。
平行線で比べる三角形の面積比
坂田先生
このように、平行線上に三角形があると、上の図の場合、三角形の高さが等しいので、底辺の長さの比がそのまま三角形の面積比になります。

三角形の面積を二等分する直線の方程式

坂田先生
このテーマもまた、高さが等しい場合、底辺の長さの比が三角形の面積比と等しくなる、という考え方を使っています。
問題
座標平面上に
点A(10,6)
点B(-5,3)
点C(4,-11)

がある。
この3点を頂点とする三角形の面積を2等分する直線の方程式を求めよ。
にゃんこ
などという問題があった場合、答えとしては3本の直線があり、次のように考えます。
点Aを通り△ABCの面積を二等分する直線

三角形の面積を2等分する直線の方程式1
点Aと線分BCの中点を通る直線の方程式を求めればOKです。

線分BCの中点のx座標
点Bのx座標と点Cのx座標の平均

線分BCの中点のy座標
点Bのy座標と点Cのy座標の平均

となります。

にゃんこ
このように考え、残りの2本の直線は以下のように考え、求めます。
点Bを通り△ABCの面積を二等分する直線

三角形の面積を2等分する直線の方程式2

点Cを通り△ABCの面積を二等分する直線

三角形の面積を2等分する直線の方程式3

角の二等分線と面積比

にゃんこ
角の二等分線と面積比のパターンです。
角の二等分線と面積比

次の図は線分ADが∠BACを二等分しています。
角の二等分線と面積比
このような場合
線分AB:線分ACの長さの比が3:2なので
線分BDと線分CDの長さの比が3:2となります。(比が同じになる)
したがって
△ABDとACDの面積比は(高さが等しく底辺の長さの比が3:2なので)3:2となります。

問題:上の説明図において、△ABC:△ADCを求めよ。

5:2

相似比を使った面積比の求め方

坂田先生
次は、相似比から面積比を求める場合です。
にゃんこ
相似比を2乗すると面積比になる、というように教わりますが、その理由は以下の図を見るとわかりやすいでしょう。
相似比が1:3の場合の面積比

相似比と面積比の関係の図解1対3

にゃんこ
それぞれのタイルの枚数を数えるとちょうど面積比になっていますね。
坂田先生
続いて相似比が2:3の場合も見てみましょう。
相似比が2:3の場合の面積比

相似比と面積比の関係の図解2対3これも先程と同様、相似比を2乗すると面積比(タイルの数の比)となっています。

3つの三角形の面積比の問題

坂田先生
続いて、次の問題のように『3つの面積を2つずつ比で表された場合』の対処方法を解説します。
問題

3つの三角形A、B、Cがあり、その面積比は
A:B=2:3
B:C=1:2

である。
三角形Aと三角形Cの面積比を求めよ。三つの三角形の面積比の問題

答え:1:3三つの三角形の面積比の解説A:C=2:6=1:3
坂田先生
このように、比を統一することでAとCの面積比を求めることができます。
にゃんこ
こちらのパターンも見てみましょう。
問題

3つの三角形A、B、Cがあり、その面積比は
A:B=2:3
B:C=4:5

である。
三角形Aと三角形Cの面積比を求めよ。三つの三角形の面積比の問題2

答え:8:15三つの三角形の面積比の解説2
~ポイント~
解説にあったように、Bについての面積比を3と4の最小公倍数12として考えると3つの三角形の面積比を比べることができます。

座標平面上の三角形の面積比を扱うテクニック

平行線で同じ面積の三角形を作り出す

次のように平行線を利用し、三角形の面積を同じままに頂点だけを平行移動すると、面積が同じまま、別の三角形を書くことができます。
平行線で三角形の頂点を移動させる説明図
これを利用すると、次のように、四角形を「面積を変えることなく」三角形に変形することができます。
平行移動で同じ面積を作り出す説明図

にゃんこ
よって、次のように、座標平面上に3点A,B,Cがあった場合、四角形AOBCについて、2通りの方法で面積を求めることができます。
座標平面上の三角形の面積を工夫して求める方法の解説
坂田先生
さらにこのテクニックを利用すると、次のような面積比の問題もスムーズに解くことができます。
座標平面上の三角形の面積比

座標平面上に次のような点A、B、C、Dがある。
このとき、△ABOと四角形AOBDの面積比を求めよ。
座標平面上の三角形の面積比

坂田先生
この考え方を使い、次のような応用問題を解きます。
中2でも解けます

△ABOと同じ面積の△ABDと
△ABOの2倍の面積の△ABEを考える。
点Dと点Eの座標をそれぞれ求めよ。
ただし、点D、点Eはともにy軸上にあり、
点Dのy座業は点Cのy座業よりも大きく
点Eのy座標は点Cのy座標よりも小さいものとする。
座標平面上の平行線で同じ面積の三角形を見つめる練習問題

答え:点D(0,12)、点E(0,-6)y軸上にある点Dと点Eを求める解説
にゃんこ
この結果を利用し、次の問題を解きます。
中3生用:高校入試の応用問題

点A,点Bはともに関数 \(y=\dfrac{1}{3}x^{2}\) 上にある。
△ABOと同じ面積の△ABPと
△ABOの2倍の面積の△ABQを考える。
点Pと点Qの座標をそれぞれ求めよ。
ただし、点Pのx座標は、x>6で、かつ関数 \(y=\dfrac{1}{3}x^{2}\) 上にある。
また、点Qはx座標は、x>0で、かつx軸上にあるものとする。
座標平面上の平行線で同じ面積の三角形を見つめる練習問題

答え:点P( \(\dfrac{3+3\sqrt{17}}{2}\) ,\(\dfrac{27+3\sqrt{17}}{2}\))、点Q(6,0)放物線と面積の問題の解説
~ポイント~
平行線を補助線に引くことで、三角形の面積を変えることなく求めたい三角形の形へと変形することができます。これを利用します。
1:平行な直線の方程式は傾きが等しい。
2:放物線と直線の交点の座標は連立方程式の解である。
この二つについても知っておいてください。
にゃんこ
この応用問題のパターン「放物線と平行線」を集中して練習したい方はこちらで学習してください☆
学習ページ:平行線の補助線で解く放物線の応用問題
放物線と平行線

【復習用】平行四辺形における面積比の問題

坂田先生
最後に、ここまでの内容を復習する問題を用意しました。
にゃんこ
高校入試レベルの問題となっていますので、三平方の定理をまだ学習していない中学生は、ここはとばしておいてかまいません。
平行四辺形と面積比の問題

次の図のような平行四辺形ABCDについて考える。
線分BDはこの平行四辺形の対角線であり∠ABCの角の二等分線である。
また、点Eは線分BCの中点である。
このとき
面積比△ABF:△BEF:△AFD:四角形CDFE
について求めよ。
平行四辺形と面積比の問題

答え:2:1:4:5平行四辺形と面積比の解説
~この問題で使う要素~
1:三平方の定理
2:角の二等分線
3:高さが等しく底辺の長さが1:2の三角形の面積比
4:平行四辺形の対角線BDは平行四辺形の面積を2等分する

坂田先生
三平方の定理の応用問題についてもっと学習したい場合はこちらをどうぞ☆
学習ページ:三平方の定理を使う平面図形の難問たち|中学数学~高校入試
三平方の定理を使った平面図形の難問

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