【特集】円周角の定理の難問

正六角形の対角線の長さと本数の求め方|計算方法を解説

正六角形の対角線

にゃんこ
ここでは正六角形の対角線の長さの求め方と本数の求め方をわかりやすく解説します。
このページの内容
  1. 正六角形の対角線の長さの求め方
  2. 正六角形の対角線の本数の求め方|中学生用
  3. 【別解】 \(_6 C _2-6\)の式の意味|中学生用に解説
    数Aの組み合わせによる求め方の式の意味を、Cを使わないで計算できるように、中学生にも意味がわかるように解説します。
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正六角形の対角線の種類|長い方3本と短い方6本

坂田先生
正六角形の対角線の長さには2種類あります。
正六角形の対角線9本
にゃんこ
まず、長い方の対角線はこの3本です。
正六角形の長い方の対角線3本
坂田先生
続いて、短い方の対角線は6本です。
正六角形の短い方の対角線6本
にゃんこ
このように、短い方の対角線は六芒星(ろくぼうせい)の図形として表れます。
坂田先生
正六角形の長い方の対角線と短い方の対角線の2種類を合わせると、次の図のように合計9本の対角線が表れます。
合計9本の正六角形の対角線
にゃんこ
この対角線の本数の求め方は、後半に詳しく解説します。

正六角形の対角線の長さの求め方

坂田先生
正六角形の長い方の対角線の長さと、短い方の対角線の長さについて、それぞれ求め方を解説します。

長い方の対角線の長さの計算

正六角形に長い方の対角線だけを引いた図を観察すると、その内部に正三角形が6つあることがわかります。
坂田先生
例えば一辺の長さが5の正六角形の場合だと、このようになります。
正六角形の対角線の長い方

にゃんこ
上の図のように、長い方の対角線の長さは、10となります。
坂田先生
正三角形の一辺の長さが5なので、その倍ということですね。
にゃんこ
まとめるとこうです。
問題:
一辺がaの正六角形の長い方の対角線の長さをaの式で表せ。
答:2a

短い方の対角線の長さの計算

坂田先生
正六角形の短い方の対角線はこの6本ありました。
正六角形の短い方の対角線6本
にゃんこ
この青色で書かれた対角線2本と、先程の図(正六角形の内部に正三角形が敷き詰められている図)と重ねてみます。
短い方の対角線の長さ
坂田先生
図の右上にある、正三角形を半分にした直角三角形を見てください。
にゃんこ
その直角三角形の青色の辺(青い太線部分)の長さを2倍すれば、正六角形の短い方の対角線の長さになる、ということがわかるでしょう。
坂田先生
青い太線部分の長さを求める方法は2種類あります。
青い太線部分の長さの求める方法1

1つ目は、特別な直角三角形の辺の比を利用するという方法です。

このように計算します。

正六角形の短い方の対角線の長さの半分を求める

三角定規でよく見る形、すなわち30°、60°、90°の直角三角形の形が登場した場合、その辺の長さの比は図の右側のようになります。

縦の長さはななめの長さを半分にした長さなので、ななめの長さであるaを半分にした \(\dfrac{a}{2}\) が縦の長さになります。

正六角形の短い方の対角線の長さの半分を求める

続いて縦の長さを \(\sqrt{3}\)倍した長さが、横の長さになりますので、\(\dfrac{a}{2}\)を \(\sqrt{3}\)倍した \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\) が、横の長さということになります。

これが1つ目の方法です。

青い太線部分の長さの求める方法2

2つ目の方法は、比例式を作って求める方法です。

求める青い太線部分の長さを?とおくと、特別な直角三角形(30°、60°、90°の形)の辺の長さの比と見比べて、次のように比例式を作ることができます。

正六角形の短い方の対角線の半分2

この比例式を?について解いて、?の部分の長さが\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\) だということがわかりました。

(ただし、試験で実際に使う場合は?ではなくて \(x\) などといった文字を使ってください。)

にゃんこ
文字が2種類だと、なんだか難しく見えてしまう!何をしているのかわからなくなります!
坂田先生
‥という方は、aの部分を具体的な値に置き換えて同じ計算をしてみてください。

例えばaの部分が7だったらとしたら、このような計算で青い太字部分の長さを求めますね。

一辺の長さが7の場合
にゃんこ
これだとわかります!
坂田先生
では次のように、aで計算した先程の式と並べて見比べてみてください。
比較の説明

aの場合も7の場合も同じ手順で青い太字部分の長さを求めているということがわかるかと思います。

7の場合は、青い太字部分の長さが具体的な値としてちゃんとわかります。

それに対してaの場合は、青い太字部分の長さはaを使った式でしか表すことができない、ということですね。

坂田先生
以上の2通りのうちどちらかの方法で、青い太線部分の長さをaを使った式で表すことに成功しました。
この長さを2倍する
坂田先生
この、青い太線部分の長さ(\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\))、を2倍すると、正六角形の短い方の対角線の長さが求まる、ということです。
にゃんこ
よって、\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\)を2倍して、 \(\sqrt{3}a\) ですね。
坂田先生
つまり、正六角形の1辺の長さを \(\sqrt{3}\) 倍すると、正六角形の短い方の対角線の長さになる、ということです。
問題:1辺が7の正六角形の短い方の対角線の長さを求めよ。

答: \(7\sqrt{3}\)

にゃんこ
‥と、こんな感じになります。
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正六角形の対角線の本数の求め方|中学生用

中学生の求め方1
問題:正六角形の対角線の本数を求めよ。

式: \(6\times \left( 6-3\right) \times \dfrac{1}{2}=9\)

別解: \(\dfrac{6\times 5}{2}-6=9\)←後で説明します

答:9本

坂田先生
この式の意味が理解できるように解説します。
正六角形の対角線9本

図のように、正六角形の対角線の本数は全部で9本ありました。(長い方が3本、短い方が6本)

これを場合の数の考え方によって、対角線の引き方が何通りできるか、という視点で求めてみます。

坂田先生
まず、正六角形の6つの頂点にA~Fという名前をつけます。
正六角形の図

対角線の引き方は、A~F6つの頂点のうち2つを選んで、それを結べばいいわけです。

なので、6つの頂点のうちから2つを選ぶ組み合わせは何通りあるのか、ということを考えることになります。(ただし、あとで説明しますが注意点があります。)

正六角形の対角線の最初の頂点の選び方

対角線を引き始める出発点の決め方はA~Fの6通りあります。

坂田先生
例えばここでAを選んだ場合、次に「対角線をAからどこへ向かって引くのか」というゴールの点を決める必要があります。
ゴールの点の選び方は次の3通りあります。
Aを選んだ場合

Aを選んだ場合は、ゴールの点としてAはもう選べないですね。

さらにAの両どなりにある、BやFも選べないことになります。

なぜかと言うと、例えばゴールの点としてBを選んだ場合「AとBを結ぶ線を引く」ことになります。

AとBを結ぶ線を引いたとしても、その線は正六角形の辺ABの線になりますよね。辺ABの線は対角線ではありません。

ゴールの点としてFを選んだ場合も同じように、対角線になりません。

結局ゴールの点として選べるのは、A~F6つあるうちのA、B、Fの3つを取り除いたC、D、Eの3通りしかない、ということになります。

対角線を書き始める点としてAを選んだ場合は、対角線の引き方はこの3通りということになります。

にゃんこ
このようにして数えていくのが基本的な考え方ですが、ここで大きな注意点があります。
坂田先生
ちょっとこの図を見てください。
cを選んだ場合

これは、対角線を書き始める点としてCを選んだ場合です。

この場合もゴールの点として選べるのは3通りあります。

対角線ACに注目してください。

これは、さっき対角線を書き始める点としてAを選んだ場合にカウントしたもののなかに入っていますね。

Aを選んだ場合

つまり2重に数えてしまうことになります。

この余計に数えてしまう部分をどうするか、について次の樹形図で説明します。

正六角形の対角線を選ぶ途中の樹形図

とりあえず、2重に数えてもいいから、さっきの方法で全部で何通りあるかを計算します。

18通りの計算の説明

このように、2重カウントを含めて計算すると、18通りの対角線の引き方があるという結果になりました。

では次に、2重に数えてしまっているのは18通りのうちどれだけあるのか、について見ていきます。

2重に数えていることの説明

上の表で、同じ対角線にあたるものは、同じ色で下線を引いています。

例えば、ABとBAの部分は同じ対角線ですね。

BEとEBも同じ対角線です。

このように、前後の文字を入れ替えたものはすべて2重に数えてしまっているということになります。

同じ色で下線を引いているものは、同じ対角線なので、その片方を消してみます。

ダブりを消す

そうすると、18通りあったものが、9通りだけになりました。

結局、本来の2倍数えてしまっていたということです。

18通りの計算の説明

上の計算ではダブりを含めて2倍数えていたということですね。

なので最後にそれを半分にして、計算を仕上げます。

最終的な求め方の式
中学生の求め方1
問題:正六角形の対角線の本数を求めよ。

式: \(6\times \left( 6-3\right) \times \dfrac{1}{2}=9\)

答:9本

にゃんこ
これで意味が理解できたのではないでしょうか。
考え方のまとめ
正六角形の辺6本はつくらないように頂点A~Fのどの点からどの点を選んで対角線を引くのかというパターンを6×5=30という方法で求める。

この30通りは、本来の2倍カウントしてしまっているので、30の半分である15本が求める数となる。

坂田先生
続いてもう一つの考え方で対角線の本数を求める方法を解説します。

【別解】 \(_6 C _2-6\)の式の意味|中学生用に解説

にゃんこ
次に、正六角形の対角線の求め方の別解を解説します。
中学生の求め方2
問題:正六角形の対角線の本数を求めよ。

(中学生用)式: \(\dfrac{6\times 5}{2}-6=9\)

(高校生用)式: \(_6 C _2-6=9\)

※この2つの式は同じ内容になっています。

答:9本

坂田先生
最初に説明した求め方であれば、まず作ったのがこの樹形図でした。
正六角形の対角線を選ぶ途中の樹形図

対角線をA~Fのどの頂点から引き始めるかが6通り

スタートの点としてAを選んだ場合、ゴールの点の選び方はC、D、Fの3通り

このように考えて、6×3の18通り

だけど、本来の倍をカウントしていることになるので、対角線の本数はその半分で9本

ということでしたね。

坂田先生
なぜ、ゴールの点の選び方はC、D、Fの3通りだったかというと、例えばゴールの点としてBを選んだ場合、それによってできる線分ABは、対角線とは呼べないからです。
にゃんこ
対角線ではなく、正六角形の辺になってしまいます。
坂田先生
ただ、今回の求め方は、最初に正六角形の辺になってもいいから、ともかくA~Fのうち2点を選び、その2点で線を引くパターンが何通りあるのかを調べます。
にゃんこ
すると、このような樹形図になります。
組み合わせによる対角線の本数の求め方の解説01
A~Fのどの頂点から引き始めるかが6通り

例えばAを選んだ場合、次に選ぶのはA以外の5通り

最初にA以外を選んだ場合も、次に選ぶのは5通り

よって6×5の30通り

‥となります。

ただしこれも、本来の2倍を数えてしまっているので、2重にカウントしている分を消すと、こうなります。

ダブりを削除すると全部で15本

この15本は、正六角形の辺の数と対角線の数を合計したものになっています。

なので、そこから辺の数である6を引くと、対角線の本数だけが求まります。
辺の数を引くと対角線の数

坂田先生
この求め方を習得するポイントは、最初に求めた15が一体何を表しているのか、ということを理解しておくことです。
正六角形の対角線の本数を組み合わせで計算

にゃんこ
\(\dfrac{6\times 5}{2}\) というのは、最初に6×5=30を求めた後、それを半分にする、という計算をまとめて書いたものです。
求め方のまとめ
ステップ1:正六角形の辺の数も含めてしまってもいいから、ともかく頂点A~Fから2点を選ぶ組み合わせは何通りあるのかを調べる。(15通り)

ステップ2:15本のうち、6本が正六角形の辺になっているから、その分を引いてあげて、9本が対角線の本数となる。

坂田先生
高校では6つから2つを選ぶ組み合わせの数を求める計算式として、\(_6 C _2-6\)というように、Cの記号を使います。
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