【特集】円周角の定理の難問

正六角形の内角の和と一つの角度(内角・外角)の求め方

正六角形の内角外角

にゃんこ
ここでは正六角形の内角の和の求め方と、一つの内角や一つの外角の求め方について解説します。
このページの内容
  1. 正六角形の内角の和の求め方3パターン
  2. 正六角形の一つの内角の求め方2パターン
  3. 正六角形の一つの外角の求め方
  4. 正六角形の一つの外角と一つの内角の和は180°
広告

正六角形の内角の和の求め方3パターン

坂田先生
内角の和というのは、その図形の内側にある角度の合計のことを指します。(この後に登場する図を見るとわかりやすいです)
にゃんこ
正六角形の内角の和について、2通りの求め方を解説します。

正六角形の内角の和の求め方1|正三角形で考える場合

にゃんこ
正六角形は、次のように正三角形が6つ詰まった図形と見ることができます。
60が12個分で内角の和
にゃんこ
正三角形はどの角の大きさも60°です。
坂田先生
なので、正六角形の内角をすべて集めた合計は、上の図のように60°の12個分だと考えることができます。
にゃんこ
60°が12個分で合計720°ですね。

正六角形の内角の和の求め方2|三角形の数で計算する場合

坂田先生
次は、三角形の内角の和4つ分だと見て求める方法です。
にゃんこ
このように、正六角形(または六角形)は三角形3つが集まった図形と見ることができます。
六角形の内部に三角形が4つできる
坂田先生
1つの三角形の内角は全部で180°になります。
にゃんこ
その三角形4つ分の内角の合計が、正六角形の内角の和と等しくなっていますね。
坂田先生
よってこのように、180×4=720という計算で求めることができます。
三角形4つ分で六角形の内角の和

このように、正六角形(または六角形)は、三角形4個からできる図形と見ることができます。

では、他の多角形では、三角形何個でできているか?についてまとめてみると、こうなります。

6角形までの内角の和

多角形がそれぞれ三角形何個分であるかという数と、それをもとに内角の和を求める式もまとめてあります。

坂田先生
では、上の表をもとに、七角形や、十二角形、n角形では内角の和は、どうなるのでしょうか。
にゃんこ
答えはこうです。
多角形の内角の和

例えば七角形の場合、7から2を引いた結果である5個の三角形でできています。

十二角形の場合は、12から2を引いた結果である10個の三角形でできています。

このように?角形の場合、この?から2を引いた数の三角形からできているということです。

そう考えるとn角形の場合は、nから2を引いた数であるn-2(個)の三角形からできています。

にゃんこ
なので、n角形の内角の和は180にn-2をかけた式になっているのです。
n角形の内角の和

\(180\left( n-2\right) \)

または、その式を展開した

\(180n-360\)

坂田先生
この公式を覚えておいて、nの部分に6を代入するという方法でも、正六角形(または六角形)の内角の和を求めることができます。

正六角形の内角の和の求め方3|公式に代入する場合

n角形(または正n角形)の内角の和の公式

\(180\left( n-2\right) \)
または
\(180n-360\) ←かっこをはずした式

坂田先生
この公式を利用して、正六角形または六角形の内角の和を求めようとする場合、このように計算します。
\(180\left( n-2\right) \) のnに6を代入して

\(180\left( 6-2\right) =180\times 4=720\)

または

\(180n-360\) のnに6を代入して

\(180\times 6-360=1080-360=720\)

にゃんこ
このどちらの式に代入してもいいです。

正六角形の一つの内角の求め方2パターン

坂田先生
ここからは、正六角形の一つの内角の大きさを求める方法について解説します。
にゃんこ
さっき解説した『内角の和』というのは、内側にある角度の合計でした。
坂田先生
次はそうではなく、内角一つ分の大きさを求めるということです。
正三角形6つでできた正六角形と見る方法

正六角形の一つの内角の大きさを正三角形で求めるこの図のように考えると、正六角形の内角一つ分の大きさは60°の2個分なので120°となります。

内角の和を均等に6等分する方法

こちらは、先に正六角形の内角の和720°を求めてから、それを6で割るという方法です。
正六角形の一つの内角正多角形の場合、すべての内角は同じ大きさをしています。
なので、内角の和を6で割ることで、内角一つ分の大きさを計算するということです。

坂田先生
今の考え方を使って正多角形の内角一つ分の大きさを求める場合、一覧にすると以下のようになります。
正多角形の一つの内角
にゃんこ
正n角形の一つの内角を求める公式も、わざわざ覚えるまでもなく、ここまでの意味がわかっていれば、その場で作ることができます。
広告

正六角形の一つの外角の求め方

坂田先生
最後は正六角形の一つの外角の求め方です。
にゃんこ
多角形の外角というのは、このようなもの↓です。
多角形の外角四つ

坂田先生
一つの多角形の外角を寄せ集めると、ちょうど円一周分、すなわち360°の大きさになります。
にゃんこ
これは、正六角形でも、六角形でも外角の和は360°になります。
6角形の外角の和は常に360度
坂田先生
なので、一つの外角を求める問題は、以下のように解くことができます。
問題1

正六角形の一つの外角の大きさを求めよ。

正六角形の外角一つを求める問題
問題2

六角形の外角xの大きさを求めよ

外角の一つを求める手順の解説
坂田先生
正六角形および六角形の外角について、まとめるとこうなります。
六角形の外角の説明まとめ
にゃんこ
六角形以外の外角についてはこのようになります。
多角形の外角表

正六角形の一つの外角と一つの内角の和は180°

多角形または正多角形の一つの外角と、その部分の一つの内角の合計は、常に180°になります。

例えば正六角形の一つの外角は60°で、一つの内角は120°でした。

一つの外角60°と一つの内角120°を合計すると180°になります。

坂田先生
このことを利用すると、問題によっては簡単に解くことができる場合があります。
広告