円錐の展開図の中心角の求め方｜半径・母線を求める問題まで

答え：120°

割合は\(\dfrac39=\dfrac13\)。大きな円の3分の1なので、中心角も360°の3分の1です。

図の青い3cmが分子、緑の9cmが分母に対応しています。逆にして\(\dfrac93\)としないようにしましょう。

答え：3cm

120°は360°の3分の1なので、底面の半径は母線の3分の1です。\(9\times\dfrac13=3\)（cm）となります。

底面の半径を\(r\)cmとおき、図のように\(360\times\dfrac{r}{9}=120\)を解いても求められます。

答え：9cm

坂田先生

今回は、大きい方の母線を求める問題ですね。

底面の半径3cmが母線の3分の1にあたります。だから、母線は\(3\div\dfrac13=9\)（cm）です。

3cmをさらに3分の1にするのではありません。

にゃんこ

小さい方の3cmが、大きい方の3分の1にあたるんですね。

答えを確かめると、\(360\times\dfrac39=120\)。もとの中心角に戻ります。

答え：\(16\pi\)cm²

割合は\(\dfrac{144}{360}=\dfrac25\)です。底面の半径は母線10cmの5分の2なので、4cmになります。

坂田先生

半径がわかったら、求める面積に使いましょう。

ここで求めたいのは底面の円の面積です。半径4cmを使って、\(4\times4\times\pi=16\pi\)（cm²）とします。

答え：\(15\pi\)cm²

割合は\(\dfrac{216}{360}=\dfrac35\)。底面の半径3cmが母線の5分の3なので、母線は5cmです。

側面積は「底面の半径×母線×π」で、\(3\times5\times\pi=15\pi\)（cm²）となります。

図の展開図は、半円より大きいおうぎ形です。中心角216°という条件と合っていますね。

答え：\(x=144\)、\(R=10\)

坂田先生

まずは、2つの弧を合わせた長さに注目しましょう。

2つの弧は、それぞれ底面の円周なので\(8\pi\)cmと\(12\pi\)cmです。合わせた円の円周は\(20\pi\)cmになります。

底面半径4cmの側のおうぎ形は、円周\(20\pi\)のうち\(8\pi\)を占めます。割合\(\dfrac{8\pi}{20\pi}=\dfrac25\)を360°にかければ、\(x=144\)です。

また、合わせた円の半径が共通の母線\(R\)なので、\(2\pi R=20\pi\)から\(R=10\)となります。

答え：A

中心角は\(360^\circ\times\dfrac3{10}=108^\circ\)です。180°より小さいので、Aになります。

にゃんこ

円錐の立体図だけで判断しにくいときも、中心角を出せば比べられます。

答え：\(x=5\)

半円の割合は2分の1です。底面の半径は母線10cmの2分の1なので、5cmになります。

つまりAは\(0<x<5\)、Bは\(x=5\)、Cは\(5<x<10\)です。図の空欄に共通して入る数字は5です。