円錐の側面にかけたひもの最短距離を、展開図で求める練習です。
- 側面を1周して、同じ点に戻るひも
- 底面の反対側の点まで渡るひも
この2問で、展開図のどの点を結べばよいかをつかみましょう。
円錐の母線や展開図の中心角がまだあいまいなら、先に円錐の展開図と中心角を確認してください。ここでは、中心角がわかっている問題を使います。
ひもが最も短くなるのは、展開図でまっすぐなとき
側面を開いても、側面に沿ったひもの長さは変わりません。
円錐の中を突き抜ける直線ではありません。あくまで側面上を通るひもを、展開図の上で考えます。
母線の長さが5cm、側面の展開図のおうぎ形の中心角が60°の円錐があります。底面の円周上では点Aだけを通るように、側面を1周してAへ戻るひもをかけました。ひもが最も短いときの長さを求めなさい。
答え：5cm
頂点から点Aへ向かう母線に沿って側面を開きます。点Aは、おうぎ形の弧の両端に現れるので、一方をA、もう一方をA′と呼びます。
おうぎ形の中心をOとすると、OAとOA′はどちらも母線の5cmです。また、角AOA′は60°です。
OA＝OA′なので三角形OAA′は二等辺三角形。残りの2つの角は、\((180°-60°)\div2=60°\)ずつです。
したがって、直線AA′も5cmです。これがひもの最短の長さです。
1周してAに戻る→展開図のAとA′を結ぶ。
母線の長さが5cm、側面の展開図のおうぎ形の中心角が120°の円錐があります。底面の直径の両端をA、Bとし、AからBまで側面上にひもをかけました。ひもが最も短いときの長さを求めなさい。
答え：5cm
AとBは、底面の円周を半周進んだ位置にあります。側面を開いてもこの対応は変わりません。
図の青い「底面の円の半分」に注目してください。展開図の弧も半分なので、その部分の中心角は\(120°\div2=60°\)です。
中心OからA、Bまでの長さは、それぞれ母線の5cmです。
三角形OABは頂角60°の二等辺三角形、つまり正三角形になるので、AB＝5cmです。
底面の直径をそのまま測るのではありません。
迷ったときは、結ぶ点を先に確かめる
- ひもが側面を1周するのか、途中の点までなのかを見る。
- 展開図で、ひもの両端に対応する点を見つける。
- その2点をまっすぐ結び、できた三角形を調べる。
今回の2問は正三角形になるので、母線と同じ5cmになりました。どんな円錐でも、最短のひもが母線と同じ長さになるわけではありません。角度や点の位置が変わったら、できる三角形も変わります。
展開図で、ひもの両端を直線で結ぶ。