にゃんこ
側面積と表面積、どちらを求めるのか混ざります。
坂田先生
まず円錐を開いて、側面と底面を分けてみましょう。
このページでは、側面積・底面積・表面積を図で区別し、それぞれ求める練習をします。
おうぎ形の「弧×半径÷2」を使います。まだ知らない方は、こちらを先に見ておくと、このあとが理解しやすくなります。
坂田先生
側面積と表面積は、どの部分の面積？
坂田先生
曲がった面と、下の円。開くとどんな形になりますか？
また、頂点から底面の円周まで、側面に沿って伸びる線分を母線といいます。図の茶色い斜めの長さです。円錐の高さとは違うので、区別してください。
円錐を開くと、2つの長さが対応する
にゃんこ
おうぎ形にも円にも半径があって、どちらを使うか迷いそうです。
坂田先生
図の同じ色をたどりましょう。茶色は母線、青は円周です。
にゃんこ
側面を開いても、斜めの辺の長さは変わりません。
だから、おうぎ形の半径は母線の長さです。
側面の下のふちも、開く前は底面の円をちょうど1周していました。だから、おうぎ形の弧の長さは底面の円周と同じになります。
側面積＝底面の半径×母線×π
坂田先生
「おうぎ形の面積＝弧×半径÷2」に、今の対応を入れてみます。
側面積＝底面の円周×母線÷2
底面の円周は「2×底面の半径×π」なので、
側面積＝2×底面の半径×π×母線÷2
にゃんこ
2をかけて2で割る部分がなくなりますね。
側面積＝底面の半径×母線×π
底面の半径を\(r\)、母線を\(L\)と書けば、側面積は\(\pi rL\)です。
にゃんこ
中心角を計算しなくても、側面積が出るんですね。
坂田先生
はい。最後に「側面積か、表面積か」を確かめましょう。
側面積・底面積・表面積を求める問題
問題1：3つの面積を求めよう
母線の長さが9cm、底面の半径が3cmの円錐があります。側面積、底面積、表面積をそれぞれ求めなさい。
答え：側面積\(27\pi\)cm²、底面積\(9\pi\)cm²、表面積\(36\pi\)cm²
図の展開図を見ると、おうぎ形の半径は9cm、底面の半径は3cmです。この2つを取り違えないようにしましょう。
① 側面のおうぎ形
側面積は\(3\times9\times\pi=27\pi\)cm²。
② 底面の円
底面積は\(3\times3\times\pi=9\pi\)cm²です。
坂田先生
表面積なので、底面の円も忘れずに足しましょう。
③ 2つを足して表面積へ
開いた図の2つの部分を足して\(27\pi+9\pi=36\pi\)cm²になります。
にゃんこ
側面積ならおうぎ形だけ。表面積なら底面の円も足します。
この違いを図で確認しましょう。
よくある取り違えを確認する
- 母線と高さ：側面積の式に入れるのは、斜めの母線です。
- 半径と直径：底面の直径が書かれていたら、2で割って半径にします。
- 側面積と表面積：表面積には底面積も含みます。
- 底面の数：円錐の底面は円1つです。円柱のように2つ足さないでください。
中心角や母線を求める問題へ進む
坂田先生
母線がわからないときは、先に割合から長さを求めましょう。
次のページでは、展開図の中心角から長さを求める問題も扱います。
おうぎ形の学習ページ一覧
側面積はおうぎ形、底面積は円。
表面積は、この2つを足した面積です。