円錐を滑らないように転がす問題です。まず、1回転分のおうぎ形と何回転かして完成する円を分けましょう。
- 1回転分の弧と中心角を調べる。
- 3回転分をつないで、半径を求める。
- 母線を求め、表面積へ進む。
展開図があいまいなら円錐の展開図、面積の公式は円錐の側面積・表面積で確認できます。
1回転すると、側面1枚分のおうぎ形ができる
円錐の側面に塗料を塗り、頂点Oを動かさずに転がします。母線の長さは18cm、底面の半径はr cmです。
滑らないようにちょうど3回転させると、大きな円ができました。
図の右の小さい円を、上から順に見てください。1回転で一部分、2回転でその2個分、3回転で円全体が塗られています。
おうぎ形の半径は母線の18cm。弧の長さは、底面の円周と同じです。
この違いを使って、次の問題を解きましょう。
次の図の円錐について、次の問いに答えなさい。
- 1回転で描くおうぎ形の弧の長さを、rを使った式で表しなさい。
- そのおうぎ形の中心角を、rを使った式で表しなさい。
答え：（1）\(2\pi r\)cm （2）\(20r\)°
① 弧は底面の円周から
1回転分の弧は底面の円周と同じなので、\(2\times r\times\pi=2\pi r\)（cm）です。
② 中心角は、大きな円との割合から
大きな円の半径は18cmなので、円周は\(2\times18\times\pi=36\pi\)（cm）。
おうぎ形が円全体に占める割合は\(\dfrac{2\pi r}{36\pi}=\dfrac r{18}\)です。
中心角は\(360°\times\dfrac r{18}=20r°\)となります。
引き続き、母線18cmの円錐が3回転して大きな円を描く場合です。
- 底面の半径rを求めなさい。
- できた大きな円の面積は、円錐の側面積の何倍ですか。
答え：（1）6cm （2）3倍
① 1回転分は何度？
3回転で360°になるので、1回転分の中心角は\(360°\div3=120°\)。問題1で求めた\(20r°\)と同じ角度です。
\(20r=120\)より、\(r=6\)です。
別の考え方：円周を3回分つなぐ
底面の円周を3回分つなぐと、大きな円の円周です。\(2\pi r\times3=36\pi\)となるので、やはり\(r=6\)です。
② 側面は何枚分？
1回転で側面1枚分のおうぎ形ができます。3回転では3枚分なので、大きな円の面積は側面積の3倍です。
底面の半径が6cmの円錐を、頂点Oを中心として平面上で滑らないように転がしました。太線の円を1周して元の場所に戻るまでに、ちょうど3回転しました。
- 太線の円の円周の長さを求めなさい。
- 円錐の母線の長さを求めなさい。
- 円錐の表面積を求めなさい。
答え：（1）\(36\pi\)cm （2）18cm （3）\(144\pi\)cm²
① 太線の円周を求める
底面の円周は\(2\times6\times\pi=12\pi\)（cm）。3回転するので、太線の円の円周は\(12\pi\times3=36\pi\)（cm）です。
② 太線の円の半径が母線
図のOから太線までが、大きな円の半径です。
母線を\(\ell\)cmとすると、\(2\pi\ell=36\pi\)より\(\ell=18\)。母線は18cmです。
③ 側面積と底面積を足す
側面積は、底面の半径×母線×πなので、\(6\times18\times\pi=108\pi\)（cm²）。
底面積は\(6\times6\times\pi=36\pi\)（cm²）です。
表面積はこの2つを足して、\(108\pi+36\pi=144\pi\)（cm²）となります。
回転数の問題で、最初に見る3つのこと
- 1回転で描く弧＝底面の円周。
- できる大きな円の半径＝母線。
- 1回転で描くおうぎ形の面積＝側面積。
今回のように、頂点を中心に滑らず転がして円を1周する場合、回転数＝母線÷底面の半径とも表せます。母線18cm、底面半径6cmなら\(18\div6=3\)回転です。
1回転でできるおうぎ形＝円錐の側面1枚分