割合を使う方法 → 弧と半径だけで計算する方法の順に進みます。
中心角がなくても、弧から割合がわかる
① 弧から割合を求める
半径10cmの円なら、円周は\(2\times10\times\pi=20\pi\)cmです。
弧の長さは\(4\pi\)cmなので、もとの円に対する割合は
\(\dfrac{4\pi}{20\pi}=\dfrac15\)
とわかります。分子はおうぎ形の弧、分母はもとの円の円周です。
② その割合を、面積にも使う
面積も同じ5分の1です。もとの円の面積\(100\pi\)cm²に、この割合をかければ求められます。
\(100\pi\times\dfrac15=20\pi\)（cm²）
面積＝弧×半径÷2でも求められる
半径が「たて」にあたります。三角形の面積と似たかけ算ですが、青い部分は直線の底辺ではなく、曲がった弧の長さです。
先ほどのおうぎ形なら、\(4\pi\times10\div2=20\pi\)（cm²）。割合から求めた答えと同じになります。
弧の長さを\(\ell\)、半径を\(r\)、面積を\(S\)とすると、\(S=\dfrac12\ell r\)と表します。
割合を使った式を、そのままつなげてみます。
面積＝円の面積×（弧の長さ÷円周）
\(S=\pi r^2\times\dfrac{\ell}{2\pi r}=\dfrac12\ell r\)
\(\pi\)と半径1個分を約分すると、「弧×半径÷2」が残ります。
面積から弧の長さを求めることもできる
半径10cm、面積\(20\pi\)cm²です。弧の長さを\(x\)cmとすると、
\(x\times10\div2=20\pi\)
左辺は\(5x\)なので、\(x=4\pi\)。弧の長さは\(4\pi\)cmです。
わからない弧の長さを文字にして考える。
割合を使うなら、「面積\(20\pi\)÷もとの円の面積\(100\pi\)」で5分の1とわかります。円周\(20\pi\)の5分の1を求めても同じですね。
中心角がわからないおうぎ形の練習問題
半径6cm、弧の長さ\(9\pi\)cmのおうぎ形の面積を求めなさい。
答え：\(27\pi\)cm²
半径6cmと弧\(9\pi\)cmがわかっているので、\(9\pi\times6\div2\)で求められます。
割合の方法では、弧を円周\(12\pi\)で割ります。図の青い分数が弧の割合、緑の円が面積のもとになっています。
割合は4分の3なので、実際のおうぎ形は円の4分の3を占めます。
面積を求めるために中心角を出す必要はありません。
半径8cm、面積\(20\pi\)cm²のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
答え：\(5\pi\)cm
弧の長さを\(x\)cmとすれば、\(x\times8\div2=20\pi\)です。つまり\(4x=20\pi\)なので、\(x=5\pi\)となります。
聞かれているのは弧の長さなので、答えの単位はcmになります。
答えを確かめるなら、\(5\pi\times8\div2=20\pi\)として、もとの面積に戻るか見てください。
どの方法を使えばいい？
- 半径と弧から面積なら、「弧×半径÷2」で短く求められます。
- 半径と面積から弧なら、同じ式の弧を文字にします。
- 中心角も求めたいなら、もとの円との割合を出しておくと、そのまま360°にかけられます。
