割合はこちらで詳しく説明しています。
中心角を求めるときも、まず「割合」
半径が同じなら、おうぎ形の弧の長さ・面積・中心角は、もとの円に対して同じ割合になっています。
中心角がわかるときは「中心角÷360°」で割合を求めました。中心角がわからなくても、弧の長さか面積がわかれば割合を求められます。
① 弧か面積から、割合を求める
- 弧から求める割合：\(\dfrac{\text{おうぎ形の弧の長さ}}{\text{もとの円の円周}}\)
- 面積から求める割合：\(\dfrac{\text{おうぎ形の面積}}{\text{もとの円の面積}}\)
② 割合を360°にかける
弧の長さから割合を求める
半径10cm、弧の長さ\(4\pi\)cmのおうぎ形の中心角を求めなさい。
答え：72°
① もとの円と比べる
もとの円の円周は、\(2\times10\times\pi=20\pi\)（cm）です。
分子の\(4\pi\)が弧の長さ、分母の\(20\pi\)が半径10cmの円の円周です。
分子と分母の\(\pi\)を約分し、4と20も4で割ると、\(\dfrac{4\pi}{20\pi}=\dfrac4{20}=\dfrac15\)です。
② 中心角へつなげる
中心角も360°の5分の1になります。
面積から割合を求める
半径10cm、面積\(20\pi\)cm²のおうぎ形の中心角を求めなさい。
答え：72°
① もとの円と比べる
もとの円の面積は、\(10\times10\times\pi=100\pi\)（cm²）です。
今度は緑の面積を比べます。分子の\(20\pi\)がおうぎ形の面積、分母の\(100\pi\)が半径10cmの円の面積です。
\(\dfrac{20\pi}{100\pi}=\dfrac15\)とわかりました。
② 中心角へつなげる
あとは問題1と同じです。360°の5分の1を求めます。
中心角を求める練習問題
半径8cm、弧の長さ\(12\pi\)cmのおうぎ形の中心角を求めなさい。
答え：270°
もとの円の円周は\(16\pi\)cmなので、割合は\(\dfrac{12\pi}{16\pi}=\dfrac34\)です。360°にこの割合をかけます。
円を4等分したうちの3個分です。半円よりも大きく、円から4分の1を取り除いた形になります。
中心角を\(x^\circ\)として、\(2\times8\times\pi\times\dfrac{x}{360}=12\pi\)を解く方法もあります。
求めた答えが合っているか確かめよう
このおうぎ形は半径8cm、弧の長さが\(12\pi\)cmでした。求めた270°を使って弧の長さを計算すると、どうなるでしょうか。
\(2\times8\times\pi\times\dfrac{270}{360}=12\pi\)（cm）
求めた角度を使って計算し直すと、答えが合っているか確かめられます。
半径6cm、面積\(24\pi\)cm²のおうぎ形の中心角を求めなさい。
答え：240°
もとの円の面積は\(36\pi\)cm²です。割合は\(\dfrac{24\pi}{36\pi}=\dfrac23\)なので、360°の3分の2を求めます。
円を3等分したうちの2個分です。こちらも半円より大きい形になります。
