もとの円の何分のいくつか。この「割合」がわかれば、公式も使いやすくなります。
おうぎ形の曲がった部分が弧、円の中心で2本の半径にはさまれた角が中心角です。
90°のおうぎ形は、円の4分の1
図の下の段にある、完全な円を見てください。上のおうぎ形は、その円の4分の1です。
- 面積：\(10\times10\times\pi\times\dfrac14=25\pi\)（cm²）
- 弧の長さ：\(2\times10\times\pi\times\dfrac14=5\pi\)（cm）
この4分の1を、ここでは割合と呼びます。分数で表すときは、分子がおうぎ形、分母がもとの円に対応します。
角度で比べるなら、\(\dfrac{90}{360}=\dfrac14\)です。
120°なら、円の3分の1
半径は、同じ10cmのままです。
今度の割合は\(\dfrac{120}{360}=\dfrac13\)です。図の矢印にある「3分の1」を、面積にも弧にも使います。
- 面積：\(100\pi\times\dfrac13=\dfrac{100\pi}{3}\)（cm²）
- 弧の長さ：\(20\pi\times\dfrac13=\dfrac{20\pi}{3}\)（cm）
72°と144°を比べると、5分の2の意味がわかる
まずは72°の、5分の1
72°の割合は\(\dfrac{72}{360}=\dfrac15\)です。
144°は、5分の1が2個分
144°は72°の2倍なので、72°のおうぎ形が2個分あります。
したがって、割合は\(\dfrac15\times2=\dfrac25\)です。
144°のおうぎ形は、次のように求められます。
- 面積：\(100\pi\times\dfrac15\times2=40\pi\)（cm²）
- 弧の長さ：\(20\pi\times\dfrac15\times2=8\pi\)（cm）
もちろん、最初から\(\dfrac{144}{360}=\dfrac25\)をかけても同じ答えです。
このことがわかると、割合をかける意味がつかみやすくなります。
図で考えたことを、公式にまとめる
面積＝もとの円の面積×割合
弧の長さを\(\ell\)、面積を\(S\)、半径を\(r\)、中心角を\(a^\circ\)とします。
- もとの円の円周：\(2\pi r\)
- もとの円の面積：\(\pi r^2\)
- 割合：\(\dfrac{a}{360}\)
- 弧の長さ：\(\ell=2\pi r\times\dfrac{a}{360}\)
- 面積：\(S=\pi r^2\times\dfrac{a}{360}\)
弧の長さと面積の練習問題
半径10cm、中心角72°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
答え：弧の長さ\(4\pi\)cm、面積\(20\pi\)cm²
まず右の角度の図から、割合が\(\dfrac15\)だとわかります。中央の青い弧にも、左の緑の面積にも、同じ割合をかけます。
弧ならもとの円の円周\(20\pi\)、面積ならもとの円の面積\(100\pi\)を使う、という違いに注目してください。
半径18cm、中心角40°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
答え：\(4\pi\)cm
割合は\(\dfrac{40}{360}=\dfrac19\)。弧の長さなので、もとの円の円周にかけます。
先に40と360を約分すると、円周\(36\pi\)の9分の1を求める計算になります。
半径20cm、中心角36°のおうぎ形の面積を求めなさい。
答え：\(40\pi\)cm²
今回は面積なので、もとの円は\(20\times20\times\pi\)で求めます。\(2\times20\times\pi\)としないように注意してください。
割合は\(\dfrac1{10}\)です。
半径10cm、中心角144°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
答え：弧の長さ\(8\pi\)cm、面積\(40\pi\)cm²
割合は\(\dfrac{144}{360}=\dfrac25\)。分子の2も忘れずにかけます。
- 弧の長さ：\(2\times10\times\pi\times\dfrac25=8\pi\)（cm）
- 面積：\(10\times10\times\pi\times\dfrac25=40\pi\)（cm²）
72°のときの弧\(4\pi\)cm、面積\(20\pi\)cm²の、それぞれ2倍です。
弧の長さと、周の長さを区別する
弧の長さは曲がった部分だけです。おうぎ形の周の長さを聞かれたときは、半径2本分も足します。
問題1なら、弧の長さは\(4\pi\)cm、周の長さは\(4\pi+10+10=4\pi+20\)cmです。
