【更新】計算問題の難問を追加しました

反比例が1次関数でないのはなぜ?理由をわかりやすく解説

にゃんこ
比例は1次関数なのに、なぜ反比例が1次関数でないのでしょうか。その理由がわかりません。わかりやすく教えてください。
坂田先生
このページでは、なぜ反比例が1次関数でないのか?その理由をていねいに解説します。
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反比例が1次関数でない理由

坂田先生
この説明をする前に、ひとつ確認しておかなければいけないことがあります。

それは、反比例は1次関数ではないが、関数ではあるということです。

坂田先生
めっちゃ大事な確認は以上です。この流れのまま本題の説明に入ります。

そもそも、関数であるとはどういうことでしょうか。

すこし、用語のおさらいをしておきましょう。

xの値が決まると、yの値がただひとつに決まるとき、『yはxの関数である』と言えます。

坂田先生
xに数を代入して計算したら、yの値がポンとひとつ出てくるってことです。
これらはすべて関数です
  1. 【中1】\(y=2x\) ←1次関数(比例)
  2. 【中1】\(y=\dfrac{2}{x}\) ←???(反比例)
  3. 【中2】\(y=2x+3\) ←1次関数
  4. 【中3】\(y=2x^{2}\) ←2次関数

これらはすべて、xの部分に何かしらの数を代入してあげると、その計算結果がyの値としてひとつ出てきますよね。

坂田先生
yをxの式で表したときに、\(x\) があったら1次関数、\(x^{2}\) があったら2次関数、と覚えている方は多いかもしれません。
にゃんこ
となると、\(y=\dfrac{2}{x}\)には\(x\) があるから1次関数じゃないの?
坂田先生
そうなりますよね。でも違います。僕も中学生のときに同じ疑問を抱きました。
にゃんこ
\(x^{2}\) が登場するのは2次関数というのは、感覚的にわかりやすいけど、どうして反比例は1次関数ではないのですか?
坂田先生
実はこのことを感覚的に理解するには、指数というものを知る必要があります。
\(x^{2}\) ←指数とは、この右上の2という数のことです。

高校数学では、中学数学で学習している2乗や3乗だけでなく 1乗や0乗、-2乗や-3乗なんかの概念も学習します。

表にするとこうなります。

指数の表

なぜ0乗が1になるのか?という疑問を持った方もいるでしょうが、とりあえず『そうなっとるんだ』と思っておいてください。

とにかくこの話で重要なのは1乗と-1乗のところです。

\(x^{1}=x\)

\(x^{-1}=\dfrac{1}{x}\)

このふたつを知っておく必要があります。

さきほどの式を観察すると、このように分類できます。

関数の分類表
坂田先生
このようにして眺めてみると、反比例のxの式は定数2×\(\dfrac{1}{x}\)という式に変形できて、きれいに \(x^{-1}\)の欄に対応しているような感じがしませんか。
坂田先生
ちなみに反比例の式は『分数関数』という関数に分類されます。
にゃんこ
マイナス1次関数とは呼ばないのですか?
坂田先生
するどい!しかし、マイナス1次関数という呼び名は聞いたことがありませんねえ。高校数学では『分数関数』を学ぶときに登場しますよ。

このテーマの一次関数の話は以上になります。

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