反比例の変化の割合の求め方｜公式による裏技も解説

坂田先生

ここでは、公式による裏技を使った反比例の変化の割合の求め方と、その公式の解説をていねいにしています。

にゃんこ

もちろん公式を使わない求め方の解説もあります。

公式を使わないで反比例の変化の割合を求める方法

坂田先生

では実際に、反比例の変化の割合を求める方法（公式を使わない版）を解説します。

例題

ｙはｘに反比例し、ｙをｘの式で表すと \(y=\dfrac{12}{x}\) となる。
ｘの値が３から１２まで増加するとき、変化の割合を求めなさい。

坂田先生

はい。求め方はざっとこうです。

にゃんこ

では、一つひとつ見ていきます。

反比例の変化の割合の公式を作ってみる

坂田先生

それではここから、反比例の変化の割合の公式について、その作り方から紹介しておきます。

にゃんこ

ここで説明する考え方が身に付けば、様々な応用問題に役立ちます。

坂田先生

なので、途中で難しいところがあっても「そんな方法があるのか～」と思いながら、流し読みしてください。（完全に理解できなくてもいいです）

にゃんこ

さっき解いた問題の手順を、もっと丁寧に書くとこうなります。

さっきの説明では、９と書いていたところが、ここでは１２－３と書いていたりしますね。

つまり、１２－３を９と書いてしまわないことで、最初の問題文にあった数「３」と「１２」が、どう計算されていったのかがわかるようになっています。

さっきは４と書いていたところが、 ここでは\(\dfrac{12}{3}\) と書いてあったり、１と書いていたところが、 ここでは\(\dfrac{12}{12}\) と書いてあったりしますね。

こうやって書くことで、どうやって変化の割合を求めたのかの計算手順がわかるようになっているのです。

そして一番下にある

ｘの増加量÷ｙの増加量＝ \(\left( \dfrac{12}{12}-\dfrac{12}{3}\right) \div \left( 12-3\right) \)

の部分が公式となる部分です。

もう一度見てください。

なので、もしも

という問題があったら、さっきの赤色の３のところに△を代入し、赤色の１２のところに□を代入します。

その場合の変化の割合は、このようになります。（途中の計算でややこしい部分がありますが、わからない場合はとばして大丈夫です。）

坂田先生

これが公式の作り方の考え方です。

あとは、「\(y=\dfrac{12}{x}\) において」という部分を「\(y=\dfrac{a}{x}\) において」としてやると、さっきの計算はこうなりますね。

以上の流れを復習するとこうなります。（難しく感じてもざっと眺めるだけでOKです）

坂田先生

では最後に、完成した公式をまとめておきます。

坂田先生

これで以上です。ただし重要な注意点があります。

反比例の変化の割合の公式を使わないほうがいい理由

坂田先生

反比例の問題を解く実力をUPしたいなら、最初からいきなり公式を使わないことをおすすめします。

にゃんこ

理由は、意味がわからずこれだけ使っていると、応用が利きづらいからです。

坂田先生

さっきの公式は、例えば、こんな応用問題に対応できません。

坂田先生

反比例の変化の割合について学習したての頃は、できればグラフを書いて求めることをおすすめします。

にゃんこ

ｘの増加量とｙの増加量を書き込んで計算することがスラスラできるようになってから、もしも「手間だなあ」と感じたら採用してもいいでしょう。

坂田先生

ただし、先程のような変化球の問題が登場したら、やはり基本の解き方「グラフを書いて観察する」という方法をとることになります。

にゃんこ

その力を養っておくのがベストです。（公式を使うと養えません）