- ３点から等距離にある点の座標の求め方
- ３点から等距離にある点を求める手順の意味を解説(別解あり)
- 【別解２】３点から等距離にある点を円の方程式で求める
参考：２点から等距離にある直線の式の求め方２通りと公式３つ
参考：３点を頂点とする三角形の面積を求める公式｜原点を通る場合通らない場合
参考：線分の垂直二等分線の方程式の求め方２通りと公式
３点から等距離にある点の座標の求め方
３点\(A(10,10),B(-4,8),C(-6,2)\)から等距離にある点Pの座標を求めなさい。
※それぞれやっていることの意味はその後で解説します。
３点から等距離にある点を求める手順の意味を解説
【１】直線ABの傾きを求め、その垂線の傾きaを求める。
【２】２点の中点の座標を求め、そのｘ座標ｙ座標を代入し、ｙ切片bを求める。
詳しい解説ページ：線分の垂直二等分線の方程式の求め方２通りと公式
【別解２】３点から等距離にある点を円の方程式で求める
手順１：３点を通る円の方程式を求める。
手順２：その円の中心の座標を求める。（これが求める座標P）
３点\(A(10,10),B(-4,8),C(-6,2)\)から等距離にある点Pの座標を求めなさい。
（ただし、円の方程式の一般形を利用しなさい。）
円の方程式の一般形は：\(x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0\)
基本形に直すと：\(\left( x+\dfrac{l}{2}\right) ^{2}+\left( y+\dfrac{m}{2}\right) ^{2}=\dfrac{l^{2}+m^{2}-4n}{4}\)
このとき、円の中心の座標は\(\left( -\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2}\right) \)
求める点Pは、３点A、B、Cを通る円の中心の座標である。
この円の方程式を\(x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0\)とする。
この円が
\(A(10,10)\)を通るから
\(10^{2}+10^{2}+10l+10m+n=0\)
\(B(-4,8)\)を通るから
\(\left( -4\right) ^{2}+8^{2}-4l+8m+n=0\)
\(C(-6,2)\)を通るから
\(\left( -6\right) ^{2}+2^{2}-6l+2m+n=0\)
これらを整理して
\(\begin{cases}10^{2}+10^{2}+10l+10m+n=0\\
\left( -4\right) ^{2}+8^{2}-4l+8m+n=0\\
\left( -6\right) ^{2}+2^{2}-6l+2m+n=0\end{cases}\)
これを解くと\(l=-8\)、\(m=-4\)、\(n=-80\)となる
円の中心の座標は\(\left( -\dfrac{l}{2},-\dfrac{m}{2}\right) \)であるから
点Pの座標は\(\left( -\dfrac{-8}{2},-\dfrac{-4}{2}\right) \)
すなわち\((4,2)\)
参考：２点から等距離にある直線の式の求め方２通りと公式３つ
参考：３点を頂点とする三角形の面積を求める公式｜原点を通る場合通らない場合
参考：線分の垂直二等分線の方程式の求め方２通りと公式
