【保存版】２次方程式の難問たち｜中学数学～高校入試

1. 「２次方程式を解け」のパターンの難問
2. ２次方程式の解から定数を求める難問
3. １つの２次方程式が登場する様々なパターン
4. ２つの２次方程式が登場する難問

２次方程式 \(\left( x-1\right) \left( x+2\right) =12\times 15\) を解きなさい。

～着眼点～
なぜ \(12\times 15\) の形で出題されているのか？と、疑問をいだくことが、問題制作者の意図に気が付くポイントです。

２次方程式 \(\left( x-\sqrt{2}\right) ^{2}-5\left( x-\sqrt{2}\right) +6=0\) を解きなさい。

～着眼点～
式のなかに同じかたちのかたまりがあれば、文字に置き変えます。

\(x\) の２次方程式 \(x^{2}-2x+1-2a=0\) の１つの解が \(x=1+\sqrt{2}\) であるとき、定数aの値を求めなさい。

～復習～
xについての２次方程式の解をxに代入すると、等式が成り立ちます。

\(x\) の２次方程式 \(3x^{2}-ax-b=0\) が1と-2を解にもつとき、定数a,bの値を求めなさい。

\(x\) についての２次方程式 \(x^{2}-3ax+\left( a+1\right) \left( a-6\right) =0\) の解の１つが\(a-2\) であるとき、
aの値を求めなさい。

a-2が解のひとつであるということは、xにa-2を代入してできた等式は成立する、ということです。

\(x\) の２次方程式 \(x^{2}+ax-20=0\) が２つの整数の解を持つとき、aのとりうる値をすべて求めなさい。

～突破口～
解が整数となる場合は、２次方程式の左辺が因数分解された形を予想するのが有効な手のひとつです。

２次方程式 \(x^{2}-4x-3=0\) の正の解をaとするとき
\(a^{2}-3a+4-\sqrt{7}\) の値を求めなさい。

別解として、解説にあるような式変形をしなくても、単純にaの値を代入して計算してもよいです。

２次方程式 \(\left( x+3\right) ^{2}+\left( x+3\right) \left( x-3\right) =1\) の2つの解の差の2乗の値を求めよ。

～着眼点～
２つの解を求め、その差の２乗をする、という手順を踏むだけですが、２通りの手順を紹介しています。

\(x\) の２次方程式 \(x^{2}+ax+6=0\) の解の１つは2であり、もう１つの解は
\(x\) の１次方程式 \(ax+b=0\) の解になっている。
このとき、aとbの値を求めよ。

～着眼点～
解の１つが2であるということは、\(x\) の２次方程式のxに2を代入すると、その等式が成り立つということです。それをaについて解いてaの値を求めます。このように、できることを順番に済ませてゆくと、一つひとつ明らかになっていきます。

\(x\) の２次方程式 \(x^{2}+ax+b=0\) の解が-3と2のとき
\(t\) の２次方程式 \(t^{2}+bt+a=-4\) を解きなさい。

～突破口～
まず前者の式から、aとbを求めます。

\(x\) の２次方程式 \(x^{2}+ax+b=0\) の2つの解の逆数が
\(x\) の２次方程式 \(x^{2}-5x+6=0\) の解となる
aとb値をそれぞれ求めなさい。

～着眼点～
後者の方程式の解の逆数もまた、前者の方程式の解の逆数となります。