- 「２次方程式を解け」のパターンの難問
- ２次方程式の解から定数を求める難問
- １つの２次方程式が登場する様々なパターン
- ２つの２次方程式が登場する難問
「２次方程式を解け」のパターンの難問｜高校入試
２次方程式 \(\left( x-1\right) \left( x+2\right) =12\times 15\) を解きなさい。
なぜ \(12\times 15\) の形で出題されているのか？と、疑問をいだくことが、問題制作者の意図に気が付くポイントです。
２次方程式 \(\left( x-\sqrt{2}\right) ^{2}-5\left( x-\sqrt{2}\right) +6=0\) を解きなさい。
式のなかに同じかたちのかたまりがあれば、文字に置き変えます。
方程式 \(2\left( 3x-5\right) ^{2}-19\left( 3x-5\right) +24=0\) を解け。
この２次方程式の解を求めなさい。
式のなかに似たようなかたちがありますので、『式変形で同じかたちを作り出し、文字に置き換えることができないか』を考えます。
２次方程式の解から定数を求める難問
\(x\) の２次方程式 \(x^{2}-2x+1-2a=0\) の１つの解が \(x=1+\sqrt{2}\) であるとき、定数aの値を求めなさい。
xについての２次方程式の解をxに代入すると、等式が成り立ちます。
\(x\) の２次方程式 \(3x^{2}-ax-b=0\) が1と-2を解にもつとき、定数a,bの値を求めなさい。
\(x\) についての２次方程式 \(x^{2}-3ax+\left( a+1\right) \left( a-6\right) =0\) の解の１つが\(a-2\) であるとき、
aの値を求めなさい。
aを正の定数とする。
\(x\) の２次方程式 \(x^{2}+\left( 2a+1\right) x-4a^{2}+2=0\) の解の１つがaであるとき、aの値と、もう一つの解を求めなさい。
\(x\) の２次方程式 \(x^{2}+ax-20=0\) が２つの整数の解を持つとき、aのとりうる値をすべて求めなさい。
次のように、かけて-20になる整数Aと整数Bの組み合わせを考えます。
A+Bの値がaの値なので、それを答えます。
解が整数となる場合は、２次方程式の左辺が因数分解された形を予想するのが有効な手のひとつです。
\(x\) の２次方程式 \(x^{2}+ax+12=0\) の2つの解がともに負の整数であるようなaの値をすべて求めなさい。
かけて12になる２つの正の整数の組み合わせ（緑の数字の部分）を探すことになります。
1と12
2と6
3と4
この３パターンが存在します。
\(x\) についての２次方程式 \(x^{2}-2\left( a+6\right) x+a^{2}+8a=0\) の解が \(x=-3\) のみのとき、aの値を求めなさい。
解が \(x=-3\) のみとならない場合を除外するチェックが必要です。
\(x\) の２次方程式 \(ax^{2}+bx-33=0\) は異符号の２つの解c.dを持ち、 \(c-d=\dfrac{7}{2}\) で、その絶対値の比は \(\left| c\right| :\left| d\right| =11:3\) である。
a.bの値を求めよ。
\(c-d=\dfrac{7}{2}\)つまり正の数になるということは、cとdのどちらが大きい数でしょうか。
その他、１つの２次方程式が登場する難問いろいろ
２次方程式 \(x^{2}-4x-3=0\) の正の解をaとするとき
\(a^{2}-3a+4-\sqrt{7}\) の値を求めなさい。
２次方程式 \(\left( x+3\right) ^{2}+\left( x+3\right) \left( x-3\right) =1\) の2つの解の差の2乗の値を求めよ。
２つの解を求め、その差の２乗をする、という手順を踏むだけですが、２通りの手順を紹介しています。
２次方程式 \(x^{2}+ax+3=0\) の２つの解の差は \(2\sqrt{6}\) である。aの値を求めなさい。
解の公式を使い、２つの解について定数aを含む式で表します。
まず、２つの解について定数aを含む式で表します。
２次方程式 \(3x^{2}+4x-1=0\) の2解のうち、小さい方をaとする。
aよりも大きい最小の整数を求めなさい。
\(x\) の２次方程式
\({\small x^{2}-\left( a^{2}-4a+5\right) x+5a\left( a-4\right) =0}\)
において、aが正の整数であるとき、次の(1),(2)の問いに答えなさい。
(1) この２次方程式の解が１つになるようなaの値を求めよ。
(明治高校)
与えられた式をよく観察して、解説にあるような式変形に気が付けば、スムーズに解答できます。
２つの２次方程式が登場する難問｜高校入試問題
\(x\) の２次方程式 \(x^{2}+ax+6=0\) の解の１つは2であり、もう１つの解は
\(x\) の１次方程式 \(ax+b=0\) の解になっている。
このとき、aとbの値を求めよ。
解の１つが2であるということは、\(x\) の２次方程式のxに2を代入すると、その等式が成り立つということです。それをaについて解いてaの値を求めます。このように、できることを順番に済ませてゆくと、一つひとつ明らかになっていきます。
\(x\) の２次方程式 \(x^{2}+ax+b=0\) の解が-3と2のとき
\(t\) の２次方程式 \(t^{2}+bt+a=-4\) を解きなさい。
まず前者の式から、aとbを求めます。
\(x\) の２次方程式 \(x^{2}+ax+b=0\) の2つの解の逆数が
\(x\) の２次方程式 \(x^{2}-5x+6=0\) の解となる
aとb値をそれぞれ求めなさい。
後者の方程式の解の逆数もまた、前者の方程式の解の逆数となります。
２次方程式 \(x^{2}-5x+3=0\) の２つの解からそれぞれ２を引くと
２次方程式 \(x^{2}+ax+b=0\) の解になるとき
a,bの値をそれぞれ求めよ。
前者の方程式の解を文字におくと、後者の方程式の解はそこから２を引いたものとして表すことができます。
\(x\) についての２次方程式 \(x^{2}+ax+b=0\) の２つの解からそれぞれ１を引いて２倍した数が
\(x\) についての２次方程式 \(x^{2}-6x+4=0\) の２つの解になっている。
a,bの値を求めよ。
１を引いて２倍するという操作の逆を考えます。つまり、後者の式の解に対して、半分にして１を加えた数が、前者の式の解になります。
２次方程式 \(x^{2}+ax+b=0\) の２つの解にそれぞれ３を足したものは
２次方程式 \(x^{2}+bx+a=0\) の解になるという。
定数aとbの値をそれぞれ求めなさい。
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