中２｜多項式の計算問題の難問【プリント版あり】中学２年の多項式の発展問題

にゃんこ

このページでは、中学２年生で学習する多項式の計算問題の難問を練習できます。

多項式の問題一覧

にゃんこ

この問題&解答をプリントアウトしておきたい方は35問目の最後をご覧ください。（このテーマだけのドリル単品もあります）

中２｜多項式の計算問題の難問35パターン

(1) \(2\left( \dfrac{2a-3b}{6}\right) -8\left( \dfrac{3a-b}{4}\right) \)

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約分してから通分するパターンの多項式の問題です。

(2) \(\dfrac{3x-2y+1}{2}+x-2y+1\)

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右側の項のかたまりを分数にしてから通分するパターンの多項式の問題です。

(3) \(-\dfrac{2x-y}{6}+\dfrac{x-y}{9}-\dfrac{x-2y}{4}\)

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分数型の３つの項を通分するタイプの問題です。

(4) \(\dfrac{2x+y}{3}-\dfrac{x-2y}{2}-\dfrac{2x-3y}{6}\)

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(5) \(\dfrac{4x-y}{12}-\left( \dfrac{2x-y}{6}-\dfrac{3x-5y}{4}\right) \)

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解説では、通分してからカッコをはずしていますが、カッコをはずしてから通分してもいいですし、カッコの中をさきにまとめてもいいです。

(6) \(x-\left( \dfrac{3y-z}{4}-\dfrac{x-2y-3z}{6}\right) \)

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(7) \(\dfrac{3a-4b-c}{2}-\left( a-\dfrac{2b-c}{3}\right) \)

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分母を６に通分してからカッコをはずし計算しています。

(8) \(\dfrac{2\left( 3a-8b\right) }{7}-\dfrac{3\left( a-3b\right) }{2}\)

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分子がこのようなかたちになっている場合は、通分する際に注意が必要です。解説にある手順でもいいですし、分子の部分のかっこを先にはずしてから、通分の作業に入ってもいいです。

(9) \(\dfrac{2x\left( x-3y\right) }{3}-\dfrac{3y\left( 2x-y\right) }{2}-\dfrac{1}{6}x^{2}\)

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先程の多項式の問題を少し複雑にした問題です。

(10) \(a-\dfrac{3\left( a-2b\right) }{2}-\dfrac{2}{3}b\)

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(11) \(\dfrac{4}{3}\left( \dfrac{a-3b}{2}\right) -\dfrac{1}{3}\left( a-b\right) \)

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この問題のようにカッコに分数がかかっている場合は、約分できるなら約分をしてから考えます。解説にある最初の計算がややこしく見える方は、 \(a-3b\) の部分をxに置き換えて約分してみてください。

(12) \(\dfrac{1}{4}\left( 2a-3b\right) -\dfrac{a-2b}{6}+\dfrac{a+3b}{3}\)

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項が３つの多項式です。最初の項をどうすればよいか迷うかもしれませんが、分母が４の分数だと見てください。 \(\dfrac{1}{4}\left( 2a-3b\right) =\dfrac{2a-3b}{4}\) ←このように見ることで、解説にある通分の手順の意味がわかりやすくなると思います。

(13) \(\dfrac{2x+y}{3}-0.2x+y\)

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小数を分数に直してから通分するタイプの多項式の問題です。

(14) \(5x-3y-\dfrac{2x-y}{3}\times 5\)

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項が３つあり、最後の項である \(-\dfrac{2x-x}{3}+5\) をまとめてから計算する問題です。

(15) \(\dfrac{3x+2y}{3}-y-\dfrac{2x-y}{2}\)

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(16) \(-\dfrac{3x+y}{2}-3x+2y-1\)

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(2)のタイプの問題を、少し難易度を上げたものです。

(17) \(\dfrac{5x-2y}{6}-3x+y-\dfrac{x-y}{4}\)

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(18) \(\dfrac{2a-3b}{8}\times \left( -20\right) -\dfrac{a-b}{6}\times 36\)

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約分しても分数のかたちのままになっている項があるので、解答のように計算します。

(19) \(6\left( \dfrac{3a-b}{12}-\dfrac{a-b}{18}+a\right) \)

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カッコをはずしたのちに通分します。

(20) \(\dfrac{2x-y-1}{6}-\dfrac{2}{3}\left( x-2\right) -\dfrac{x-3y+1}{2}\)

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分母を６に通分します。その後、 \(-\dfrac{4}{6}\left( x-2\right)\) は \(-\dfrac{4\left( x-2\right) }{6}\)として、分数の多項式の計算を進めます。

(21) \({\small 3\left( x-2y-1\right) -\dfrac{3x-y}{2}-\dfrac{1}{4}\left( x-y+1\right)} \)

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(22) \(\dfrac{-\left( -2\right) ^{2}}{6}+144x^{6}y^{3}\div \left( -6x^{2}y\right) ^{3}\)

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解説にあるように、144は12の２乗として表しなおし、6の３乗の部分を指数を使った書き方のままにして計算を進めます。そうすることで、あとの約分がしやすくなります。

(23) \(\dfrac{1-2a}{5}-2\left( 1-3a\right) -\dfrac{1}{2}a\)

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(24) \(\left( 1\div \dfrac{3}{x}\right) -3\times \dfrac{x-2y}{2}-y\)

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各項をまとめてから、多項式の計算を進めます。

(25) \(a-3b-\left\{ \dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{3}\left( a-2b\right) \right\} \)

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小カッコをはずしてから中カッコをはずします。

(26) \(\dfrac{1}{6}x-\left( \dfrac{x-y}{8}-\dfrac{x-y}{9}\right) \times 12-y\)

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項が３つある多項式です。真ん中の項は、 \(\left( -1\right) \times \left( \dfrac{x-y}{8}-\dfrac{x-y}{9}\right) \times 12\) となっているので、解説のように、 \(-12\left( \dfrac{x-y}{8}-\dfrac{x-y}{9}\right)\) と変形することができます。

(27) \({\tiny 3\left( \dfrac{a-2b}{2}-\dfrac{a+4b}{6}\right) -2\left( \dfrac{a-b}{2}-\dfrac{2a-b}{6}\right)} \)

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カッコの中を先に計算してもいいですが、解説のように、カッコをはずしてから計算することもできます。その際に、約分をせず、カッコをはずした後の４つの項を通分することを考えます。

(28) \({\tiny \left\{ \left( \dfrac{3x^{6}y^{3}}{2}\right) ^{2}-\dfrac{\left( 2x^{4}y^{2}\right) ^{3}}{7}\right\} \div \left( -\dfrac{1}{2}x^{2}y\right) ^{3}\times \left( \dfrac{xy^{2}}{31}\right) ^{2}}\)

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全体としては単項式ですが、カッコのなかの計算が多項式の計算になっているので、この分類にしました。カッコの中の計算は単項式の難問レベルになっているので、難しいと感じた場合は、単項式のページで練習してください。

(29) \(\left\{ \dfrac{1}{3}x^{2}y-\left( -3y\right) ^{2}\right\} \div \left( 1\div 0.3\right) ^{2}\div y\)

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除法の部分（ \(\div \left( 1\div 0.3\right) ^{2}\) の部分）は、まずカッコの中を計算してから、２乗した結果を使います。0.3は分数にしてから計算します。

(30) \(\dfrac{2}{3}\left( 2a-\dfrac{1}{6}b\right) -\dfrac{1}{2}\left\{ \dfrac{5\left( a-b\right) }{3}\right\} \)

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– \(\dfrac{1}{2}\left\{ \dfrac{5\left( a-b\right) }{3}\right\} \) の部分は解説にて \(-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{3}\left( a-b\right)\) という計算をしていると思ってください。

(31) \(6\left( \dfrac{1}{2}a^{2}-\dfrac{2}{3}a+0.5\right) -\dfrac{2}{3}\left( a^{2}-2\right) \)

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(32) \(\dfrac{1}{0.2}\times \left\{ -\dfrac{1}{5}\left( a-b\right) -0.4a\right\} \)

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これも全体は単項式となっていますが、カッコのなかの計算が多項式の計算になっているので、ここに掲載しました。この問題のように、分母が小数になっている分数は、解説のように、小数が消えるよう分子分母ともに５をかけます。 \(\dfrac{1}{0.2}=1\div 0.2\) というように、割り算のかたちにして計算する方法もあります。

(33) \(\left( \dfrac{a^{2}b}{0.25}\right) ^{2}-\left( 1\div \dfrac{1.5}{a}\right) ^{3}\div \left( a\div 3\right) ^{3}\)

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分母に小数がある分数の場合と、分子に小数がある場合の分数です。分母に小数がある場合は、さきほどの問題のように処理します。分子に小数がある場合は、 \(\dfrac{1.5}{a}=1.5\times \dfrac{1}{a}=\dfrac{15}{10}\times \dfrac{1}{a}\) というように、掛け算のかたちになおすとスムーズに計算できます。

(34) \(\dfrac{2a^{4}b-4a^{3}b^{2}}{2a^{2}b}-\dfrac{1.5a^{3}b^{2}-5a^{2}b^{3}}{3ab^{2}}\)

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別解(開く)

分母を\(6a^{2}b^{2}\)に通分して計算する多項式の難問です。また、別解のように項を分けて計算する方法もあります。

(35) \({\tiny \dfrac{x^{2}+3x^{2}y}{2}\div \left\{ \dfrac{15y^{2}+16}{8}-2\left( y^{2}+1\right) \right\} \div \left( -\dfrac{2x}{3y}\right) ^{2}}\)

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