相似比とは何か？平面図形と立体の相似比まとめ一覧

にゃんこ

このページでは、相似比とは何かについて深く理解できるように、ていねいに解説しています。

坂田先生

このまとめ図⇓をすべて理解できるようにわかりやすく説明します。

相似比とは何か？三角形、四角形、円の３例で説明

相似比とは、相似な図形の大きさの比率を表したものです。

大きさの比は、対応する部分の長さの比を調べると、それがそのまま大きさの比（相似比）になります。（まだ意味がわからなくてもOK）

坂田先生

まずは、具体例と一緒に見たほうがわかりやすいので、さっきのまとめ図から順番に説明していきます。

三角形の相似比の例

にゃんこ

この２つの三角形は相似（形が同じで大きさが違う関係）です。

２つの三角形を見比べてみると、左と比べて右が２倍の大きさになっています。

それぞれの辺の長さがすべて２倍になっていますね。

こんなとき、△ABCと△DEFの相似比は１：２であると言えます。

にゃんこ

また、これも相似比が１：２の三角形を表しています。

ただし、それぞれの辺の長さは、これだけでは不明です。

左の三角形では長さがaの辺は、右の三角形では長さが2a（つまりaの２倍の長さ）になっています。

b、cも同じように、それぞれ２倍ずつの長さである2b、2cになっていることがわかります。

坂田先生

こんな図が問題に出た場合は、「それぞれの辺の長さは不明だけれど、ともかく右側の各辺の長さが２倍になっているんだな」と読み取ってください。

左と右で、相似な図形の大きさの比率が１：２になってるので、相似比は１：２になります。

四角形の相似比の例

にゃんこ

この２つの四角形は相似です。

これもまた、各辺の長さが左と右で１：２になっています。

なので、左の四角形と右の四角形の相似比は１：２になります。

この四角形を使って、「各辺の長さは不明だけれど、相似比が１：２であることを表す図」を書くとこうなります。

このように、同じ長さの辺には、同じ文字aを使います。

円の相似比の例

にゃんこ

円の相似比も同じように考えます。

右の円の半径、直径、円周の長さが、左の円と比べてそれぞれ２倍になっています。

半径の長さの比は１：２
直径の長さの比は４：８（つまり１：２）
円周の長さの比は4π：8π（つまり１：２）

にゃんこ

どこを見ても、同じ比（１：２）になります。

円の大きさの比率が左と右で１：２になっています。

なので、左の円と右の円の相似比は１：２です。

次に、「半径が不明だけれど、ともかく相似比が１：２になっている二つの円」を表すとこうなります。

半径が不明なので、直径も不明となり、円周も不明となります。

半径をaと表すと、直径はその２倍の2aとなり、さらにπをかけた2πaが円周になります。

坂田先生

ここまでの内容を一覧にするとこうなります。

にゃんこ

続いて、相似比が２：３の場合を見てみます。

坂田先生

特に、四角形と三角形だけを見てみましょう。

にゃんこ

どれを見ても、相似な図形の対応する辺の長さが２：３になっていますね。

三角形の赤色の部分の辺の長さは「５：7.5」ですね。

このような小数の比を簡単にする手順はこうなります。

また辺の長さが「2a、3a」など、文字で表してある図形は、こう見るといいでしょう。

このように「基準となる長さa、b、cがあり、その長さが何個分あるかを表した図」だと思うとわかりやすいと思います。

円の相似比

それでは円の相似比について、同じように見ていきましょう。

にゃんこ

これは、相似比が２：３の二つの円を表しています。

半径が２の円と半径が３の円

半径も直径も円周もすべて２：３になります。

坂田先生

４π：６πが２：３だとわかりにくい場合はこのように整理してください。

このように、対応する部分の長さを比べることができれば、相似比（相似な図形同士の大きさの比率）がわかるというワケです。

円の半径が不明だけれど、相似比が２：３であることがわかっている場合は、このような図になります。

円の半径をそれぞれ2aと3aとおくことで、半径の比が２：３である二つの円になっています。

直径は半径の２倍なので、それぞれ4aと6aになり

円周は直径に円周率をかけた値なので、それぞれ4πaと6πaになります。

にゃんこ

ここまでの円の相似比のまとめ図です。

相似比とは何かについてのまとめ(平面図形)

にゃんこ

ここまでの内容をまとめてみましょう。

相似比とは、形が同じ図形同士の大きさの比を表したものです。

にゃんこ

このように相似比は、対応する辺の長さの比を調べればわかります。

坂田先生

相似な図形同士の対応する部分の長さであれば、どこでもOKです。

にゃんこ

例えば三角形の高さでも大丈夫です。

この相似な三角形は、高さの比が２：３なので、相似比も２：３ですね。（ただし、２つの図形が相似だとわかっていないと使えません）

にゃんこ

円周でもOKでしたね。

円周の長さが２：３なので、相似比も２：３になります。（円と円はそもそも相似になっているので、相似であるかどうかの確認は必要ありません）

にゃんこ

この考え方は、立体図形の相似比でもまったく同じです。

立体の相似比一覧|円錐や球、立方体など

立体の相似比も、相似な立体同士の大きさの比率を答えればよいです。

そしてその比率は、平面図形の場合と同じように、対応する部分の辺の長さの比を見ることでわかります。

坂田先生

例えばこれらはすべて、２：３の相似比になっている立体図形です。

にゃんこ

対応する部分の辺の長さの比はすべて２：３になっています。

平面図形であろうと立体図形であろうと、相似な図形同士の、対応する部分の辺であれば、その長さの比が相似比になります。

坂田先生

たとえば母線の長さの比であっても、はたまた対応する対角線の長さの比であっても相似比になります。

相似比だと勘違いしやすい２辺の比との違い｜両方使えると便利

坂田先生

ここからは、さらに相似な図形を得意にするために「三角形の２辺の比」について解説します。

にゃんこ

まず、この問題を見てください。

坂田先生

このページの最初に登場した図を使って問題を作りました。

坂田先生

相似な図形は、対応する辺の長さの比がみな同じ（この場合はすべて１：２）だったことを思い出してください。

にゃんこ

この比例式をつかって、方程式を作ります。

坂田先生

これで比例式ができました。これを解きます。

にゃんこ

ちゃんと８が求まりましたね。

今度は相似比ではなく、三角形のとなり合う２辺の比を利用して解いてみます。

赤色と緑色の辺の長さの比は、この三角形の場合は５：４になっています。

「相似な図形のとなり合う２辺の比はそれぞれ等しい」という性質を使いました。

これを利用して、比例式を作ったということです。

ただしこの方法には注意点が２つあります。

にゃんこ

特に２は重要です。

坂田先生

ためしに青色と緑色の辺の比を使って解いてみます。

赤色と緑色の辺の長さの比が５：４だったのに対して

青色と緑色の辺の長さの比は３：２になっていますね。

この方法を使う場合、相似比を使って解いているわけではない、ということは理解しておきましょう。

今みたいな問題を解くときに、「相似比」と、「３辺の割合（となり合う２辺の比）」を両方使えると、（大きな値でない限り）かなり暗算で解くことができます。

その方法はまた別のところで解説します。（限られた試験時間に少しでも余裕を作りたい方は習得していってください。）