中１中２『式の値』難問20パターン【高校入試レベル】

にゃんこ

このページでは、中１中２で学習する範囲の式の値の難問だけをピンポイントに学習できます。

式の値の問題一覧

にゃんこ

この問題&解答をプリントアウトしておきたい方は20問目の最後をご覧ください。（このテーマだけのドリル単品もあります）

中１中２の『式の値』難問20パターン｜高校入試問題レベル

(1) \(\dfrac{1}{5}a=\dfrac{1}{2}b\)のとき、\(\dfrac{3a+10b}{2a+5b}\)の値を求めよ。(\(a\)、\(b\)は\(0\)でない)

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まず最初に、条件式\(\dfrac{1}{5}a=\dfrac{1}{2}b\)がそのままでは使いにくいので、両辺を10倍した結果をみて、そのかたちを利用できないかと考えます。

(2) \(3x+y=x-2y\)のとき、\(\dfrac{5x-y}{3x+2y}\)の値を求めよ。(\(x\)、\(y\)は\(0\)でない)

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別解(タップで開く)

\(3x+y=x-2y\)をxについて解き、それを代入することで式の値を求めます。別解にあるのは、xについて解いたあとの手順になります。tではなく6tとおくことで、そのあとの計算が楽になります。（別解は、気が付けば速く解けるというだけなので、わかりにくい場合は通常の解き方をおすすめします）

(3) \(5a-2b=5\)のとき、\(\dfrac{3a-2b}{2}+\dfrac{2a-b}{3}+\dfrac{7}{6}a\)の値を求めよ。

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値を求めたい式のかたちが分数になっているので、通分して整理します。その結果、条件式\(5a-2b=5\)が利用できる式のかたちを作り出せるパターンの式の値の問題です。コツは、条件式\(5a-2b=5\)を利用できるかたちが作り出せないかという視点をもつことです。

(4) \(a^{2}b=4\)のとき、\(\left( 3ab^{2}\right) ^{3}\div \left( -3ab\right) ^{2}\times a^{7}\)の値を求めよ。

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条件式\(a^{2}b=4\)がそのまま代入できないので、値をもとめたい式\(\left( 3ab^{2}\right) ^{3}\div \left( -3ab\right) ^{2}\times a^{7}\)を計算し整理します。指数法則の計算になれていないと、条件式を利用できるかたちを取り出すことが難しく感じるパターンの式の値の問題です。

(5) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=3\)のとき、\(\dfrac{5a-ab+5b}{a+b}\)の値を求めよ。

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条件式を変形し、その結果を利用できないかと考えるパターンの式の値の問題です。条件式がそのままでは代入できないようなかたちをしていると感じて、最初に\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=3\)を変形するというのがコツです。

(6) \(\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{a-b}{3}\) \(( \neq 0) \) のとき、\(\dfrac{b}{a}\)の値を求めよ。

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考え方は先程の式の値の問題と同じです。条件式がそのままでは代入できないとみて、条件式の変形から始めます。

(7) \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=1\)のとき、\(\dfrac{5ab}{a-b}\)の値を求めよ。

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(5)で学習したことを違う角度で確認している問題です。式の値の求め方の考え方と手順は同じですが、代入の仕方を考える際や途中の式変形に手がとまるかもしれません。

(8) \(\dfrac{x+3y}{xy}=\dfrac{2}{7}\)のとき、\(\dfrac{15}{x}+\dfrac{5}{y}\)の値を求めよ。

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まず条件式を変形してみてもいいですが、どちらにせよ\(\dfrac{15}{x}+\dfrac{5}{y}\)はこのままでは代入できないので、そちらのほうを先に変形してみます。すると、もともとの条件式\(\dfrac{x+3y}{xy}=\dfrac{2}{7}\)がそのまま代入できるかたちを取り出せることに気が付くという問題です。

(9) \(2x+3y=5x-6y\)のとき、\(\dfrac{2x+3y}{x-y}\)の値を求めよ。(\(x\)、\(y\)は\(0\)でない)

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条件式を整理する際、ｘについて解くかｙについて解くか迷ったかもしれません。どちらでも解けますが、この問題の場合はxについて解くと、計算しやすくなります。(理由を知りたい方は、yについて解いて代入してみるとすぐにわかります。)

(10) \(a:b=1:2\)のとき、\(\dfrac{\left( 2a+b\right) ^{2}}{3a^{2}+ab+b^{2}}\)の値を求めよ。

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比例式の登場する、式の値を求めるパターンの問題です。比例式から等式を作り出し、そを代入して求めます。

(11) \(a:b=2:3\) 、\(b:c=3:5\)のとき、\(\dfrac{c}{a}\)の値を求めよ。

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比例式が２つあるパターンの式の値の問題です。\(\dfrac{c}{a}\)をbだけの式にすることで、約分によりbが消えて、無事に式の値が求められました。文字が３つあるこのような問題の場合は、どの文字を消去して、どの文字にそろえるか、ということを考える視点が重要になります。

(12) \(\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}=\dfrac{c}{5}\)のとき、\(\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)の値を求めよ。(\(a\)、\(b\)、\(c\)は\(0\)でない)

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0でない値のkを登場させて解きます。
中１中２式の値12の解説

式の値の難問によくある有名題です。さきほどの問題は文字をbに統一しましたが、この問題は0でない値の文字kを登場させて、最終的にkに統一して計算します。意味を考えるとややこしくなる場合は、ひとまず手順を暗記しておきましょう。

(13) \(2a=3b\)のとき、\(\dfrac{\left( a-b\right) ^{2}}{\left( a+b\right) ^{2}}\)の値を求めよ。(\(a\)、\(b\)は\(0\)でない)

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条件式を変形したかたちを代入して普通に解くことができますが少し手間がかかります。なので、気が付けば早いパターンの解き方を解説しています。先程の問題のように条件式をkとおくのではなく6kとおいています。そうすることで代入しやすい形を作り出すことができます。この問題を反復し自分のものにすることで、2と3の最小公倍数である6を使った6kで、計算が楽になるという発想に慣れてください。

(14) \(a+b=8\) 、\(b+c=12\)、\(a+c=10\)のとき、\(a+b+c\)の値を求めよ。

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３つの条件式の両辺をそれぞれ合計することで、求めたい値の式のかたち\(a+b+c\)を作りだすことができるというパターンです。

(15) \(a+b+c=0\)のとき、\(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\)の値を求めよ。(\(a\)、\(b\)、\(c\)は\(0\)でない)

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条件式を３通りに変形し、それぞれの結果を代入することで式の値を求められるというパターンです。

(16) \(ab=6\) 、\(bc=15\) 、\(ac=10\)のとき、\(abc\)の値と\(a\)の値を求めよ。(\(a\)、\(b\)、\(c\) は自然数とする)

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【解説の途中からややこしいと感じた方へ】abcを２乗した値が2×3×5の２乗の値(すなわち900)と等しいということは、abcの値は「２乗して900になる値」である \(30\) または \(-30\) ということになります。問題文にa、b、cは自然数という条件があるので、その３つを掛け合わせたabcは正の数ですね。なので、abcの値は \(-30\)はあり得ないので、 \(30\) のみとなります。

３つの条件式の右辺どうし、左辺どうしを掛け合わせた結果を利用します。

(17) \(a+b+c=0\) 、\(\left( a+b\right) ^{2}b^{2}\left( b+c\right) ^{2}=25\)のとき、\(abc\)の値を求めよ。(\(a\)＞\(0\)、\(b\)＞\(0\)、\(c\)＞\(0\)とする)

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(15)と(16)の要素を合わせた式の値の難問です。

(18) \(a+b+c=3\) 、\({\small a\left( \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right) +b\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\right) +c\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right) =1}\)のとき、\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)の値を求めよ。

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