平方根や有理数・無理数の正誤問題

平方根の正誤問題

にゃんこ
平方根や有理数・無理数の正誤問題について、中学3年生の数学定期テスト対策レベルから高校入試問題レベルまで用意しました。
有理数と無理数の違い
にゃんこ
これについて、しっかり理解したい方はこちらで学習できます。
参考:有理数と無理数の違い|有限小数、循環小数、循環しない無限小数の違いを理解するのがポイント
平方根の正誤問題
坂田先生
次の正誤問題について、正しければ〇を、間違っていれば✕と解答せよ。
  1. \(\sqrt{5}\)を2倍したものは\(\sqrt{10}\)である。
  2. 答え:✕

    \(\sqrt{5}\)を2倍したものは\(2\sqrt{5}\)です。

  3. 25の平方根は5である。
  4. 答え:✕

    正しくは

    25の平方根は \(\pm 5\) である。

    です。

    坂田先生
    『25の平方根は』というのは、『2乗して(平方して)25になる値は』という意味です。
    にゃんこ
    2乗して25になる値は、+5と-5の二つあります。
  5. \(\sqrt{25}=\pm 5\)
  6. 答え:✕

    正しくは \(\sqrt{25}=5\) です。

    にゃんこ
    \(\sqrt{25}\)は2乗して25になる値のうち+の値、という意味です。
    坂田先生
    ちなみに

    \(-\sqrt{25}\)は2乗して25になる値のうち-の値、という意味です。

    なので次の3つはすべて正しいです。

    \(\sqrt{25}=5\)

    \(-\sqrt{25}=-5\)

    \(\pm\sqrt{25}=\pm5\)

  7. 5の平方根は\(\sqrt{5}\) である。
  8. 答え:✕
    正しくは

    5の平方根は \(\pm \sqrt{5}\) である。

    です。

  9. \(\sqrt{25}\) の平方根は \(\pm \sqrt{5}\)である。
  10. 答え:〇
    \(\sqrt{25}\) =5なので、\(\sqrt{25}\) の平方根とは、5の平方根、つまり\(\pm \sqrt{5}\) のことを指します。
  11. \(\sqrt{\left( -3\right) ^{2}}=-3\)
  12. 答え:✕

    \(\sqrt{\left( -3\right) ^{2}}=\sqrt{9}=3\) が正しい変形です。

  13. 2乗すると10になる数は\(\sqrt{10}\) であり、2乗すると100になる数は10である。
  14. 答え:✕
    正しくは
    2乗すると10になる数は±\(\sqrt{10}\) であり、2乗すると100になる数は±10である。
    です。
  15. \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}\)は無理数である。
  16. 答え:✕

    \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}\) となり、有理数となります。

  17. 0は有理数である。
  18. 答え:〇
  19. \(\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) \left( \sqrt{2}-\sqrt{3}\right) =-1\)
  20. 答え:〇
    \(\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) \left( \sqrt{2}-\sqrt{3}\right) \\
    =\left( \sqrt{2}\right) ^{2}-\left( \sqrt{3}\right) ^{2}\\
    =2-3\\
    =-1\)

  21. \(\sqrt{10}-\sqrt{3}= \sqrt{10-3}\)
  22. 答え:✕

    \(5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}\) のように、ルートの中の数値が等しい場合のみ、足したり引いたりできます。

    例えば \(5a-a=4a\) のように、平方根の記号付きの値を文字式の文字のようにとりあつかっていると考えるとわかりやすいです。

  23. \(x^{2}=1\) ならば \(x=1\) である。
  24. 答え:✕

    正しくは
    \(x^{2}=1\) ならば \(x=\pm 1\) である。
    です。

    xは2乗して1になる値ならば(つまり、xは+1と-1ならば)

    xは必ずしも1ではなく、+1か-1なので、命題に当てはまらないケースが出てきます。

    そのような場合は『正しくない』と判断します。

  25. \(\sqrt{0.01}=0.1\)
  26. 答え:〇

    \(\sqrt{0.01}=\pm 0.1\) ではありません。

    0.01の平方根は \(\pm 0.1\) ですが、それはなぜかと言うと「2乗して0.01になるのは \(\pm 0.1\) です」と言っていることと同じことだからです。

    それに対して、 \(\sqrt{0.01}\) は、『2乗して0.01になる値のうち+の値』という意味なので、\(\sqrt{0.01}=0.1\)は正しいということになります。

    なので、\(-\sqrt{0.01}=-0.1\) も正しくて、理由は『2乗して0.01になる値のうち-の値は-0.1です』と読み取れるからです。

    次の3つの等式は正しいです。

    \(\sqrt{0.01}=0.1\)

    \(-\sqrt{0.01}=-0.1\)

    \(\pm \sqrt{0.01}=\pm 0.1\)

  27. 正の数aの平方根とは、2乗してaになる数であるから、つまり \(\sqrt{a}\) である。
  28. 答え:✕

    正の数aの平方根とは、2乗してaになる数である

    ↑この部分は正しいです。しかし

    2乗してaになる数は\(\sqrt{a}\) ではなく、±\(\sqrt{a}\)になります。

  29. x+y、xyがともに有理数であるならば、2つの数x、yはともに有理数である。
  30. 答え:✕

    反例として、

    x=\(\sqrt{3}\)

    y=−\(\sqrt{3}\)

    の場合を考えると

    x+yは0で有理数

    xyが3で有理数

    つまり、x+y、xyがともに有理数であるが

    x=\(\sqrt{3}\)

    y=−\(\sqrt{3}\)

    はともに無理数となります。

  31. 有理数と無理数の和は必ず無理数になる。
  32. 答え:〇

  33. 有理数と無理数の差は必ず無理数になる。
  34. 答え:〇

  35. 有理数と無理数の商は必ず無理数になる。
  36. 答え:✕

    反例として

    有理数0と無理数\(\sqrt{3}\) の商(0÷\(\sqrt{3}\))は有理数0になります。

  37. 有理数と無理数の積は必ず無理数になる。
  38. 答え:✕

    反例として

    有理数0と無理数\(\sqrt{3}\) の積(0×\(\sqrt{3}\))は有理数0になります。

有理数と無理数の四則演算について

有理数と無理数の特徴や四則演算など、理解を深めたい方はこちらで学習できるのでご覧ください。

参考:有理数と無理数の違いと四則演算について
有理数と無理数の違い

にゃんこ
以上、中学3年生で学習する平方根の正誤問題と、有理数と無理数の正誤問題でした。