平方根や有理数・無理数の正誤問題
- \(\sqrt{5}\)を２倍したものは\(\sqrt{10}\)である。
- ２５の平方根は５である。
- \(\sqrt{25}=\pm 5\)
- ５の平方根は\(\sqrt{5}\) である。
- \(\sqrt{25}\) の平方根は \(\pm \sqrt{5}\)である。
- \(\sqrt{\left( -3\right) ^{2}}=-3\)
- ２乗すると10になる数は\(\sqrt{10}\) であり、２乗すると100になる数は10である。
- \(\sqrt{\dfrac{1}{4}}\)は無理数である。
- 0は有理数である。
- \(\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) \left( \sqrt{2}-\sqrt{3}\right) =-1\)
- \(\sqrt{10}-\sqrt{3}= \sqrt{10-3}\)
- \(x^{2}=1\) ならば \(x=1\) である。
- \(\sqrt{0.01}=0.1\)
- 正の数aの平方根とは、２乗してaになる数であるから、つまり \(\sqrt{a}\) である。
- x＋y、xyがともに有理数であるならば、２つの数x、yはともに有理数である。
- 有理数と無理数の和は必ず無理数になる。
- 有理数と無理数の差は必ず無理数になる。
- 有理数と無理数の商は必ず無理数になる。
- 有理数と無理数の積は必ず無理数になる。
\(\sqrt{5}\)を２倍したものは\(2\sqrt{5}\)です。
正しくは
２５の平方根は \(\pm 5\) である。
です。
正しくは \(\sqrt{25}=5\) です。
\(-\sqrt{25}\)は２乗して２５になる値のうち－の値、という意味です。
なので次の３つはすべて正しいです。
\(\sqrt{25}=5\)
\(-\sqrt{25}=-5\)
\(\pm\sqrt{25}=\pm5\)
正しくは
５の平方根は \(\pm \sqrt{5}\) である。
です。
\(\sqrt{25}\) ＝５なので、\(\sqrt{25}\) の平方根とは、５の平方根、つまり\(\pm \sqrt{5}\) のことを指します。
\(\sqrt{\left( -3\right) ^{2}}=\sqrt{9}=3\) が正しい変形です。
正しくは
２乗すると10になる数は±\(\sqrt{10}\) であり、２乗すると100になる数は±10である。
です。
\(\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=\dfrac{1}{2}\) となり、有理数となります。
\(\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) \left( \sqrt{2}-\sqrt{3}\right) \\
=\left( \sqrt{2}\right) ^{2}-\left( \sqrt{3}\right) ^{2}\\
=2-3\\
=-1\)
\(5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}\) のように、ルートの中の数値が等しい場合のみ、足したり引いたりできます。
例えば \(5a-a=4a\) のように、平方根の記号付きの値を文字式の文字のようにとりあつかっていると考えるとわかりやすいです。
正しくは
\(x^{2}=1\) ならば \(x=\pm 1\) である。
です。
ｘは２乗して１になる値ならば（つまり、ｘは＋１と－１ならば）
ｘは必ずしも１ではなく、＋１か－１なので、命題に当てはまらないケースが出てきます。
そのような場合は『正しくない』と判断します。
\(\sqrt{0.01}=\pm 0.1\) ではありません。
0.01の平方根は \(\pm 0.1\) ですが、それはなぜかと言うと「２乗して0.01になるのは \(\pm 0.1\) です」と言っていることと同じことだからです。
それに対して、 \(\sqrt{0.01}\) は、『２乗して0.01になる値のうち＋の値』という意味なので、\(\sqrt{0.01}=0.1\)は正しいということになります。
なので、\(-\sqrt{0.01}=-0.1\) も正しくて、理由は『２乗して0.01になる値のうち－の値は-0.1です』と読み取れるからです。
次の３つの等式は正しいです。
\(\sqrt{0.01}=0.1\)
\(-\sqrt{0.01}=-0.1\)
\(\pm \sqrt{0.01}=\pm 0.1\)
正の数aの平方根とは、２乗してaになる数である
↑この部分は正しいです。しかし
２乗してaになる数は\(\sqrt{a}\) ではなく、±\(\sqrt{a}\)になります。
反例として、
x=\(\sqrt{3}\)
y=−\(\sqrt{3}\)
の場合を考えると
x+yは0で有理数
xyが３で有理数
つまり、x＋y、xyがともに有理数であるが
x=\(\sqrt{3}\)
y=−\(\sqrt{3}\)
はともに無理数となります。
反例として
有理数０と無理数\(\sqrt{3}\) の商（0÷\(\sqrt{3}\)）は有理数０になります。
反例として
有理数０と無理数\(\sqrt{3}\) の積（0×\(\sqrt{3}\)）は有理数０になります。
有理数と無理数の特徴や四則演算など、理解を深めたい方はこちらで学習できるのでご覧ください。
参考：有理数と無理数の違いと四則演算について
