三角数と平方数の規則性｜1からnまでの和・奇数の和を図で解説

上から順に、1段目には1個、2段目には2個、3段目には3個……と並んでいます。4番目なら、\(1+2+3+4=10\) 個です。

n番目の個数は、\(1+2+3+\cdots+n\) です。この足し算をまとめて計算するために、同じ階段をもう1つ用意して、逆向きに組み合わせます。

上の段では \(1+n\)、次の段では \(2+(n-1)\)、その次では \(3+(n-2)\) となり、どの段も合わせて \(n+1\) 個です。それがn段あります。

4番目の階段なら、横5個・縦4段の長方形になります。2つ分が \(5\times4=20\) 個なので、1つ分は \(20\div2=10\) 個です。

同じように、n番目では2つ分の個数が \((n+1)n\) 個。求めたいのは1つ分なので、最後に2で割ります。

\((n+1)\times n\times\dfrac12\)
\(=\dfrac{n(n+1)}2\)
\(=\dfrac{n^2+n}2\)（個）

答えは \(\dfrac{n(n+1)}2\) 個です。\(\dfrac{n^2+n}2\) と書いても同じです。

形が変わっても、上から1個、2個、3個……、n個と並ぶ点は同じです。横にずらしたり、正方形を丸に置き換えたりしても、個数は変わりません。

ピラミッド状でも、逆向きの同じ図を組み合わせると、横が \(n+1\) 個、縦がn段の長方形として数えられます。

したがって、どの並びも \(\dfrac{n(n+1)}2\) 個です。

1、3、6、10、15……のように、1から順に足してできる数を三角数といいます。名前を覚えるだけでなく、「1からnまでの和」と図を結び付けておきましょう。

5番目は、\(1+2+3+4+5=15\) なので、15個です。

公式に \(n=5\) を入れても、\(\dfrac{5(5+1)}2=\dfrac{30}2=15\) と求められます。

100番目の個数は、\(1+2+3+\cdots+100\) です。すべて順番に足す代わりに、\(n=100\) を式に入れます。

\(\dfrac{100(100+1)}2=\dfrac{10100}2=5050\)

答えは 5050個です。\(\dfrac{100^2+100}2\) として計算しても同じです。

今度は番号が分からず、個数が5050個と分かっています。番号をnとして、個数の式＝5050という方程式を作ります。

\(\dfrac{n^2+n}2=5050\)
\(n^2+n=10100\)
\(n^2+n-10100=0\)
\((n-100)(n+101)=0\)

二次方程式を解くと、\(n=100\)、\(-101\) です。しかし、nは1以上の整数なので、\(-101\) は問題に合いません。

したがって、答えは 100番目です。

二次方程式をまだ習っていない場合は、\(n(n+1)=10100\) に注目しましょう。\(100\times101=10100\) なのでn＝100です。nが増えると個数も増えるため、正の整数の番号で同じ5050個になるものは他にありません。

上から1段目には1個、2段目には3個、3段目には5個、4段目には7個あります。段ごとの個数は、1、3、5、7……と奇数になっています。

n段目の個数は \(2n-1\) 個です。したがって、n番目の総数は、

\(1+3+5+\cdots+(2n-1)\)

となります。ここでの \(2n-1\) は最後の1段の個数であり、総数ではありません。

順番に調べると、1番目は1個、2番目は \(1+3=4\) 個、3番目は \(1+3+5=9\) 個、4番目は \(1+3+5+7=16\) 個です。

この1、4、9、16……は、\(1^2\)、\(2^2\)、\(3^2\)、\(4^2\) と表せます。n番目が本当に \(n^2\) になる理由を、次の2通りで確認しましょう。

1個、3個、5個……のまとまりを、正方形の角に沿ったL字の形に並べます。1個の正方形に3個を足すと2×2、その周りに5個を足すと3×3、その周りに7個を足すと4×4になります。

n番目では、縦にn個、横にn個の正方形として数えられます。

\(n\times n=n^2\)（個）

したがって、答えは \(n^2\) 個です。

同じ個数のまとまりを対応させているので、元の小さな三角形の総数も \(n^2\) 個になります。

1、3、5……個の正方形がn段ある図を、逆向きにした同じ図と組み合わせます。

上の段では \(1+(2n-1)=2n\)、次の段では \(3+(2n-3)=2n\)。どの段も合わせて2n個で、それがn段あります。

2つ分の総数は \(2n\times n\) 個なので、1つ分はその半分です。

\(2n\times n\times\dfrac12=n^2\)（個）

こちらも \(n^2\) 個になりました。問1の長方形は横n＋1個でしたが、問6では横2n個になる点を区別しましょう。

正方形のタイルでも丸でも、n行n列に並んでいます。色に関係なく総数を数えるので、\(n\times n=n^2\) 個です。

1、4、9、16、25……のように、整数を2乗してできる数を平方数といいます。

1. n＋1は2つ合わせた長方形の横の個数。2で割るのは、同じ図2つ分から1つ分に戻すためです。
2. 2n−1はn段目だけの個数、n²は1段目からn段目までの総数です。
3. 問1は \(5\times6\div2=15\) 個、問6は \(5^2=25\) 個です。
4. 100番目です。