三角形を重ねる規則性｜面積と周の長さの求め方

大きい三角形の面積は、直角を挟む2辺を底辺と高さに使って、

\(6\times6\div2=18\)（cm²）

です。重なりの小さい三角形の面積は、

\(3\times3\div2=\dfrac92\)（cm²）

になります。

大きい三角形n枚分から、小さい三角形n−1個分を引くと、

\(18n-\dfrac92(n-1)\)
\(=18n-\dfrac92n+\dfrac92\)
\(=\dfrac{27}{2}n+\dfrac92\)（cm²）

答えは \(\dfrac{27n+9}{2}\) cm²です。\(\dfrac{27}{2}n+\dfrac92\) と書いても同じです。

一辺6cmの正方形を、一辺3cmの正方形が重なるように並べた図を考えます。その面積は、

\(36n-9(n-1)=27n+9\)（cm²）

です。問29の図形は、この正方形の並びを中央の横の線で半分にした形に当たります。

したがって、求める面積は、

\((27n+9)\div2=\dfrac{27n+9}{2}\)（cm²）

となります。三角形を1枚ずつ数える方法と、全体を半分にする方法を結び付けておきましょう。

直角二等辺三角形の辺の比は、\(1:1:\sqrt2\) です。大きい三角形の斜辺は \(6\sqrt2\) cm、小さい三角形の斜辺は \(3\sqrt2\) cmになります。

大きい三角形1枚の周は、\(6+6+6\sqrt2=12+6\sqrt2\) cmです。

重なる1か所では、小さい三角形の2本の斜めの辺に当たる長さ3cmずつと、底辺に当たる \(3\sqrt2\) cmが、紙ごとの周から除かれます。引く長さは \(6+3\sqrt2\) cmです。

\((12+6\sqrt2)n-(6+3\sqrt2)(n-1)\)
\(=12n+6\sqrt2n-6n-3\sqrt2n+6+3\sqrt2\)
\(=(6+3\sqrt2)n+(6+3\sqrt2)\)
\(=(6+3\sqrt2)(n+1)\)（cm）

答えは \((6+3\sqrt2)(n+1)\) cmです。\(6n+3\sqrt2n+6+3\sqrt2\) と展開しても同じです。

正三角形の頂点から底辺に垂線を引くと、底辺4cmが2cmずつに分かれます。斜辺4cm、横の辺2cmの直角三角形になるので、高さをh cmとすると、三平方の定理から、

\(h^2=4^2-2^2=12\)
\(h=2\sqrt3\)

です。30°・60°・90°の直角三角形の辺の比 \(1:\sqrt3:2\) を使っても、横2cmに対し高さ \(2\sqrt3\) cmと分かります。

大きい正三角形の面積は、

\(4\times2\sqrt3\div2=4\sqrt3\)（cm²）

です。小さい正三角形は一辺2cmなので、高さは \(\sqrt3\) cm、面積は \(2\times\sqrt3\div2=\sqrt3\) cm²です。

相似比が \(1:2\) なら面積比は \(1:4\) なので、小さい三角形の面積を \(4\sqrt3\times\dfrac14=\sqrt3\) cm²として求める方法もあります。

大きい三角形の面積は \(4\sqrt3\) cm²、重なりの面積は \(\sqrt3\) cm²です。

\(4\sqrt3n-\sqrt3(n-1)\)
\(=4\sqrt3n-\sqrt3n+\sqrt3\)
\(=3\sqrt3n+\sqrt3\)（cm²）

答えは \(3\sqrt3n+\sqrt3\) cm²です。\(\sqrt3(3n+1)\) cm²と書いてもかまいません。

大きい正三角形1枚の周は \(4\times3=12\) cmです。重なった小さい正三角形の3辺分、\(2\times3=6\) cmが、1か所につき外周から除かれます。

\(12n-6(n-1)\)
\(=12n-6n+6\)
\(=6n+6\)（cm）

答えは \(6n+6\) cmです。