数字のピラミッドの規則性｜n段目の左端・中央・右端

解法1：右端の平方数から考える

右端は1、4、9、16、…なので、\(n\)段目の右端は\(n^2\)です。中央はそこから\(n-1\)マス左、左端はさらに\(n-1\)マス左です。

\[ \begin{aligned}\text{右端}&=\boxed{n^2}\\\text{中央}&=n^2-(n-1)=\boxed{n^2-n+1}\\\text{左端}&=n^2-2(n-1)=\boxed{n^2-2n+2}\end{aligned} \]

解法2：ひとつ前の段の右端から考える

ひとつ前の段の右端は\((n-1)^2\)です。その次の数が\(n\)段目の左端なので、左端は\((n-1)^2+1\)。中央・右端へは、それぞれ\(n-1\)ずつ加えます。

\[ \begin{aligned}\text{左端}&=(n-1)^2+1=n^2-2n+2\\\text{中央}&=(n-1)^2+1+(n-1)=n^2-n+1\\\text{右端}&=(n-1)^2+1+2(n-1)=n^2\end{aligned} \]

1段目も、左端・中央・右端はすべて1で、式に一致します。図を三角形の小部屋で描いても、各段に入る数の個数が同じなら結果は変わりません。

解法1：左端の平方数に注目する

左端は0、1、4、9、…という平方数です。\(n\)段目の左端は\((n-1)^2\)。そこから中央まで\(n-1\)、右端までさらに\(n-1\)を加えます。

\[ \begin{aligned}\text{左端}&=(n-1)^2=\boxed{n^2-2n+1}\\\text{中央}&=(n-1)^2+(n-1)=\boxed{n^2-n}\\\text{右端}&=(n-1)^2+2(n-1)=\boxed{n^2-1}\end{aligned} \]

解法2：右端から戻る

次の段の左端は\(n^2\)なので、その直前にある今の段の右端は\(n^2-1\)です。そこから中央へ\(n-1\)、左端へさらに\(n-1\)を引いても求められます。

\[ \begin{aligned}\text{中央}&=(n^2-1)-(n-1)=n^2-n\\\text{左端}&=(n^2-1)-2(n-1)=n^2-2n+1\end{aligned} \]

別の見方：問50の数から1を引く

並ぶ場所は問50と同じで、どの数も1だけ小さくなっています。問50の左端・中央・右端の式から、それぞれ1を引けば、問51の3つの式になります。

解法1：問51の数を2倍する

問52は、問51の0、1、2、3、…を、それぞれ2倍した並びです。問51で求めた3つの式も、それぞれ2倍します。

\[ \begin{aligned}\text{左端}&=2(n^2-2n+1)=\boxed{2n^2-4n+2}\\\text{中央}&=2(n^2-n)=\boxed{2n^2-2n}\\\text{右端}&=2(n^2-1)=\boxed{2n^2-2}\end{aligned} \]

問50との関係なら、「1を引いてから2倍」です。順序を逆にしないようにしましょう。

解法2：左端と右端の間を、2ずつ進む

左端は\(2(n-1)^2\)、右端は\(2(n^2-1)\)です。中央までは\(n-1\)マスですが、1マスごとに2増えるので、加える数・引く数は\(2(n-1)\)になります。

\[ 2(n-1)^2+2(n-1)=2n^2-2n \]

\[ 2(n^2-1)-2(n-1)=2n^2-2n \]

別解：何番目に並ぶ数かを使う

問50の数は、そのまま「全体の何番目か」を表します。問52の数は、1番目が0、2番目が2、3番目が4なので、\(k\)番目の数は\(2(k-1)\)です。

問50の左端・中央・右端に当たる位置を\(k\)に代入すると、次のようになります。

\[ \begin{aligned}\text{左端}&=2\{(n^2-2n+2)-1\}=2n^2-4n+2\\\text{中央}&=2\{(n^2-n+1)-1\}=2n^2-2n\\\text{右端}&=2(n^2-1)=2n^2-2\end{aligned} \]