サイコロの規則性｜見える目の合計と見えない面の数え方

手前の2と右側の3が、それぞれ\(n\)枚ずつ見えます。上の1は、いちばん上の1枚だけです。

\[ (2+3)n+1=\boxed{5n+1} \]

解法1：外側の面を直接数える

視点を変えると、手前の2、右側の3に加えて、奥の5、左側の4も数えられます。1段の側面の目の合計は\(2+3+5+4=14\)です。これが\(n\)段分あり、上面の1を加えます。

\[ (2+3+5+4)n+1=\boxed{14n+1} \]

解法2：全部から接する面と底面を引く

サイコロは\(n\)個なので、全部の目は\(21n\)です。上下のつなぎ目1か所では、下のサイコロの上面1と、上のサイコロの底面6が隠れ、合計7を引きます。つなぎ目は\(n-1\)か所です。さらに、地面に接する底面6を引きます。

\[ 21n-7(n-1)-6=21n-7n+7-6=\boxed{14n+1} \]

手前の2が1段に2枚、右側の3が1段に1枚見えます。上の1は2枚です。

\[ (2+2+3)n+1+1=\boxed{7n+2} \]

解法1：外側の面を直接数える

1段の側面は、手前の2が2枚、奥の5が2枚、左右が3と4です。合計は\(2+2+3+5+5+4=21\)。上面の1が2枚あるので、最後に2を加えます。

\[ (2+2+3+5+5+4)n+2=\boxed{21n+2} \]

解法2：全部から接する面と底面を引く

個数は\(2n\)個なので、全部の目は\(21\times2n\)です。横のつなぎ目が各段1か所ずつで\(n\)か所、縦のつなぎ目が2列それぞれ\(n-1\)か所あります。

\[ n+2(n-1)=3n-2 \]

どのつなぎ目でも、隠れる2面の合計は7です。地面には6の面が2枚接するので、さらに12を引きます。

\[ 21\times2n-7(3n-2)-12=42n-21n+14-12=\boxed{21n+2} \]

上の3と手前の2が、それぞれ\(n\)枚ずつ見えます。左端の1は1枚です。

\[ (2+3)n+1=\boxed{5n+1} \]

解法1：外側の面を直接数える

上の3、手前の2、奥の5が、それぞれ\(n\)枚ずつあります。左端の1と右端の6は、両端を合わせて7です。

\[ (2+3+5)n+(1+6)=\boxed{10n+7} \]

解法2：全部から接する面と底面を引く

全部の目は\(21n\)。横のつなぎ目は\(n-1\)か所で、各つなぎ目で1と6の合計7が隠れます。上面が3なので、底面は4です。底面は\(n\)枚あります。

\[ 21n-7(n-1)-4n=21n-7n+7-4n=\boxed{10n+7} \]

横1列分について、手前の2が1枚、上の3が2枚見えます。左端の1は奥行き方向に2枚あります。

\[ (2+3+3)n+1+1=\boxed{8n+2} \]

解法1：外側の面を直接数える

横1列分では、手前の2、上の3が2枚、奥の5を数えます。合計は\(2+3+3+5=13\)。左端の1が2枚、右端の6が2枚あるので、両端の合計は14です。

\[ (2+3+3+5)n+2(1+6)=\boxed{13n+14} \]

解法2：全部から接する面と底面を引く

サイコロは\(2n\)個です。横に並ぶつなぎ目が手前と奥にそれぞれ\(n-1\)か所、手前と奥をつなぐ所が\(n\)か所なので、つなぎ目は合計\(3n-2\)か所です。

横のつなぎ目は1と6、奥行き方向のつなぎ目は2と5で、どちらも隠れる目の合計は7です。地面に接する4の面は\(2n\)枚あります。

\[ 21\times2n-7(3n-2)-4\times2n=42n-21n+14-8n=\boxed{13n+14} \]