にゃんこ
ここでは、中２数学で学習する１次関数のグラフの応用問題や難問について練習できるページです。
坂田先生
定期テストの難問対策や、高校入試対策にもなります。（後半程難問です）
このページの内容
- １次関数のグラフの応用問題や難問
- １次関数のグラフの応用問題の解き方とおすすめ反復方法
にゃんこ
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１次関数のグラフの応用問題や難問｜定期テスト対策～高校入試対策
一次関数と反比例のグラフの問題
図のように、関数y=ax のグラフ上に３点A、B、Cがある。
点Aと点Bは原点Oに対して点対象であり、
点Aのｘ座標は２
点Bのｙ座標は−６
点Cのｘ座標は−６である。
このとき、△ABCの面積を求めなさい。
答え： 32
最初に定数aを求めたいところですが、情報が足りません。
点Aと点Bが原点Oに対して点対称なのでは？と気が付くところが突破口になります。
一次関数の交点の応用問題
１次関数y=2ax−3 と
１次関数y=2bx+a+1のグラフが
交点(−1,b)を作るとき
定数a、bの値を求めなさい。
答え： a=−107,b=−17
「交点を作る」ということは、１次関数のグラフはその交点の座標を通るということです。
なので、１次関数の式にその交点の座標を代入しても、できあがった等式は成り立ちます。
１次関数の変域の応用問題
一次関数y=ax+2a+7 （a ＜0）のグラフについて
ｘの変域が−5≦x≦2であるとき
ｙの変域が3≦y≦2b となるような
定数a、bの値を求めなさい。
答え： a=−1,b=5
このような変域の問題は、変域をグラフに書き込んでから、求める一次関数がどのように書くことができるのか、という予測を立てます。この問題の場合、一次関数の傾きの符号までわかっているので、それも予測に利用します。
一次関数のグラフの応用問題
次の２つの条件を同時に満たす直線の式を求めなさい。
条件１：一次関数のグラフy=12x−6との交点のｘ座標が８である。
条件２：ｘ軸との交点のｘ座標が４である。
答え： y=−12x+2
基本的に一次関数のグラフの問題はグラフを書いて、それを見ながら考えます。
解説に書かれてある①②③の手順で明らかにしていきます。
３つの一次関数のやや難問
次の３つの直線について考える。
y=12x+6
y=x
y=ax (aは定数)
この３つの直線によって作られる三角形の面積が48であるとき、定数aの値を求めなさい。
ただしa＜0とする。
答え： a=−1
まずは、３本の直線をグラフを書いてみましょう。 y=axの定数aが負の値なので、原点を通り、かつ右下がりのグラフであるというポイントをおさえておけば、だいたいのグラフでいいです。
１次関数と格子点
座標平面上において、ｘ座標、ｙ座標ともに整数である点を格子点という。例えば点（２，３）は格子点である。
直線 y=−12x+52 より下側にある格子点の座標をすべて求めよ。
ただし、直線 y=−12x+52 上の点を含み、 格子点のｘ座標、ｙ座標ともに正の数であるものとする。
答え： （1，2）、（1，1）、（2，1）、（3，1）
52 が5の半分、つまり2.5なので、１次関数y=−12x+52 のグラフは、ｙ切片が2.5である右下がりのグラフとなります。それをまずは書きましょう。そのグラフの下側にある、ｘ座標が正の整数である格子点について調べることとなります。
１次関数と格子点の難問
y=−12x+3+b が格子点（１、ｎ）を通る。定数bがとりうる最小の値と、このときの整数ｎの値を求めなさい。ただしb＞0とする。
答え： b=0.5、n=3
３＋ｂがｙ切片である１次関数y=−12x+3+b のグラフをまずは書きます。
このグラフが通る格子点のｘ座標が１であるということから、グラフとｙ軸との交点（０、３＋ｂ）から、ｘが１増加したときのｙの増加量について考えます。
傾きが −12 なので、ｘが１増加したときのｙの増加量は-0.5となります。
つまり、点（０、３＋ｂ）からｘが１増加し、ｙが-0.5増加したときの座標が（１、３）になる場合が、ｂが最小の値をとる場合です。
３本の１次関数のグラフが３角形を作らない条件の問題
次の３つの一次関数のグラフによって三角形が作られないような定数aの値をすべて求めなさい。
y=2x−4
y=−13x+3
y=ax
答え： a=2、 a=−13、 a=23
もし、初見の状態で試験本番でこの問題に出くわしたら、まずこのようにします。
３本の直線が三角形を作らないパターンというのは、どのようなパターンが考えられるか？を整理します。
１次関数のグラフの応用問題の解き方とおすすめ反復方法
坂田先生
最後に、１次関数のグラフの難問に対する実力を付けるためのアドバイスをさせてもらいます。
最後にアドバイス
グラフを書いたあとで、「何に注目したのか」「何に気が付いたのか」「どんな予測が立ったのか」「何を試したのか」などの経験値を積むことが実力UPにつながります。
また、しっかり反復してある問題のストックがあれば、「あの問題と似ているかも」と、気が付くことも増えてくるでしょう。
ここで練習した問題は、そこまで「激ムズ」というほどの問題ではありません。（初見の場合はもちろん戸惑う問題もあります）
これぐらいのレベルの応用問題や難問は、ちょっと考えてわからなければ解答を見て、思考パターン、解法パターンのストックとして利用してください。
自分のなかでストックにするためには、反復が必要です。
手を動かして何周もすると時間がかかりまくるので、解法の図を見ながら口頭で自分に説明してあげてください。
この方法は、「解法の流れ」を府に落としやすいですし、時間短縮にもなり、かなりおすすめです。
また、復習や反復をせずに解き散らかすのはおすすめできません。
もし、手元に繰り返し愛用している問題集があるなら、そちらを反復しまくるほうが断然効率がいいです。
ここで習得できていない問題パターンだけ、ノートに写すなりして、反復用に加えるというのなら大丈夫です。