- 偶数と奇数の和が奇数になることの証明｜間違い例
- 模範解答例
- 類題
- ミスしやすいポイントと証明が苦手な人用の勉強方法
偶数足す奇数が奇数になることの証明｜間違い例
その和はn+2n=3nなので
これは３×奇数なので、n+2nは奇数となる
よって偶数足す奇数が奇数になることが証明された
偶数と奇数の和が奇数になることを証明せよ、などという問題の場合『たがいに無関係な偶数と奇数を足して奇数になることを証明せよ』という意味になります。
ところがこの証明方法だと、ｎを奇数として、その２倍の２ｎを偶数とおいて証明を進めてしまっています。
例えば
ｎが１のとき２ｎは２
ｎが３のとき２ｎは６
ｎが５のとき２ｎは１０
ｎが７のとき２ｎは１４
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といったように、限定された奇数と偶数の組み合わせのみで証明してしまっている、という点が間違いポイントです。
問題文は、どんな偶数と奇数をランダムに選んでもその和が奇数になることを証明せよという意味ですので、偶数と奇数は互いに無関係でなければなりません。
ｎを整数とし、
２ｎを偶数、２ｎ＋１を奇数とする
偶数２ｎと奇数２ｎ＋１の和は
\(2n+2n+1=4n+1\)
ｎは整数なので４ｎは偶数となり、４ｎ＋１は奇数となる
よって、偶数足す奇数は奇数となることが証明された
つまり、たがいに無関係な偶数と奇数の和が奇数になることを証明しなければいけないのに、それができていない、ということですね。
ｎを整数として２ｎを偶数とする、ところまではよかったのですが、２ｎ＋１を奇数としたところがまずかったですね。
これだと『連続する偶数と奇数の和が奇数になることを証明した』ようなものです。
たとえば
２ｎが２のとき、２ｎ＋１が３
２ｎが４のとき、２ｎ＋１が５
２ｎが６のとき、２ｎ＋１が７
２ｎが８のとき、２ｎ＋１が９
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というように、連続した偶数と奇数の組み合わせに限定して、その和が奇数になるということを証明してしまったのです。
以上の理由により、この証明方法は間違った解答ということになります。
模範解答例
偶数を2nと、奇数を2m+1をする
その和は
\(2n+2m+1=2\left( n+m\right) +1\)
n+mは整数なので、2(n+m)は偶数となり、2(n+m)+1は奇数となる
したがって偶数と奇数の和は奇数となる
n+mは整数であることをなぜ書く必要があるのか？
ある数が偶数であることを示したい場合、それが『２×整数というかたち』になっていてはじめて２×整数は偶数だということが言えます。
たとえば２×3.5といったように小数をかけた場合
２×3.5=７となり、偶数にはならない場合が出てきますよね。
なのでわざわざn+mは整数である、と確認しておいて
２×(n+m)は２×(整数)のかたちなんですよ、とアピールしているワケです。
類題の解説
偶数を2nと、奇数を2m+1をする
その差は
\(2n-2m+1=2\left( n-m\right) +1\)
n-mは整数なので、2(n-m)は偶数となり、2(n-m)+1は奇数となる
したがって偶数と奇数の差は奇数となる
偶数を2nと、奇数を2m+1をする
その積は
\(2n\left( 2m+1\right) =4nm+2n=2\left( 2nm+n\right) \)
n、mは整数なので、2nm+nは整数となり、となり、 \(2\left( 2nm+n\right)\) は偶数となる
したがって偶数と奇数の積は偶数となる
２ｎを偶数、２ｎ＋１を奇数とする
偶数２ｎと奇数２ｎ＋１の和は
\(2n+2n+1=4n+1\)
ｎは整数なので４ｎは偶数となり、４ｎ＋１は奇数となる
よって連続する２数の整数の和が奇数になる
連続する２数の整数をｎ、ｎ＋１とする
その和はn+n+1=2n+1
ｎは整数なので、2n+1は奇数となる
よって連続する２数の整数の和は奇数となる
証明で気を付けるべきポイントと証明が苦手な人用の勉強方法
気を付けるべきポイント
最初の問題を例にあげるなら、「n+mは整数であることをなぜ書く必要があるのか？」で解説したように、偶数であることを証明しようとする場合『２×整数のかたち』になっていないと証明できたことになりません。
僕の経験上、このポイントで間違ってしまう方が、かなりいらっしゃいます。
なので、文字式で証明する際には、このポイントに気をつけてください。
証明問題が苦手な場合の練習方法
まず、問題を理解する。
次に、解答を読み、どのような手順で証明しているのかを理解する。
解答を見ながら、その証明の、大きな流れがどうなっているかを自分の言葉で説明する。
次に証明を一行ずつ、自分の言葉で説明していく。
（この一行はココとココが同じことを言っている、など）
ここで意味がわからない部分が出てくることもよくあります。
そんな場合は、調べるか、誰か知っている先生などに聞いて、解消しておくといいでしょう。
スラスラ言える状態になって初めて、書く練習をします。
本名：坂田健太（滋賀県）