数の表の規則性は、行と列の増え方や、正方形の中に入る数の個数に注目すると解けます。問46〜49を通して、n段目n列目の数を求める考え方を整理します。
問46・47：横と縦の増え方を組み合わせる
「\(n\)段目\(n\)列目」は、左から\(n\)列目、上から\(n\)段目の交わるマスです。まず横の増え方と縦の増え方を分けて確認しましょう。
問46：横に2ずつ、縦に1ずつ増える表
表のように数を並べます。\(n\)段目\(n\)列目にある数を、\(n\)を使った式で表しなさい。
解法1：n段目を横に進む
1列目は1、2、3、…なので、\(n\)段目1列目は\(n\)です。そこから右へ\(n-1\)回進みます。
\[ n+2(n-1)=\boxed{3n-2} \]
解法2：n列目を縦に進む
1段目を右へ進むと2ずつ増えるので、1段目\(n\)列目は\(2n-1\)です。そこから下へ\(n-1\)回、1ずつ増やします。
\[ 2n-1+(n-1)=\boxed{3n-2} \]
解法3：対角線上の数に注目する
左上から「右に1マス、下に1マス」と進むと、数は合計3増えます。対角線上の数は1、4、7、10、…です。最初の1から\(n-1\)回進めば、\(n\)段目\(n\)列目に着きます。
\[ 1+3(n-1)=\boxed{3n-2} \]
問47：横に1ずつ、縦に1ずつ増える表
表のように数を並べます。\(n\)段目\(n\)列目にある数を、\(n\)を使った式で表しなさい。
解法1：n段目を横に進む
1列目は1、2、3、…なので、\(n\)段目1列目は\(n\)です。そこから右へ\(n-1\)回進みます。
\[ n+1(n-1)=\boxed{2n-1} \]
解法2：n列目を縦に進む
1段目を右へ進むと1ずつ増えるので、1段目\(n\)列目は\(n\)です。そこから下へ\(n-1\)回、1ずつ増やします。
\[ n+(n-1)=\boxed{2n-1} \]
解法3：対角線上の数に注目する
左上から「右に1マス、下に1マス」と進むと、数は合計2増えます。対角線上の数は1、3、5、7、…です。最初の1から\(n-1\)回進めば、\(n\)段目\(n\)列目に着きます。
\[ 1+2(n-1)=\boxed{2n-1} \]
問48：列ごとに折り返す表
図のように列の中を折り返しながら数を並べます。\(n\)段目\(n\)列目にある数を、\(n\)を使った式で表しなさい。
解法1：いちばん上の平方数から引く
図の矢印のように、1列の中を下から上へ進み、次の列に移る並びです。1段目には1、4、9、16、…という平方数が並びます。1段目\(n\)列目は\(n^2\)です。
その列を下へ1マス進むたびに数は1小さくなります。\(n\)段目まで下がる回数は\(n-1\)回です。
\[ n^2-(n-1)=\boxed{n^2-n+1} \]
解法2：ひとつ前の正方形から考える
ひとつ手前の\((n-1)\)段\((n-1)\)列までの正方形には、1から\((n-1)^2\)までの数があります。その次の数は、\(n\)段目1列目に入る\((n-1)^2+1\)です。
この行では右へ1マス進むたびに1増えるので、さらに\(n-1\)を加えます。
\[ (n-1)^2+1+(n-1)=(n-1)^2+n=\boxed{n^2-n+1} \]
左端の1、2、5、10、…は、「ひとつ前の平方数に1を加えた数」と見られます。
問49：正方形を広げながら向きを変える表
図のように正方形を広げながら、向きを変えて数を並べます。\(n\)段目\(n\)列目にある数を、\(n\)を使った式で表しなさい。
1段1列までなら最大の数は1、2段2列までなら4、3段3列までなら9です。\(n\)段\(n\)列までの正方形全体には、1から\(n^2\)までの数が入っています。
求める右下の数から、最後の\(n^2\)までは、下の辺または右の辺を\(n-1\)マス進みます。進む向きは段数の偶数・奇数で変わりますが、進む回数は同じです。
\[ n^2-(n-1)=\boxed{n^2-n+1} \]
別の見方では、ひとつ前の最大値\((n-1)^2\)から右下までは\(n\)個進むので、\((n-1)^2+n\)としても同じ答えになります。
学習のポイントと間違えやすい点
パターン別に学習したい&印刷したい方へ
1列目から\(n\)列目まで進む回数は\(n-1\)回です。最初のマスも1回と数えないようにしましょう。
表の見た目が似ていても、進む向きや数の増え方を必ず確認します。問48・49は並べ方が異なりますが、求める位置の数はどちらも\(n^2-n+1\)です。\(n=1,2,3,4\)を代入すると、1、3、7、13になり、元の表の対角線と一致します。