立方体を積んだ立体の表面積は、見えている面だけを数えると、奥や底の面を落としやすくなります。問43〜45を使って、6方向の面を整理する考え方を解説します。
表面積は「横の4方向」と「上・下」に分ける
一辺1cmの立方体では、小さな正方形1枚の面積が1cm²です。表面積は、外側に出ている正方形の面積を合計して求めます。立方体どうしがくっついた面は数えず、底面は数えます。
この3問では、左右・前後の面と、上向きの面・下向きの面に分けると見通しがよくなります。横から見た階段1つ分に現れる正方形は、次の個数です。
\[ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2 \]
同じ階段をもう1つ用意して向きを変えて合わせると、縦\(n\)、横\(n+1\)の長方形になります。その半分が階段1つ分です。
問43：中央に積んだ四角いピラミッド
一辺1cmの立方体を図のように\(n\)段積み上げました。この立体の表面積を\(n\)を使った式で表しなさい。
① 左右・前後の面を数える
左右から見た面は、1個、2個、…、\(n\)個の正方形を並べた階段として数えられます。前と後ろも同じ個数です。したがって、横の4方向の面積は、階段1つ分の4倍になります。
\[ \frac{n(n+1)}2\times4=2n(n+1) \]
② 上向きの面と底面を数える
上向きの面は高さが違っていても、真上から見ると重ならずに、いちばん下の正方形全体をちょうど埋めます。よって上向きの面の合計は\(n^2\)cm²です。底面も一辺\(n\)cmの正方形なので、\(n^2\)cm²あります。
③ 6方向の面積を合計する
\[ \frac{n(n+1)}2\times4+n^2+n^2=2n^2+2n+2n^2=\boxed{4n^2+2n\ \mathrm{cm}^2} \]
問44：角にそろえて積んだ四角いピラミッド
一辺1cmの立方体を図のように\(n\)段積み上げました。この立体の表面積を\(n\)を使った式で表しなさい。
① 左右・前後の面を数える
左右から見た面は、1個、2個、…、\(n\)個の正方形を並べた階段として数えられます。前と後ろも同じ個数です。したがって、横の4方向の面積は、階段1つ分の4倍になります。
\[ \frac{n(n+1)}2\times4=2n(n+1) \]
② 上向きの面と底面を数える
上向きの面は高さが違っていても、真上から見ると重ならずに、いちばん下の正方形全体をちょうど埋めます。よって上向きの面の合計は\(n^2\)cm²です。底面も一辺\(n\)cmの正方形なので、\(n^2\)cm²あります。
③ 6方向の面積を合計する
\[ \frac{n(n+1)}2\times4+n^2+n^2=2n^2+2n+2n^2=\boxed{4n^2+2n\ \mathrm{cm}^2} \]
問43と積む位置は異なりますが、左右・前後の階段を作る面の個数は同じです。上向きの面の合計と底面も変わらないので、表面積は同じ式になります。
問45：三角形の並びで積んだ立体
一辺1cmの立方体を図のように\(n\)段積み上げました。この立体の表面積を\(n\)を使った式で表しなさい。
① 左右・前後の面を数える
左右の面は、それぞれ1個、2個、…、\(n\)個の階段状に数えられます。前後の面も同じ個数なので、横の4方向だけで、階段1つ分の4倍です。
② 上向きの面と底面を数える
真上から見ると、1個、2個、…、\(n\)個と並ぶ三角形の形になります。上向きの面の合計も、底面も、それぞれ\(1+2+\cdots+n\)cm²です。問43・44のような\(n^2\)cm²の正方形ではありません。
③ 階段1つ分を6倍する
6方向とも、同じ階段1つ分の面積になります。
\[ \frac{n(n+1)}2\times6=3n(n+1)=\boxed{3n^2+3n\ \mathrm{cm}^2} \]
小さい段数で表面積を確かめる
1段なら、どの問題も立方体1個なので6cm²です。2段では、問43・44が20cm²、問45が18cm²になります。積み方が似ていても、底面の形によって結果が変わることが分かります。
学習のポイントと間違えやすい点
パターン別に学習したい&印刷したい方へ
立方体1個の表面積6cm²に個数をかけると、内部でくっつく面まで数えてしまいます。外に出ている面だけを集めましょう。
上から見た形を確かめることが大切です。問43・44は正方形、問45は三角形の並びになります。この問題の表面積には底面を含めます。体積のcm³と区別して、単位をcm²にしましょう。