規則性の周の長さでは、「つなぎ目で消える辺」と「階段の縦横の線」に注目します。長方形をつなぐ2問と、正方形を積む3問を、図を使って解説します。
問38・39：長方形を交互につなぐときの周の長さ
問38：横向きの長方形から並べる
短い辺が\(a\)cm、長い辺が\(b\)cmの長方形を、図のように\(n\)個つなぎます。\(n\)番目の図形の周の長さを、\(n\)を使った式で表しなさい。
最初の長方形の周は、短い辺2本と長い辺2本を合わせて、\(2a+2b\)cmです。
次の長方形を付けると、これまで外周だった長さ\(a\)の辺が内側に入ります。また、新しい長方形にも接している長さ\(a\)の辺があります。この2本は周に含めません。
\[ -a+(2a+2b-a)=2b \]
したがって、長方形を1個加えるたびに、周は\(2b\)cm増えます。1個目から\(n\)個目までには、追加が\(n-1\)回あります。
\[ 2a+2b+2b(n-1)=\boxed{2a+2bn\ \mathrm{cm}} \]
問39：縦向きの長方形から並べる
短い辺が\(a\)cm、長い辺が\(b\)cmの長方形を、図のように\(n\)個つなぎます。\(n\)番目の図形の周の長さを、\(n\)を使った式で表しなさい。
いったん、長方形\(n\)個を離して考えます。周の長さの合計は\((2a+2b)n\)cmです。
つなぎ目は\(n-1\)か所あり、1か所につき長さ\(a\)の辺が2本、内側に入ります。引く長さは、1か所につき\(2a\)cmです。
\[ (2a+2b)n-2a(n-1)=2an+2bn-2an+2a=\boxed{2a+2bn\ \mathrm{cm}} \]
問38と並べ始めの向きは違いますが、接する辺の長さとつなぎ目の数が同じなので、答えは同じになります。問38の「1個加えると\(2b\)cm増える」という数え方でも確かめられます。
問40〜42：階段状の図形の周の長さ
ギザギザした周を1本ずつ数える代わりに、縦の辺と横の辺に分けます。線を平行に移すと、外側の長方形の周として数えられます。図形の面積を長方形に置き換えるのではなく、周を作っている線の長さをまとめる考え方です。
問40：左にそろえた階段
一辺1cmの正方形を図のように\(n\)段積み上げました。周の長さを\(n\)を使った式で表しなさい。
高さは\(n\)cm、いちばん下の横の長さは\(n\)cmです。
右側の段差にある横線をまとめると底辺と同じ長さになります。段差の縦線も、まとめると左の縦の辺と同じ長さです。
\[ 2n+2n=\boxed{4n\ \mathrm{cm}} \]
問41：中央に積んだ階段
一辺1cmの正方形を図のように\(n\)段積み上げました。周の長さを\(n\)を使った式で表しなさい。
高さは\(n\)cm、いちばん下の横の長さは\(n\)cmです。
上の段が中央に来るため、小さな横の出っ張りは左右それぞれにあります。左右の横線といちばん上の横線をまとめると、いちばん下の辺と同じ長さになります。縦線も、左側と右側でそれぞれ高さ\(n\)cm分あります。
\[ 2n+2n=\boxed{4n\ \mathrm{cm}} \]
問42：1・3・5個と増える階段
一辺1cmの正方形を図のように\(n\)段積み上げました。周の長さを\(n\)を使った式で表しなさい。
高さは\(n\)cm、いちばん下の横の長さは\(2n-1\)cmです。
各段の正方形は1個、3個、5個、…と2個ずつ増えるので、\(n\)段目は\(2n-1\)個です。左右の段差の横線をまとめると底辺と同じ長さ、縦線をまとめると左右それぞれ高さと同じ長さになります。
\[ 2n+2(2n-1)=\boxed{6n-2\ \mathrm{cm}} \]
たとえば1段なら4cm、2段なら10cm、3段なら16cmです。式に\(n=1,2,3\)を代入しても一致します。
学習のポイントと間違えやすい点
パターン別に学習したい&印刷したい方へ
つなぎ目は、図形が\(n\)個なら\(n-1\)か所です。内側に入る辺は1か所につき2本あることに注意しましょう。
階段の周では、正方形の個数を数える必要はありません。横の長さと高さをそれぞれ確認します。問41と問42は似ていますが、底辺は\(n\)cmと\(2n-1\)cmで異なります。長さの単位はcmです。