白黒タイルの規則性では、全部から片方の色を引く方法と、同じ色の列に分ける方法を使い分けます。
問13・14では正方形に並んだタイルを数え、問15・16ではひし形のように広がる並びを考えます。奇数番目と偶数番目で色ごとの式が変わっても、総枚数は同じ式で表せることを確認しましょう。
白・黒・総数の関係を使おう
白の枚数＋黒の枚数＝総枚数です。白を求めるなら「総数−黒」、黒を求めるなら「総数−白」を使えます。
このページのnやmは「何番目の図か」を表します。1、2、3……という正の整数です。
問13｜対角線に黒タイルが並ぶ正方形
次の図のように、正方形のタイルを並べ、対角線上のタイルを黒くします。n番目の「白タイルの枚数」「黒タイルの枚数」「タイルの総枚数」を、それぞれnを使った式で表しなさい。
全体はn行n列の正方形
全体は、1番目が1×1、2番目が2×2、3番目が3×3……と大きくなります。n番目は縦n枚、横n枚なので、
\(n\times n=n^2\)（枚）
総枚数は \(n^2\) 枚です。
黒は各行に1枚ずつ
黒タイルは、1番目が1枚、2番目が2枚、3番目が3枚……です。n番目では、n行のそれぞれに1枚ずつあるので、黒はn枚です。
白は「全部−黒」
白と黒を合わせた全体がn²枚で、そのうち黒がn枚です。白だけを残すには、全部から黒を引きます。
\(n^2-n\)（枚）
したがって、白は \(n^2-n\) 枚、黒はn枚、総数は \(n^2\) 枚です。
4番目なら、全部で16枚、黒が4枚なので、白は \(16-4=12\) 枚になります。
対角線の両側の階段を数える
白い部分は、黒い対角線の両側に分かれています。片側は1枚、2枚、3枚……、n−1枚という階段です。同じ枚数の階段が2つあるので、
\(\{1+2+3+\cdots+(n-1)\}\times2\)
となります。4番目なら、\((1+2+3)\times2=12\) 枚です。
1からn−1までの和は \(\dfrac{(n-1)n}{2}\) なので、
\(\dfrac{(n-1)n}{2}\times2=n(n-1)=n^2-n\)（枚）
と求められます。1番目では階段の部分がなく、白は0枚です。
2つの階段を組み合わせて長方形にする
図の下側のように白タイルを並べ替えると、縦n枚、横n−1枚の長方形になります。
\(n\times(n-1)=n^2-n\)（枚）
こちらも同じ答えです。黒を引く方法、階段の和を使う方法、長方形にする方法を、図のどこを数えているかと結び付けておきましょう。
問14｜白いL字と黒い正方形
次の図のように、正方形の上の1行と右の1列を白くし、残りを黒くします。n番目の「白タイルの枚数」「黒タイルの枚数」「タイルの総枚数」を、それぞれnを使った式で表しなさい。
白い部分は、横にn枚、縦にn枚のL字です。ただし、右上の角の1枚は、横の列にも縦の列にも含まれています。
単純に \(n+n\) とすると角を2回数えるため、重複した1回分を引きます。
\(n+n-1=2n-1\)（枚）
したがって、白タイルは \(2n-1\) 枚です。4番目なら \(4+4-1=7\) 枚です。
最初から角を片方の列だけに入れると、\(n+(n-1)=2n-1\) と数えることもできます。
黒い部分を見ると、1番目は0枚、2番目は1×1、3番目は2×2、4番目は3×3……の正方形です。
全体の縦横がn枚で、上の1行と右の1列を白くしているため、黒い部分の縦横はそれぞれn−1枚になります。
\((n-1)\times(n-1)=(n-1)^2\)
\(=n^2-2n+1\)（枚）
したがって、黒タイルは \((n-1)^2\) 枚、または \(n^2-2n+1\) 枚です。4番目なら \(3^2=9\) 枚です。
\((n-1)^2\) は \(n^2-1\) ではありません。\((n-1)(n-1)\) を展開して確認しましょう。
全体は縦n枚、横n枚の正方形なので、総枚数は \(n^2\) 枚です。
総数と白が分かれば、黒は次の引き算でも求められます。
\(n^2-(2n-1)\)
\(=n^2-2n+1\)（枚）
総数と黒を先に求めた場合は、白を引き算で求めます。
\(n^2-(n-1)^2\)
\(=n^2-(n^2-2n+1)\)
\(=2n-1\)（枚）
4番目なら、全部で16枚、白7枚、黒9枚です。\(7+9=16\) と確かめられます。
ここまでの問13・14は、縦横に並んだ正方形でした。次の問15・16では、ひし形のように広がる並びを考えます。図が変わるので、まずは増え方を確かめましょう。
問15・16の並べ方｜白と黒を交互に加える
次の図のように、一定の規則に従ってタイルを追加していきます。最初は白いタイル1枚で、その周りに黒、その次に白……と、外側の色が交互に変わりながら広がります。
1番目・3番目・5番目は、外側の端が白です。2番目・4番目は、外側の端が黒です。この違いが、白と黒の枚数の式に関係します。
ここで使うmやnは、図が何番目かを表す1以上の整数です。タイルが横に何枚あるかを、そのままmやnにするわけではありません。
問15・16の図を、斜めの列で数えてみよう
すぐ上の問題図のうち、3番目と4番目を順に見ます。以下の解説を開くと、それぞれの図に数える向きを描き込んであります。
横の段に分けると、1枚、3枚、5枚……と長さが変わり、白と黒も混ざっています。色ごとの枚数を求めるときは、同じ色が並ぶ斜めの列に注目すると数えやすくなります。
図のピンクの線に沿って白を分けると、3枚ずつ並ぶ列が3列あります。
\(3\times3=9\)（枚）
青い線に沿って黒を分けると、2枚ずつ並ぶ列が2列あります。
\(2\times2=4\)（枚）
したがって、3番目は白9枚、黒4枚、全部で \(9+4=13\) 枚です。
斜めの列は途中で別の列に曲がらず、同じ向きの線に沿って見ます。白を数える線と黒を数える線を、図の色分けと照らし合わせてください。
4番目でも、白の斜めの列は3枚ずつが3列です。
\(3\times3=9\)（枚）
一方、黒は4枚ずつが4列になります。
\(4\times4=16\)（枚）
したがって、4番目は白9枚、黒16枚、全部で \(9+16=25\) 枚です。
問15｜mが奇数のときの白タイルの枚数
さきほど確認した、白と黒を外側へ交互に加える並びについて考えます。下にもう一度示した図のm番目の白タイルの枚数を、mを使った式で表しなさい。ただし、mは奇数であるとする。
上の図は、問15・16で使う同じ並びです。この問では1・3・5……番目の白いタイルに注目します。
mは奇数なので、1、3、5……番目を考えます。
- 1番目の白：\(1\times1=1\) 枚
- 3番目の白：\(3\times3=9\) 枚
- 5番目の白：\(5\times5=25\) 枚
奇数番目では、白を斜めに分けると、番号と同じ枚数の列が、番号と同じ数だけあります。3番目なら3枚ずつ3列、5番目なら5枚ずつ5列です。
同じ並び方をm番目に広げると、1列にm枚の白タイルがあり、それがm列になります。
\(m\times m=m^2\)（枚）
したがって、答えは \(m^2\) 枚です。
奇数番目と偶数番目で、白と黒の式が入れ替わる
次の問16では、奇数番目も偶数番目も含めたn番目を考えます。先に、白と黒の枚数をそれぞれ整理しましょう。
問15と同じ考え方から、白はn枚ずつがn列です。
白：\(n\times n=n^2\) 枚
黒の斜めの列は、1列に並ぶ枚数も、列の数も、白より1つずつ少なくなります。つまり、n−1枚ずつの列がn−1列あります。例えば5番目なら、白が5枚ずつ5列、黒が4枚ずつ4列です。
黒：\((n-1)\times(n-1)=(n-1)^2\) 枚
例えば5番目なら、白は \(5^2=25\) 枚、黒は \(4^2=16\) 枚です。1番目では白1枚、黒は \(0^2=0\) 枚となり、最初の図とも一致します。
偶数番目では、外側の端が黒になります。今度は黒がn枚ずつn列、白がn−1枚ずつn−1列です。
白：\((n-1)\times(n-1)=(n-1)^2\) 枚
黒：\(n\times n=n^2\) 枚
例えば4番目なら、白は \(3^2=9\) 枚、黒は \(4^2=16\) 枚です。2番目なら白1枚、黒4枚になります。
奇数番目と比べると、白と黒に対応する2つの式が入れ替わっています。
| 番号nの条件 | 白タイル | 黒タイル |
|---|---|---|
| nが奇数 | \(n^2\) 枚 | \((n-1)^2\) 枚 |
| nが偶数 | \((n-1)^2\) 枚 | \(n^2\) 枚 |
問16｜n番目のタイルの総枚数
問15と同じ並びを、下にもう一度示します。この図のn番目のタイルの総枚数（白と黒を合わせた枚数）を、nを使った式で表しなさい。
上の図は、問15・16で使う同じ並びです。この問では奇数番目・偶数番目の両方で、白と黒をすべて数えます。
nが奇数のときは、白が \(n^2\) 枚、黒が \((n-1)^2\) 枚なので、総枚数は、
\(n^2+(n-1)^2\)（枚）
nが偶数のときは、白と黒が入れ替わるので、
\((n-1)^2+n^2\)（枚）
です。足す順番が変わるだけなので、総枚数はどちらも同じ式になります。
式を展開して整理すると、
\(n^2+(n-1)^2\)
\(=n^2+(n^2-2n+1)\)
\(=2n^2-2n+1\)（枚）
したがって、答えは \(2n^2-2n+1\) 枚です。\(n^2+(n-1)^2\) と表しても同じ枚数になります。
問15には「mは奇数」という条件がありましたが、問16の総枚数の式は、nが奇数でも偶数でも使えます。
具体的な枚数と式を比べる
| 番号 | 白 | 黒 | 総枚数 |
|---|---|---|---|
| 1番目 | 1枚 | 0枚 | 1枚 |
| 2番目 | 1枚 | 4枚 | 5枚 |
| 3番目 | 9枚 | 4枚 | 13枚 |
| 4番目 | 9枚 | 16枚 | 25枚 |
| 5番目 | 25枚 | 16枚 | 41枚 |
例えばn＝4を総枚数の式に入れると、\(2\times4^2-2\times4+1=32-8+1=25\) 枚です。白9枚と黒16枚を足した結果と一致します。
スマートフォンでは、必要に応じて表を横に動かして見てください。
学習のポイントと間違えやすい点
- 色ごとに数えるときは斜めの列を見る：同じ色のタイルが何枚ずつ、何列あるかを確かめます。
- 番号と端から端までの枚数を混同しない：nは図の番号です。ひし形の横幅や高さそのものを表す文字ではありません。
- 問15の「奇数」を見落とさない：白がm²枚になるのは、mが奇数という条件があるためです。
- 問16は総数を求める：白と黒が入れ替わっても、足した総数は同じ式になります。
- 2乗の展開を確認する：\((n-1)^2=n^2-2n+1\) です。\(n^2-1\) としないようにしましょう。
「白はいつもn²枚」と暗記するのではなく、奇数番目と偶数番目の図を1つずつ見て、どちらの色がn枚ずつn列になっているかを説明できるようにしましょう。
問13では総数から黒を引くと白を求めやすく、問14ではL字の角を2回数えないことが大切です。引く式全体をかっこで囲み、n＝1やn＝4で確かめましょう。
パターン別に学習したい&印刷したい方へ
「mは奇数」という条件まで含めて答えを理解しましょう。
偶数番目の白は、番号をそのまま2乗した枚数にはなりません。例えば4番目の白は16枚ではなく9枚です。